Основи теорії з розділу“динаміка матеріальної точки”

Причиною зміни стану руху тіла є його взаємодія із навколишніми тілами. Існує таке визначення фізики, як науки: фізика є вченням про різні типи взаємодій – гравітаційне, електромагнітне, сильне і слабке. Перші два види відомі людям досить добре. Гравітаційна взаємодія утримує, наприклад, планети при їх русі навколо зірок. Електромагнітна взаємодія утримує електрони, що обертаються навколо атомних ядер, і є основною між атомами і молекулами. Електромагнітні і гравітаційні взаємодії проявляють себе у макро- та мегасвіті, змінюються із відстанню як 1/r² і є сильнодіючими – радіус їх дії необмежений. Дві останні взаємодії вимагають спеціальних методів досліджень. Сильні взаємодії – ядерні, зв'язують нуклони (протони і нейтрони) у ядрах хімічних елементів, а також утримують кварки усередині протона. Найбільша відстань, на якій проявляються сильні взаємодії (радіус їх дії) становить 10^-15 м. Слабкі взаємодії відповідальні за всі види -розпаду нейтронів ядер, за багато процесів розпаду елементарних частинок, а також за всі процеси взаємодії нейтрино із речовиною. Слабкі взаємодії, як і сильні, є ще більш короткодіючими, радіус дії яких складає всього 10^-17 м.

Для характеристики ступеня взаємодії тіл у фізиці вводиться фізична величина, звана силою. Сила – векторна фізична величина, яка служить мірою механічної дії на дане тіло з боку інших навколишніх тіл або полів, в результаті якого тіло або змінює своє положення у просторі, або змінює свою форму і розміри. У кожен момент часу сила характеризуються числовим значенням (модулем), напрямом у просторі і точкою додатку. Вимірюється сила по величині пружної деформації, а одиницею виміру сили служить Ньютон (Н). Розділ механіки, присвячений вивченню руху матеріальних тіл під дією прикладених до них сил, називають динамікою. У основі класичної динаміки – науки про рух тіл – лежать три закони Ньютона, тому її часто називають ньютонівською. Закони сформульовані ним у 1667 році в праці «Математичні засади натуральної філософії» і є узагальненням численних дослідних даних.

Оскільки взаємодія тіл припускає дію першого тіла на друге, і другого - на перше одночасно, то сила характеризує обидві дії відразу, тому зображається двома стрілками, прикладеними до обох тіл і спрямованими у протилежні сторони. Природно, що сили взаємодії між тілами мають однакову природу, завжди виникають парами і прикладені до різних (взаємодіючих) тіл. Це твердження про взаємність механічної дії тіл одне на одного у фізиці носить назву третього закону Ньютона, який формулюється так: два тіла при їх взаємодії діють одне на одного силами, які мають однакову природу, спрямованими уздовж однієї прямої, рівними за величиною і про-

тилежними за напрямками: де F1,2 – сила, що діє на перше тіло з боку другого, а F2,1 – сила, що діє на друге тіло з боку першого. Прикладені ці сили до різних тіл,

тому вони не врівноважують одна одну. Взаємодії, які розглядаються законом, можуть бути як прямими або контактними (наприклад, при зіткненні тіл), так і непрямими або діями на відстані (наприклад, тяжіння Сонця і Землі). Цей закон дозволяє здійснити перехід від динаміки окремої матеріальної точки до динаміки системи точок, які взаємодіють попарно одна із одною.

Другий закон Ньютона називають основним законом динаміки, оскільки він встановлює зв'язок між динамічними і кінематичними величинами. Окрім сили, іншою найважливішою динамічною характеристикою тіла служить його маса. Маса тіла – скалярна фізична величина, що є однією із основних характеристик матерії і визначає її інерційні (інертна маса) і гравітаційні (гравітаційна маса) властивості, а також її енерговміст. Інертністю тіла називають властивість, притаманна всім тілам і полягає у тому, що тіла чинять опір зміні своєї швидкості (як по модулю, так і по напрямку). Особливості гравітаційних взаємодій визначаються законом Всесвітнього тяжіння і будуть розглянуті нижче. Сьогодні можна визнати доведеним, що інертні і гравітаційні маси дорівнюють одна одній (із точністю, не меншою за 10^-12 їхнього значення). Маса є адитивною величиною: маса складового тіла дорівнює сумі мас його частин. В межах класичної механіки, маса тіла є сталою величиною – не змінюється при русі цього тіла (зі швидкостями V<<c). Одиниця виміру маси – кілограм (кг). Другий закон Ньютона формулюється так: прискорення, якого набу-

ває матеріальна точка (тіло), пропорційне прикладеній до нього силі, співпадає із нею по напрямку і обернено пропорційне до маси цієї матеріальної точки (тіла):

У фізиці справедливий принцип незалежності дії сил: якщо на матеріальну точку (тіло) діє одночасно декілька сил, то кожна із них надає цій точці (тілу) прискорення, визначуване другим законом Ньютона, незалежно від дії решти сил. Тому прис-

корення, якого набуде точка під дією декількох сил, ви-значається співвідношенням: де - результуюча сила – геометрична сума всіх

прикладених сил. Сила завжди може бути розкладена на дві складові – тангенціаль-

	ну F і нормальну Fn: Розкладання результуючої сили на складові приводить до істот-
ного спрощення вирішення задач. Якщо сила F=mа розкладена на два компоненти:
		тангенціальну силу F (спрямовану по дотичній до траєкторії) і нормальну силу Fn (спрямовану по нормалі до траєкторії до центру кривини), то модулі цих складових визначаються співвідношеннями: Самим Ньютоном другий закон динаміки був сфор-

мульований не через прискорення, а через імпульс тіла. Імпульсом матеріальної точки (тіла) називають векторну фізичну величину, яка чисельно дорівнює додатку маси цієї матеріальної точки (тіла) на її швидкість і має напрям швидкості: p=mV. Одиниця виміру імпульсу – кілограм-метр в секунду (кгм/с). Використавши визначення прискорення точки і визначення імпульсу, одержимо авторський вираз і фор-

мулювання другого закону Ньютона: Ця формула виражає другий закон Ньютона у найзагальнішій формі, коли і маса рухомого тіла

може змінюватись із часом: швидкість зміни імпульсу матеріальної точки (тіла) дорівнює діючій на неї (нього) силі і відбувається у напрямку дії цієї сили. Записане рівняння ще називають рівнянням руху матеріальної точки.

Перший закон Ньютона називається законом інерції. У формулюванні, приведеному Ньютоном, він був встановлений ще Галілеєм: будь-яка матеріальна точка (тіло) зберігає свій стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, доки дія з боку інших тіл не примусить її змінити цей стан. Іншими словами, за відсутності зовнішніх дій (а, вірніше, при їх компенсації) тіло покоїться або рухається по прямій без зміни швидкості (за інерцією). У іншому формулюванні, цей закон звучить так: існують такі системи відліку, щодо яких поступально рухомі тіла зберігають свою швидкість постійною, якщо на них не діють інші тіла (або їхня дія компенсується). Системи відліку, щодо яких матеріальна точка, вільна від зовнішніх дій, або покоїться, або рухається рівномірно і прямолінійно, називаються інерціальними системами відліку. Твердження про існування інерціальних систем відліку складає зміст першого закону Ньютона – він виконується тільки в таких системах відліку. Системи відліку, рухомі із прискореннями щодо інерціальної системи відліку, називаються неінерціальними.

Щоб передбачити характер руху тіла у кожному конкретному випадку, необхідно знати характер діючих на нього сил. У механіці вивчаються сили притягання (гравітаційні), сили пружності і сили тертя.

1. Сили притягання – це сили, які підкоряються закону Всесвітнього притягання, відкритого Ньютоном при вивченні руху небесних тіл на основі законів Кеплера і основних законів динаміки: між двома матеріальними точками із масами m₁ і m₂ діє сила взаємного притягання, пропорційна додатку їх мас і обернено пропорційна ква-

драту відстані між ними: де G=6,6710-11 Нм2/кг2 – гравітаційна стала. Дві планети, відстань між якими значно більша їхніх лінійних розмірів, можна вважати

матеріальними точками при визначенні гравітаційної взаємодії між ними. Маси, що входять у вираз закону Всесвітнього притягання, називаються гравітаційними. Взаємне притягання властиве всім без виключення матеріальним тілам, існує у будь-якому середовищі і здійснюється за допомогою гравітаційного поля. Разом із речовиною, поле притягання (разом з іншими фізичними полями) є однією із форм існування матерії.

Сила тяжіння – це сила, із якою всі тіла притягуються до Землі і спрямована вертикально вниз. Під дією сили тяжіння до Землі, згідно узагальненому закону Галілея, всі тіла в даному місці земної кулі падають із однаковим прискоренням g (позначення від англійського слова «gravitation» – «тяжіння»), яке називається прискоренням вільного падіння або напруженістю гравітаційного поля Землі. Його значення змінюється поблизу поверхні Землі із широтою в межах від 9,78 м/с² на екваторі до 9,83 м/с² на полюсах, але при вирішенні практичних задач вважають g= =9,80 м/с². На підставі другого закону Ньютона, сила тяжіння визначається співвідношенням: P=mg. Якщо добовим обертанням Землі навколо своєї осі знехтувати, для тіла масою m поблизу її поверхні можна записати формулу зв'язку між силою тя-

Звідки,

жіння і силою притягання: де М3 – маса Землі, R3 – радіус Землі. Вагою тіла називають силу, із якою тіло уна-

слідок притягання до Землі тисне на опору або розтягує нитку підвісу, утримуючі тіло від вільного падіння. Сила тяжіння діє завжди, а вага виявляється тільки у тому випадку, коли на тіло окрім сили тяжіння діють ще і інші сили, унаслідок чого тіло рухається не з прискоренням вільного падіння g, а із меншим прискоренням а. Якщо тіло покоїться або рухається рівномірно (V=const), то вага тіла дорівнює силі тяжіння. При русі тіла з прискоренням, залежно від напряму руху, вага тіла може бути як більша, так і менша за силу тяжіння. Якщо тіло рухається вільно у полі тяжіння в будь-якому напрямку та по будь-якій траєкторії, то а=g, а вага тіла буде дорівнювати нулю, тобто тіло буде невагомим. Стан тіла, при якому воно рухається тільки під дією сили тяжіння (вільно падає), називається станом невагомості.

2. Сили пружності виникають в результаті взаємодії тіл, що супроводжуються їх деформацією. Деформацією називається зміна форми і розмірів тіла під дією прикладених сил. Деформація називається пружною, якщо після припинення дії зовнішніх сил, вона повністю зникає (тобто, тіло повністю відновлює свою форму). Деформація, яка залишається в тілі після припинення дії зовнішніх сил, називається залишковою або пластичною. Деформації реальних тіл є завжди пластичними, оскільки після припинення зовнішньої дії вони ніколи повністю не зникають. Проте, при малих навантаженнях, коли залишкові деформації малі, то ними можна нехтувати. Для пружних деформацій справедливий закон Гука: сила пружності, що виникає у пружно деформованому тілі, прямо пропорційна величині його абсолютної де-

формації: де l – абсолютна деформація тіла (якщо до кінців стрижня завдов-жки l0 прикласти дві протилежні сили, то його довжина змінюється

на l. При розтяганні l=l-l₀>0, а при стисканні l=<0, k – коефіцієнт пружності (для сили пружності пружини коефіцієнт k називають жорсткістю пружини). Закон Гука може бути сформульований і у загальнішому вигляді: для малих пружних деформацій механічна напруга , яка виникає у деформованому тілі, прямо пропорцій-

на його відносній деформації : де =F/S – механічна напруга (сила, діюча на одиницю поперечного перерізу тіла, =l/l – відносна деформація тіла – відношення абсо-

лютної деформації до первинної довжини. Коефіцієнт пропорційності між ними Е характеризує пружні властивості матеріалу тіла і називається модулем Юнга. Легко показати, що обидва ці вирази закону Гука еквівалентні.

3. Сили тертя виникають при стиканні поверхонь тіл і перешкоджають їхньому взаємному переміщенню. Вони спрямовані по дотичній до поверхонь (або шарам рідини або газу), які труться, та протидіють відносному зсуву цих поверхонь (завжди спрямовані протилежно відносній швидкості переміщення). Сили тертя можуть бути різної природи і залежать від відносних швидкостей тіл. Розрізняють декілька видів сил тертя.

а) Тертя спокою – виникає за відсутності відносного переміщення дотичних тіл. Максимальна сила тертя спокою визначається співвідношенням:

де 0 – коефіцієнт тертя спокою, який залежний від властивостей (природи і стану) дотичних поверхонь, N – сила нормального тиску, яка притискує поверхні, що труться, одну до одної. Відносний

тіл виникне, коли зовнішня дотична сила, яка діє на тіло, перевищить максимальну силу тертя спокою.

б) Зовнішнє (сухе) тертя – виникає у площині дотику двох дотичних тіл при їх відносному переміщенні. Розрізняють види сухого тертя: тертя ковзання, виникаюче при ковзанні тіла по поверхні опори; тертя котіння – виникає, якщо тіло котиться по поверхні опори. Сила тертя ковзання визначається згідно із законом:

		де  - коефіцієнт тертя ковзання. Сила тертя котіння визначається згідно із законом, встановленим Кулоном:
	де r – радіус тіла, яке котиться, к – коефіцієнт тертя котіння. в) Внутрішнє (в'язке) тертя – тертя між різними шарами рідини або газу, які рухаються із різними швидкостями. На відміну

від зовнішнього тертя, в цьому випадку тертя спокою відсутнє. При переміщенні одних шарів реальної рідини або газу щодо інших виникають сили внутрішнього тертя, спрямовані по дотичній до поверхні шарів. Дія цих сил виявляється у тому, що з боку більш рухомих шарів на шари, менш рухомі, діє прискорююча сила. У свою чергу, з боку менш рухомих шарів на шари більш рухомі, діє сила гальмуюча. Механізми внутрішнього тертя для рідин і газів відрізняються. Дослідним шляхом встановлено, що сила опору рівномірному рухові кульки у рідині (сила Стокса) визна

чається співвідношенням: де  - коефіцієнт динамічної в'язкості, r – радіус кульки, V - швидкість її рівномірного руху.

При вивченні динаміки обертального руху потрібно ввести нові динамічні характеристики – момент сили і момент інерції. Моментом сили називається векторна фізична величина, визначувана векторним добутком радіус-вектора r точки, у

якій сила прикладена, на вектор цієї сили F: Напрям вектора моменту сили визначається правилом векторного добутку (правого гвинта). Модуль вектора моменту сили:

M=Frsin =Fl, де  - кут між векторами r і F, rsin =l – найкоротша відстань між лінією дії сили і початком відліку системи координат, яку називають плечем сили. Одиниця виміру моменту сили – Ньютон-метр (Нм).

Мірою інертності при обертальному русі служить момент інерції тіла щодо осі обертання. Моментом інерції матеріальної точки щодо осі обертання називається скалярна фізична величина, що дорівнює добутку маси цієї точки на квадрат її відстані до цієї осі: I_i=m_ir_i². Одиниця моменту інерції – кілограм-метр в квадраті (кгм²). Це адитивна величина: момент інерції тіла рівний сумі моментів інерції його частин. Момент інерції тіла щодо осі обертання дорівнює сумі моментів інерції

	матеріальних точок, із яких складається це тіло: У загальному випадку, якщо тіло суцільне і є сукупністю точок із нехтовно малими масами dm, його момент інерції визначається інтегруванням: де =m/V – густина однорідного тіла. Момент інерції тіла

залежить від того, щодо якої осі воно обертається і як розподілена маса тіла по об'єму. Найпростіше визначаються моменти інерції тіл, які мають правильну геометричну форму і рівномірний розподіл маси по об'єму. Якщо потрібно визначити момент інерції тіла щодо довільної осі, слід скористатися теоремою Штейнера: момент інерції тіла I, щодо довільної осі обертання, дорівнює сумі моменту інерції I₀, щодо

осі, паралельній даній, яка проходить через центр інерції тіла, та добутку маси тіла m на квадрат відстані між цими осями d:

Основний закон динаміки обертального руху, як і другий закон Ньютона для поступального руху, встановлює зв'язок між динамічними характеристиками оберта-

льного руху: кутове прискорення точки при обертанні навколо нерухомої осі, пропорційне сумарному обертаючому моменту прикладених до тіла сил, і обернено пропорційне моменту інерції цього тіла:

Як і для поступального руху, основний закон динаміки обертального руху може бути записаний в іншому вигляді. Моментом імпульсу і-тої матеріальної точки щодо деякої нерухомої точки О називають векторну фізичну величину, визначувану векторним добутком радіус-вектора r_i цієї матеріальної точки, проведеного із точки

О, на її вектор імпульсу pi=miVi: Напрям вектора моменту імпульсу визначається правилом векторного добутку (правого гвинта). Модуль вектора моменту ім-

пульсу: L_i=r_ip_isin =p_il, де  - кут між векторами r_i і p_i, r_isin=l – найкоротша відстань між точкою О і напрямом імпульсу частинки, зване плечем імпульсу. При обертанні твердого тіла кожна його точка рухається із своєю лінійною швидкістю V_i=r_i, де r_i – радіус кола, яке описує і-та частинка твердого тіла масою m_i навколо нерухомої осі Z,  - кутова швидкість обертання, однакова для всіх точок тіла. Швидкість частинки V_i (і її імпульс р_i) перпендикулярні цьому радіусу, тобто радіус є плечем вектора імпульсу. Моментом імпульсу і-тої частинки щодо нерухомої осі називається величина L_iz=r_ip_i=r_im_iV_i, яка спрямована вздовж осі Z у бік, визначуваний правилом правого гвинта. Момент імпульсу твердого тіла щодо нерухомої осі обертання Z дорівнює сумі моментів імпульсів окремих його часток щодо тієї ж осі:

де Iz – момент інерції тіла щодо осі Z. Одиниця виміру моменту імпуль-

су – кілограм-метр в квадраті в секунду (кгм²/с). Вектор моменту імпульсу твердого тіла співпадає за напрямком із вектором кутової швидкості. Використовуючи поняття моменту імпульсу, основному закону динаміки обертального руху можна на-

дати вигляду: тобто, швидкість зміни моменту імпульсу твердого тіла щодо деякої осі обертання дорівнює геометри-

чній сумі моментів всіх зовнішніх сил, і відбувається у напрямку дії цього результуючого моменту сил.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З РОЗДІЛУ “ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ”