2.7.4. Закон збереження енергії

Закон збереження енергії: величина повної механічної енергії замкненої системи з консервативними силами взаємодії, що є сумою потенціальної та кінетичної енергій E_k+E_п, зберігається, тобто Е=E_k+E_п=const у будь-який момент часу, до і після будь-яких внутрішніх взаємодій між складовими системи.

Запишемо рівняння руху і-го тіла консервативної системи з N тіл у загальному виді:

, (1)

де  зовнішня сила,  сила внутрішньої дії j-го тіла. Помножимо скалярно ліву та праву частини рівняння відповідно на ліву та праву частини виразу для переміщення

,

і далі

. (2)

В (2)

(3)

приріст кінетичної енергії,

(4)

 елементарна робота зовнішньої сили,

. (5)

 робота внутрішніх сил, яка виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії тіла .

Тепер, використовуючи (3-5), (2) можна записати таким чином

,

,

. (6)

В (6)

 приріст повної механічної енергії і-го тіла.

Узявши в (6) суму по усім тілам системи, одержимо

,

де Е  повна механічна енергія системи, А  робота зовнішніх сил над системою. Якщо система тіл замкнена, тобто усі , тоА=0 і Е=const  енергія замкненої системи тіл зберігається.

2.8. Пружні деформації

2.8.1. Пружна деформація, закон Гука

Пружна сила. Під дією зовнішньої сили в тілі виникають деформації, які створюють сили протидії. Деформації називаються пружними, якщо вони зникають після припинення дії зовнішньої сили, а внутрішні сили протидії у цьому випадкові називаються пружними силами. Прикладом пружних сил є сили, що виникають при незначних розтягуваннях пружини. При цьому величина пружної сили пропорційна величині приросту довжини пружини

, (1)

де k - коефіцієнт жорсткості пружини, х - видовження пружини. Напрямок пружної сили завжди такий, що протидіє деформації.

Напругою називається величина, яка чисельно дорівнює пружній силі, що приходиться на одиницю площі перерізу тіла (див. Мал.19)

. (2)

Вона може мати нормальну та тангенціальну до dS складові.

Закон Гука: напруга  при пружній деформації твердого тіла прямо пропорційна відносній деформації

, (3)

де K  модуль пружності. При односторонньому стисненні (розтягуванні) змінюється довжина тіла x=l на величину dx=dl, що створює відносну деформацію . Модуль пружностіK є модулем Юнга E, який чисельно дорівнює напрузі, при якій тіло видовжується у двоє.

Відносний поздовжній розтяг (стиснення) призводить до відносного поперечного звуження (розширення), деy  поперечний розмір тіла. Відношення відносного поперечного звуження до відносного видовження називається коефіцієнтом Пуассона.

Сила пружності, яка діє на тіло з боку опори або підвісу, називається реакцією опори або силою натягу підвісу. Якщо сила, що діє на тіло, пропорційна зміщенню тіла зі стану рівноваги, то вона називається квазипружною.

Застосуємо закон Гука до пружної деформації пружини довжиною L. Пружна деформація створює в пружині напруженість

, (3)

де F - величина пружної сили, S - площа перерізу пружини. При відносному видовженні закон Гука запишеться у вигляді

. (4)

З (1) і (4) одержимо вираз для коефіцієнт жорсткості пружини

(5)