- •2. Динаміка
- •2.1. Сила як джерело руху.
- •2.2. Закони Ньютона
- •2.2.1. Перший закон Ньютона:
- •2.2.2. Другий закон Ньютона:
- •2.2.3. Третій закон Ньютона.
- •2.3. Імпульс та закон збереження імпульсу
- •2.3.1. Імпульс сили та імпульс тіла
- •2.3.2. Закон збереження імпульсу
- •2.4. Центр мас (інерції)
- •2.5. Реактивний рух
- •2.5.1. Рівняння Мещерського.
- •2.5.2. Формула Ціолковського для максимальної швидкості
- •2.6. Сили в природі
- •2.6.1. Фундаментальні взаємодії у природі.
- •2.6.2. Сили тертя та сили опору.
- •2.6.3. Сили інерції
- •2.7. Робота сили та її обчислення. Потужність. Енергія
- •2.7.1. Робота й потужність.
- •2.7.2. Кінетична та потенціальна енергія тіла.
- •2.7.3. Робота зовнішньої сили. Механічна енергія
- •2.7.4. Закон збереження енергії
- •2.8. Пружні деформації
- •2.8.1. Пружна деформація, закон Гука
- •2.8.1.1. Енергія пружної деформації
- •2.9. Ступені свободи, узагальнені координати
- •2.10.Центральний удар двох куль
- •2.10.1.Центральний абсолютно пружний удар двох куль.
- •2.10.2. Центральний не пружний удар двох куль.
- •2.10.3. Частково пружний удар, коефіцієнт відновлення.
- •2.11. Принцип відносності Галілея
- •2.12.Динаміка обертового руху
- •2.12.1. Момент сили
- •2.12.2. Момент імпульсу
- •2.12.3. Другий закон Ньютона для обертового руху
- •2.12.4. Кінетична енергія тіла, що обертається
- •2.12.5. Момент інерції деяких тіл
- •2.12.5. Теорема Штейнера
- •2.13. Закон збереження моменту імпульсу
- •2.14. Маятник Обербека
- •2.15. Силові поля. Зв’язок сили та потенціальної енергії
- •2.16. Рівновага в механіці
- •2.17. Механіка руху рідини
- •2.18. Рівняння Бернуллі
- •2.19. Контрольні питання
2.8.1.1. Енергія пружної деформації
Розглянемо розтягнення циліндричного зразка з площею основи S. При дії нормальної до основи сили F, зміщення основи на x викликає появу пружної сили
Fп=kx,
де k коефіцієнт пружності. При подальшому зміщенні поверхні S на величину dx силою виконується роботаA проти пружної сили. Ця робота йде на приріст енергії деформації W: A=dW. З очевидних співвідношень маємо:
A=Fпdx= ·dx
W=, W== , (1)
де V=Slоб’єм тіла.
Уведемо густину енергії пружної деформаціїі з (1) одержимо
. (2)
2.9. Ступені свободи, узагальнені координати
Ступені свободи (вільності) тіла незалежні параметри, які визначають його положення в просторі. Розрізняють поступальні (поступальний рух), обертові (обертовий рух) та коливальні (коливальний рух) ступені свободи. Точкове тіло має 3 поступальні ступені свободи nпост, наприклад, три просторові координати x,y,z (див.Мал.20 а). Система з двох точкових вільних частинок має 6 поступальних ступенів свободи. Якщо ж їх жорстко зв'язати на відстані L (див.Мал.20 б) одна від другої, то можна ввести рівняння зв'язку
. (1)
Тепер будь-який з 6 параметрів можна виразити через 5 інших і незалежних параметрів стане на 1 менше. Це означає, що кожне з рівнянь зв'язку зменшує число незалежних параметрів на 1.Зв'язки це рівняння, які описують обмеження руху тіла іншими тілами системи. Узагалі можна покласти, що система N жорстко зв'язаних тіл має 3 поступальні ступені свободи , які визначають положення її центра масC у просторі (див.Мал.20 в), та 3 обертові ступені свободи nоберт кути , , , що визначають орієнтацію системи відносно осей OX,OY,OZ. Інші ступені свободи 3n( +nоберт) зникають у зв'язках. Якщо між тілами замість жорстких зв'язків установлюються пружні , то вони стають коливальними ступенями свободи
=3n-( +nоберт) . (2)
Зв'язки між атомами в молекулі, наприклад, води Н2О при кімнатних температурах можна вважати жорсткими, тому що при таких температурах теплової енергії замало для збурення коливань між атомами. При високих температурах такі збурення можуть відбуватися і зв'язки стануть коливальними ступенями свободи. Якщо система є лінійною, то в (2) .
Наявність зв'язків зменшує число ступенів свободи на їх кількість.
Незалежні параметри q1, q2, ..., qs, які задають положення системи тіл із s ступенями свободи, називаються узагальненими координатами.
2.10.Центральний удар двох куль
Приймається, що дві кулі рухаються по горизонтальній прямій, тобто їх потенціальна енергія взаємодії із Землею під час співударяння не змінюється, а кінетична енергія перетворюється у потенціальну енергію деформації. Надалі пружні сили деформації розштовхують кулі і при цьому можливі такі випадки
потенціальна енергія деформації перетворюється у кінетичну енергію повністю - абсолютно пружний удар,
кінетична енергія куль повністю перетворюється у внутрішню енергію - абсолютно не пружний удар,
потенціальна енергія деформації перетворюється у кінетичну енергію - частково пружний удар.
Розглянемо докладніше ці випадки.
2.10.1.Центральний абсолютно пружний удар двох куль.
Нехай дві кулі з масами m1 та m2 перед співударянням рухаються горизонтально із швидкостями та . Їх енергія складається з кінетичної тавідповідно. Після співударяння кулі знову будуть рухатися горизонтально із швидкостямиU1 та U2, маючи кінетичну енергію та відповідно. Запишемо рівняння збереження імпульсу та енергії
, (1)
. (2)
Проведемо ряд очевидних послідовних перетворень цих рівнянь
, (3)
. (4)
Розділивши ліві та праві частини (3) та (4), маємо:
, (5)
або
. (6)
Вираз (6) визначає, що відносні швидкості тіл до і після удару однакові. Підставимо з (5) у (1) і послідовними перетвореннями знайдемо
, (7)
. (8)
Знайдемо з (7-8) швидкості тіл після удару, коли V2=0 і m2 > m1
,.
В цьому випадку перша куля відскочить від другої у протилежному напрямку.