2.8.1.1. Енергія пружної деформації

Розглянемо розтягнення циліндричного зразка з площею основи S. При дії нормальної до основи сили F, зміщення основи на x викликає появу пружної сили

F_п=kx,

де k  коефіцієнт пружності. При подальшому зміщенні поверхні S на величину dx силою виконується роботаA проти пружної сили. Ця робота йде на приріст енергії деформації W: A=dW. З очевидних співвідношень маємо:

A=F_пdx= ·dx

W=, W== , (1)

де V=Slоб’єм тіла.

Уведемо густину енергії пружної деформаціїі з (1) одержимо

. (2)

2.9. Ступені свободи, узагальнені координати

Ступені свободи (вільності) тіла  незалежні параметри, які визначають його положення в просторі. Розрізняють поступальні (поступальний рух), обертові (обертовий рух) та коливальні (коливальний рух) ступені свободи. Точкове тіло має 3 поступальні ступені свободи n_пост, наприклад, три просторові координати x,y,z (див.Мал.20 а). Система з двох точкових вільних частинок має 6 поступальних ступенів свободи. Якщо ж їх жорстко зв'язати на відстані L (див.Мал.20 б) одна від другої, то можна ввести рівняння зв'язку

. (1)

Тепер будь-який з 6 параметрів можна виразити через 5 інших і незалежних параметрів стане на 1 менше. Це означає, що кожне з рівнянь зв'язку зменшує число незалежних параметрів на 1.Зв'язки  це рівняння, які описують обмеження руху тіла іншими тілами системи. Узагалі можна покласти, що система N жорстко зв'язаних тіл має 3 поступальні ступені свободи , які визначають положення її центра масC у просторі (див.Мал.20 в), та 3 обертові ступені свободи n_оберт  кути , , , що визначають орієнтацію системи відносно осей OX,OY,OZ. Інші ступені свободи 3n( +n_оберт) зникають у зв'язках. Якщо між тілами замість жорстких зв'язків установлюються пружні , то вони стають коливальними ступенями свободи

=3n-( +n_оберт) . (2)

Зв'язки між атомами в молекулі, наприклад, води Н₂О при кімнатних температурах можна вважати жорсткими, тому що при таких температурах теплової енергії замало для збурення коливань між атомами. При високих температурах такі збурення можуть відбуватися і зв'язки стануть коливальними ступенями свободи. Якщо система є лінійною, то в (2) .

Наявність зв'язків зменшує число ступенів свободи на їх кількість.

Незалежні параметри q₁, q₂, ..., q_s, які задають положення системи тіл із s ступенями свободи, називаються узагальненими координатами.

2.10.Центральний удар двох куль

Приймається, що дві кулі рухаються по горизонтальній прямій, тобто їх потенціальна енергія взаємодії із Землею під час співударяння не змінюється, а кінетична енергія перетворюється у потенціальну енергію деформації. Надалі пружні сили деформації розштовхують кулі і при цьому можливі такі випадки

потенціальна енергія деформації перетворюється у кінетичну енергію повністю - абсолютно пружний удар,
кінетична енергія куль повністю перетворюється у внутрішню енергію - абсолютно не пружний удар,
потенціальна енергія деформації перетворюється у кінетичну енергію - частково пружний удар.

Розглянемо докладніше ці випадки.

2.10.1.Центральний абсолютно пружний удар двох куль.

Нехай дві кулі з масами m₁ та m₂ перед співударянням рухаються горизонтально із швидкостями та . Їх енергія складається з кінетичної тавідповідно. Після співударяння кулі знову будуть рухатися горизонтально із швидкостямиU₁ та U₂, маючи кінетичну енергію та відповідно. Запишемо рівняння збереження імпульсу та енергії