2.15. Силові поля. Зв’язок сили та потенціальної енергії

Якщо в деякому просторі виникають сили, що діють на розміщене там тіло, то кажуть, що в цьому просторі існує силове поле. Силове поле називається стаціонарним, якщо сила поля не залежить від часу.

Діючи на тіло, сила поля може перемістити його на , виконавши елементарну роботу

, (1)

де  кут між векторами сили та переміщення. Якщо при переміщенні тіла з точки 1 у точку 2, робота сил поля не залежить від того, яким шляхом здійснюється переміщення, а визначається початковим і кінцевим положенням тіла, то такі сили називаються консервативними, а їх поля потенціальними.

Доведемо, що робота консервативних сил на замкненому шляху дорівнює нулю. Дійсно, якщо замкнений контур С розділити на дві частини 1а2 та 2б1 (див. Мал. 27), то роботу на цьому шляху можна записати як . В останньому виразі ми врахували, що на шляху 1б2 переміщення змінює свій напрямок на протилежний відносно руху в напрямку 2б1. Для консервативних сил і тоді А=0.

Силове поле можна представити графічно за допомогою силових ліній. Це уявні лінії, дотична до яких задає напрямок сили. Силові лінії не перетинаються (у противному в точці перетину було б 2 напрями однієї сили), а їх густина в поперечному перерізі чисельно дорівнює величині сили.

Центральними називаються сили, що залежать від відстані між взаємодіючими тілами і лежать на прямій, яка з’єднує центри тіл. До таких сил належать сили гравітаційної та електростатичної взаємодії точкових тіл, які можна представити у вигляді , деr  відстань між тілами,  одиничний вектор напрямку сили. Роботу таких сил ми розглянули вище і показали, що для гравітаційної взаємодії тадля кулонівської взаємодії, тобто робота виконується за рахунок зменшення деякої величиниU(r). Ця величина залежить від взаємного розташування взаємодіючих тіл, і ми назвали її потенціальною енергією. Потенціальна енергія U визначається з точністю до деякої довільної сталої, але фізичний зміст має лише її приріст U=U₂-U₁ чи убуток U=-( U₂-U₁), в яких ця довільна стала випадає. У зв'язку з цим у виразах для U сталу опускають.

Енергетичною характеристикою гравітаційного силового поля є його потенціал , який чисельно дорівнює потенціальній енергії тіла одиничної маси

, (2)

або в явному виді

.

Для електростатичного поля, створеного точковим зарядом qмаємо

.

Відповідно силовою характеристикою поля є напруженість поля, яка чисельно дорівнює силі, що діє на одиничну масу для гравітаційного поля ідля електростатичного поля. У наведених виразахm₀ та q₀ є точкові пробні маса та заряд, величина яких не деформує досліджуване силове поле. Для поля, створеного точковою масою m, величина напруженості поля , а в умовах Землі при поверхні вона дорівнює величині прискорення вільного падіння. Для електростатичного поля, створеного точковим зарядомq, дорівнює . Поверхня, що є геометричним місцем точок з однаковим потенціалом називаєтьсяеквіпотенціальною.

Робота поля (1) виконується за рахунок потенціальної енергії поля, тобто А=-dU і, враховуючи (2), одержимо

(3)

для електричного поля та

(4)

для гравітаційного поля. Вирази (3-4) є диференціальними рівняннями, що зв'язують силові та енергетичні характеристики поля.

По заданій функції потенціальної енергії U(r) можна встановити сили, що створюють це поле. Справді, якщо робота поля виконується за рахунок убутку потенціальної енергії взаємодіючих тіл, то

. (5)

Якщо переміщення здійснюється вздовж осі ОХ, то

i . (6)

З (5) та (6) одержимо

. (7)

Аналогічно можна одержати

. (8)

Тепер силу представимо в такому вигляді:

. (9)

Якщо ввести векторний математичний оператор градієнта

, (10)

то

. (11)

Якщо розділити ліву та праву частини одержаного виразу на величину, що генерує цю силу, то одержимо вираз, що визначає напруженість поля через його потенціал, наприклад, для електростатичного поля

. (12)

Якщо розглянути переміщення тіла вздовж еквіпотенціальної поверхні (по дотичній до неї), тоdU=0, При цьому , тобто кут між напрямком сили та еквіпотенціальною поверхнею дорівнює 90⁰ і сила (напруженість поля)  еквіпотенціальній поверхні.