2.12.5. Теорема Штейнера

Теорема Штейнера: момент інерції J_a тіла відносно осі ОО_а паралельній осі ОО_с, яка проходить через центр мас тіла на відстані а від неї, дорівнює J_a=J_c+ma², де J_c  момент інерції тіла відносно осі ОО_с (див. Мал. 25).

2.13. Закон збереження моменту імпульсу

Закон збереження моменту імпульсу : момент імпульсу замкненої консервативної системи N тіл є сталою величиною . Для доведення закону покладемо, що на і-те тіло діють зовнішня сила з моментом ,  внутрішня сила взаємодії з j-тим тілом. Помноживши векторно зліва праву та ліву частини рівняння руху цього тіла

(1)

на радіус-вектор положення і-го тіла, одержимо:

. (2)

З іншого боку, маємо:

(3)

і, враховуючи (3), із (2) одержимо

, (4)

. (5)

Запишемо в (5) суму по всім тілам системи. Ліворуч буде

. (6)

Уведемо в (6) позначення

, (7)

де  момент імпульсу системи тіл,  момент зовнішніх сил, що діють на тіла системи. Праворуч у (6) сума містить попарно доданки. Враховуючи третій закон Ньютона, одержимо

. (8)

У (8) ми врахували, що за третім законом Ньютона вектори . Остаточно маємо:

. (9)

Для замкненої системи, коли зовнішні сили відсутні,одержимо закон збереження імпульсу

 (10)

2.14. Маятник Обербека

Для ілюстрації сумісного рішення рівнянь поступального та обертового руху, розглянемо маятник Обербека, який являє собою циліндричне тіло із шківом на осі радіусу r та 4-ма однаковими взаємно перпендикулярними стержнями. На стержнях пристосовані пересувні тягарці масою m₀ кожний. Вони розташовані на відстані R від центру маятника (див.Мал. 26).

Стержні лежать у площині  осі циліндра і проходять через центр маятника. Маятник приводиться в обертовий рух тягарцем m із ниткою, намотаною на шків. Вісь обертання співпадає з віссю циліндра. Спочатку тягарець за рахунок сили натягу нитки розкручує маятник на всю довжину ниткиh₁ і в нижній точці ривком маятника починає підніматися в гору. Після підняття тягарця на висоту h₂<h₁, маятник зупиняється й починає обертовий рух у протилежному початковому напрямкові.

За час опускання t та підйому t маятник повертається на кут

,

де r  радіус шківа. Запишемо рівняння руху тягарця та маятника, виходячи з наступного. При опусканні тягарця, маятник приводиться в обертовий рух моментом сили натягу , де  радіус-вектор точки прикладання сили відносно центра обертання, а момент сили тертя гальмує цей рух (див. Мал. 17). Вектор кутового прискореннялежить на осі обертання і, причому. Усі три векторилежать на осі обертання і тому, вибравши напрям вектора кутового прискорення за додатній, векторне рівняння другого закону Ньютона для обертового руху маятника

можна записати в алгебраїчному вигляді

.

В цьому рівнянні  модуль моменту сили натягу підвісу.

При опусканні тягарця, на нього діють прискорююча сила тяжіння та гальмуюча сила натягу , причому . Вектор прискорення. Усі три вектори лежать на одній прямій і тому, вибравши за додатній напрямок вектора прискорення, векторне рівняння другого закону Ньютона для прискореного руху тягарця

можна записати в алгебраїчному вигляді

.

Таким чином ми одержали першу пару рівнянь руху маятника Обербека:

, (1)

_. (2)

Рух тягарця рівноприскорений і тому

. (3)

Для знаходження моменту інерції маятника J, помножимо рівняння (2) на r і додамо ліві та праві частини рівнянь (1-2). В результаті одержимо

rmg-. (4)

Підставимо в (4) і знайдемоJ:

. (5)

В (5) залишається невідомим момент сили тертя. Знайдемо його з того, що робота проти сили тертя дорівнює

, (6)

Робота виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії тягарця на величину . Після підстановки в (6) значень кута повороту та енергії одержимо значення моменту сили тертя

. (7)

Момент інерції J є сумою моменту інерції власне маятника J₀ та моменту інерції 4-х тягарців m, які можна вважати точковими, і тоді

. (8)