- •2. Динаміка
- •2.1. Сила як джерело руху.
- •2.2. Закони Ньютона
- •2.2.1. Перший закон Ньютона:
- •2.2.2. Другий закон Ньютона:
- •2.2.3. Третій закон Ньютона.
- •2.3. Імпульс та закон збереження імпульсу
- •2.3.1. Імпульс сили та імпульс тіла
- •2.3.2. Закон збереження імпульсу
- •2.4. Центр мас (інерції)
- •2.5. Реактивний рух
- •2.5.1. Рівняння Мещерського.
- •2.5.2. Формула Ціолковського для максимальної швидкості
- •2.6. Сили в природі
- •2.6.1. Фундаментальні взаємодії у природі.
- •2.6.2. Сили тертя та сили опору.
- •2.6.3. Сили інерції
- •2.7. Робота сили та її обчислення. Потужність. Енергія
- •2.7.1. Робота й потужність.
- •2.7.2. Кінетична та потенціальна енергія тіла.
- •2.7.3. Робота зовнішньої сили. Механічна енергія
- •2.7.4. Закон збереження енергії
- •2.8. Пружні деформації
- •2.8.1. Пружна деформація, закон Гука
- •2.8.1.1. Енергія пружної деформації
- •2.9. Ступені свободи, узагальнені координати
- •2.10.Центральний удар двох куль
- •2.10.1.Центральний абсолютно пружний удар двох куль.
- •2.10.2. Центральний не пружний удар двох куль.
- •2.10.3. Частково пружний удар, коефіцієнт відновлення.
- •2.11. Принцип відносності Галілея
- •2.12.Динаміка обертового руху
- •2.12.1. Момент сили
- •2.12.2. Момент імпульсу
- •2.12.3. Другий закон Ньютона для обертового руху
- •2.12.4. Кінетична енергія тіла, що обертається
- •2.12.5. Момент інерції деяких тіл
- •2.12.5. Теорема Штейнера
- •2.13. Закон збереження моменту імпульсу
- •2.14. Маятник Обербека
- •2.15. Силові поля. Зв’язок сили та потенціальної енергії
- •2.16. Рівновага в механіці
- •2.17. Механіка руху рідини
- •2.18. Рівняння Бернуллі
- •2.19. Контрольні питання
2.2.3. Третій закон Ньютона.
Дія одного точкового тіла на інше носить характер взаємодії. Сили взаємодії рівні за величиною, лежать на одній прямій, що з'єднує тіла і протилежні за напрямком, тобто, якщо на перше тіло діє сила , то на друге тіло буде діяти сила.
Розглянемо приклади на застосування другого закону Ньютона.
При визначеній силі , що діє на тіло та заданих початкових умовах для швидкості
та радіус-вектора положення тіла
,
можна визначити місцеположення тіла для довільного моменту часу. Дійсно, по заданій силі
та масі тіла m, знаходимо прискорення
.
Далі з визначення швидкості знайдемо її компоненти
через інтегрування компонент прискорення
.
На останньому кроці за рівнянням знайдемо компоненти радіус-вектора положення тіла шляхом інтегрування компонент швидкості
.
2.3. Імпульс та закон збереження імпульсу
2.3.1. Імпульс сили та імпульс тіла
Імпульс сили визначається як добуток сили на час її дії на тіло:
.
Імпульс тіла (кількість руху) є добуток маси тіла на його швидкість
.
Одиницею вимірювання величини імпульсу сили є , а імпульсу тіла.
Рівняння другого закону Ньютона можна записати через імпульс таким чином
.
З цього рівняння слідує що , тобто приріст імпульс тіла дорівнює імпульсу сили, що діє на нього.
Наведена форма запису другого закону Ньютона через імпульс є інваріантною і може використовуватися як у класичній, так і в релятивістській механіці.
2.3.2. Закон збереження імпульсу
Замкнена механічна система це система тіл, на які не діють зовнішні сили.
Закон збереження імпульсу імпульс замкненої системи зберігається за величиною й напрямком. Він випливає з третього закону Ньютона, який можна сформулювати ще й так: дія і-ої матеріальної точки на j-ту точку носить характер взаємодії; сили взаємодії чисельно рівні, їх вектори лежать на одній прямій і протилежні за напрямком . Нехай система, наприклад, складається з трьох тіл. Запишемо рівняння руху для кожного з них:
.
В цьому виразі сила, що діє з боку j-того тіла на i-те тіло, зовнішня сила, що діє на і-те тіло, імпульс і-того тіла. Додамо ліві та праві частини записаних рівнянь
Ліворуч будемо мати суму похідних:
,
яка дорівнює похідній від суми імпульсів
,
де імпульс системи тіл. В сумі праворуч будуть доданки та сума, що має попарні нульові доданки. Таким чином, праворуч залишиться:
,
де сума зовнішніх сил, прикладених до різних тіл. Сила не є рівнодійною, її ще називають генеральною. В результаті маємо . Якщо система замкнена, то
.
Закон збереження імпульсу означає, що внутрішні сили взаємодії між тілами замкненої системи не змінюють імпульс системи. Нехай у моменти чаусt1 та час t2 відбулися співударяння тіл замкненої системи. За законом збереження імпульсу
.
2.4. Центр мас (інерції)
Центром мас (центр інерції) системи з N тіл з масами є уявна матеріальна точка в просторі з масою М, що дорівнює масі системи тіл. Радіус-вектор центра масзадається рівнянням:
, .
Швидкість центра мас можна представити через імпульс системи тіл таким чином
.
Імпульс центра мас дорівнює імпульсу системи тіл. Оскільки імпульс замкненої системи тіл зберігається, то й швидкість центра мас такої системи при будь-якій взаємодії між її тілами також зберігається .
Якщо в деякий момент часу центр мас не рухався , то при відсутності зовнішніх сил він не змінить свого положення при будь-якій взаємодії між тілами. Дійсно,і .
У випадку незамкненої системи тіл, коли векторна сума зовнішніх сил, що діють на тіла системи дорівнює , рівняння руху центра мас запишеться у вигляді
.
З одержаного рівняння випливає теорема про рух центра мас: центр мас системи тіл рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі тіл системи, а прикладена сила – векторній сумі зовнішніх сил, прикладених до кожного з тіл системи.
Якщо система тіл знаходиться у полі сил тяжіння, то центром тяжіння є точка прикладання рівнодійної сил тяжіння всіх частинок.