V этап деловой игры

Тема: Оценка эффективности методики тренировки.

Цели:

1. Ознакомиться с особенностями нормального закона распределения результатов тестирования.

2. Приобрести навыки по проверке выборочного распределения на нормальность.

3. Приобрести навыки оценки эффективности методики тренировки.

4. Научиться рассчитывать и строить доверительные интервалы для генеральных средних арифметических малых выборок.

Краткие теоретические сведения.

Примечание: В этом разделе отчета студент, внимательно прочитав теоретические сведения, в письменной форме отвечает на следующие вопросы:

1. Сущность метода оценки эффективности методики тренировки.

2. Нормальный закон распределения.

3. Основные свойства кривой нормального распределения.

4. Правило трех сигм.

5. Какие критерии и в каких случаях используются при проверке попарно зависимых выборок на нормальность распределения.

6. Что характеризует доверительный интервал? Методика его определения.

Анализ статистических данных.

Примечание: В качестве примера возьмем приведенные в табл. 5.1 результаты измерения показателя скоростных качеств у спортсменов до начала тренировок (они обозначены индексом Г) и после двух месяцев тренировки (они обозначены индексом Д).

Таблица 5.1. Показатели скоростных качеств спортсменов.

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Niг, уд	73	70	81	80	84	75	79	78	80	79
NiД, уд	79	78	90	88	87	81	89	79	81	70

От выборок Г и Д перейдем к выборке, составленной из разностей парных значений d_i = N_i^Д - N_i^Г и определим квадраты этих разностей. С этой целью по данным таблицы 5.1 составим расчетную таблицу 5.2.

Пользуясь табл. 5.2 найдем среднее арифметическое парных разностей:

d_i 43

d = – – – = – – – = 4,3 уд.

n 10

Таблица 5.2. Расчет квадратов парных разностей значений d_i².

№ п/п	Niг, уд	NiД, уд	di = NiД - NiГ, уд	di2, уд2
1	73	79	6	36
2	70	78	8	64
3	81	90	9	81
4	80	88	8	64
5	84	87	3	9
6	75	81	6	36
7	79	89	10	100
8	78	79	1	1
9	80	81	1	1
10	79	70	-9	81
			 = 4,3	 = 473

Далее рассчитаем сумму квадратов отклонений d_i от d по формуле:

(d_i)² 4,3²

(d_i - d)² =  d_i² - – – – = 473 - – – – = 288,1 уд².

n 10

Определим дисперсию для выборки d_i:

(d_i - d)² 288,1

_d² = – – – – – = – – – = 32,01 уд².

n - 1 9

После этого проверим при уровне значимости =0,05 нулевую гипотезу о нормальном распределении выборки, составленной из разностей парных значений d_i, при конкурирующей гипотезе о ненормальном распределении. Для этого составим расчетную таблицу 5.3.

Порядок заполнения таблицы 5.3:

1. В первый столбец записываем номера по порядку.

Таблица 5.3. Данные расчета критерия Шапиро и Уилка W_набл для выборки, составленной из разностей парных значений d_i.

№ п/п	di, уд	k	dn - k + 1-dk=k	ank	k*ank
1	-9	1	10 - (-9) = 19	0,5739	10,9041
2	1	2	9 - 1 = 8	0,3291	2,6328
3	1	3	8 - 1 = 7	0,2141	1,4987
4	3	4	8 - 3 = 5	0,1224	0,612
5	6	5	6 - 6 = 0	0,0399	0
6	6
7	8
8	8
9	9
10	10

2. Во второй – разности парных значений d_i в возрастающем порядке.

3. В третий – номера по порядку k парных разностей. Так как в нашем случае n = 10, то k изменяется от 1 до n/2 = 5.

4. В четвертый – разности _k, которые находим таким образом:

– из самого большого значения d₁₀ вычтем самое малое d₁ и полученное значение запишем в строке для k = 1,

– из d₉ вычтем d₂ и полученное значение запишем в строке для k = 2 и т.д.

5. В пятый – записываем значения коэффициентов a_nk, взятые из таблицы, используемой в статистике для расчета критерия W порверки нормальности распределения для n = 10.

6. В шестой – произведение _k*a_nk и находим сумму этих произведений:

b =  _k*a_nk = 15,6476

b² = 244,8474

Наблюдаемое значение критерия W_набл находим по формуле:

b² 244,8474

W_набл = – – – – = – – – – = 0,850.

(d_i - d)² 288,1

Проверим правильность выполнения расчетов критерия Шапиро и Уилка W_набл его расчетом на микроЭВМ МК-56 по следующей стандартной программе:

Стандартная программа для проверки выборочной совокупности на подчиненность нормальному закону распределения

1. Перейти в режим «Программирование» нажатием кнопок F, ПРГ.

2. Занести в память микроЭВМ программу:

Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код	Адрес	Команда	Код
00	xП, 0	40	11	с/п	50	22	Пx, b	6L
01	с/п	50	12	xП, 9	49	23	+	10
02	xП, 1	41	13	с/п	50	24	xП, b	4L
03	с/п	50	14	xП, a	4-	25	с/п	50
04	xП, 5	45	15	с/п	50	26	F, x2	22
05	с/п	50	16	4	04	27	Пx, 0	60
06	xП, 6	46	17	xП, 4	44	28		13
07	с/п	50	18	с/п	50	29	Пx, 1	61
08	xП, 7	47	19	-	11	30		13
09	с/п	50	20	К,Пx,4	Г4	31	с/п	50
10	xП, 8	48	21	х	12

3. Перейти в автоматический режим нажатием кнопок F, АВТ.

4. Занести исходные данные: набрать величину дисперсии и нажать кнопки в/о, с/п, количество результатов, уменьшенное на единицу, т.е. (n - 1) и с/п, коэффициенты a_nk, после каждого коэффициента нажать кнопку с/п.

5. После занесения всех исходных данных нажать кнопки БП, 16, с/п.

6. Набрать последнее и первое числа, разделив их командой В, нажать кнопки БП, 19, с/п.

7. Набрать предпоследнее и второе числа, разделив их командой В, нажать кнопки БП, 19, с/п.

8. Аналогичную процедуру проделать со всеми данными выборки.

9. После введения последней пары чисел нажать кнопку с/п. Полученный результат является наблюдаемым значением критерия W Шапиро и Уилка.

10. Для повторного использования программы нажать кнопки 0, хП, b, прейти к пункту 4.

Расчет критерия Шапиро и Уилка W_набл на микроЭВМ МК-56 позволил установить, что:

W_набл = 0,850.

Такой результат подтверждает правильность проделанного ранее определения критерия Шапиро и Уилка W_набл с помощью расчетной таблицы 5.3.

Далее по табл. 5.4 ищем W_крит для n = 10.

Таблица 5.4. Критические точки распределения W-критерия Шапиро и Уилка при  = 0,05.

n	3	4	5	6	7	8	9	10
Wкрит	0,764	0,748	0,762	0,788	0,803	0,818	0,829	0,842

Находим, что W_крит = 0,842. Сравним величины W_крит и W_набл. Делаем вывод: так как W_набл (0,850) > W_крит (0,842), должна быть принята гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности d_i. Следовательно можно считать, что полученные после двухмесячных тренировок изменения показателя скоростных качеств у спортсменов имеют нормальное распределение. Генеральные дисперсии выборок Г и Д неизвестны. Поэтому для оценки эффективности применявшейся методики развития скоростных качеств, следует использовать параметрический t - критерий Стьюдента:

d n (d_i - d)²

t_набл = – – – – , где _d = – – – –

_d  n - 1

Проверка эффективности применявшейся методики тренировки

При  = 0,05 выдвинем нулевую гипотезу об отсутствии различия между средним исходным показателем скоростных качеств N^Г и средним показателем скоростных качеств N^Д, достигнутым после двух месяцев тренировок (H₀: d_ген = 0) и конкурирующую гипотезу о наличии разницы между ними (H₁: d_ген > 0). Предположение об ухудшении скоростных качеств после тренировок, т.е. о том, что d_ген < 0, в данном случае лишено здравого смысла, поэтому мы имеем дело с односторонней критической областью.

Ранее мы получили, что _d² = 32,01 уд². Следовательно,

_d =  _d² =  32,01 = 5,66 уд.

Наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента равно:

d n 4,3 * 3,16

t_набл = – – – – = – – – – – = 2,4.

_d 5,66

По табл. 5.5 ищем t_крит для  = 0,05 и числа степеней свободы k = n - 1 = 10 - 1 = 9.

Таблица 5.5. Критические значения t-критерия Стьюдента при  = 0,05 для односторонней критической области.

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
tкрит	6,31	2,92	2,35	2,13	2,01	1,94	1,89	1,86	1,83	1,81

Находим, что t_крит = 1,83. Сравнение t_крит и t_набл позволяет сделать вывод: так как t_крит (2,4) > t_набл (1,83), с надежностью более 95% ( = 0,05) должна быть принята конкурирующая гипотеза (H₁: d_ген > 0). Следовательно, применение данной методики развития скоростных качеств у спортсменов эффективно. Средний исходный показатель скоростных качеств статистически достоверно увеличился на 4,3 удара.

Расчет и построение доверительного интервала для генеральной средней арифметической

Так как распределение выборки d, составленной из разностей парных значений, согласуется с нормальным законом распределения, а генеральная дисперсия d_i неизвестна, точные значения границ доверительного интервала для d_ген, найдем из следующего двойного неравенства:

X - t_S_X < X_ген < X + t_S_X.

Для рассматриваемой задачи оно будет иметь вид:

d - t_S_d < d_ген < d + t_S_d.

По таблице Стьюдента мы нашли, что для уровня значимости  = 0,05, числа степеней свободы k = n - 1 = 10 - 1 = 9 и двухсторонней критической области t_ = 2,26.

Стандартную ошибку среднего арифметического найдем по формуле:

_d 5,66

S_d = – – – = – – – = 1,79 ударов.

 n 3,16

Доверительный интервал для среднего арифметического прироста количества ударов за 10 с в генеральной совокупности равен:

4,3 – 2,26 * 1,79 < d_ген < 4,3 + 2,26 * 1,79

4,3 – 4,0 < d_ген < 4,3 + 4,0

0,3 уд < d_ген < 8,3 уд

Следовательно, с доверительной вероятностью P = 0,95 можно утверждать, что в результате тренировки улучшение показателя скоростных качеств d_ген будет находиться в пределах от 0,3 до 8,3 ударов за 10 с.

Для построения доверительного интервала необходимо выбрать масштаб. С этой целью найдем размах варьирования d_ген : 8,3 - 0,3 = 8,0 уд. Выберем масштаб 1 уд – 1 см.

Доверительный интервал для d_ген

Вариант 2: критерий непараметрический

Примечание: в качестве примера воспользуемся приведенными в табл. 5.6 результатами измерения показателя скоростных качеств у спортсменов перед началом тренировок (они обозначены индексом Г) и после двухмесячных тренировок (они обозначены индексом Д).

Таблица 5.6. Показатели скоростных качеств спортсменов.

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Niг, уд	85	94	77	91	74	78	74	75	81	70
NiД, уд	74	78	74	101	84	94	90	87	65	85

От выборок Г и Д перейдем к выборке, составленной из разностей парных значений d_i = N_i^Д - N_i^Г и определим квадраты этих разностей. С этой целью по данным таблицы 5.6 составим расчетную таблицу 5.7.

Таблица 5.7. Расчет квадратов парных разностей значений d_i².

№ п/п	Niг, уд	NiД, уд	di = NiД - NiГ, уд	di2, уд2
1	85	74	-11	121
2	94	78	-16	256
3	77	74	-3	9
4	91	101	10	100
5	74	84	10	100
6	78	94	16	256
7	74	90	16	256
8	75	87	12	144
9	81	65	-16	256
10	70	85	15	225
			 = 33	 = 1723

Пользуясь табл. 5.7 найдем среднее арифметическое парных разностей:

d_i 33

d = – – – = – – – = 3,3 уд.

n 10

Далее рассчитаем сумму квадратов отклонений d_i от d по формуле:

(d_i)² 33²

(d_i - d)² =  d_i² - – – – = 1723 - – – – = 1614,1 уд².

n 10

Определим дисперсию для выборки d_i:

(d_i - d)² 1614,1

_d² = – – – – = – – – = 179,3 уд².

n - 1 9

После этого проверим при уровне значимости =0,05 нулевую гипотезу о нормальном распределении выборки, составленной из разностей парных значений d_i, при конкурирующей гипотезе о ненормальном распределении. Для этого составим расчетную таблицу 5.8.

Таблица 5.8. Данные расчета критерия Шапиро и Уилка W_набл для выборки, составленной из разностей парных значений d_i.

№ п/п	di, уд	k	dn - k + 1-dk=k	ank	k*ank
1	-16	1	16 - (-16) = 32	0,5739	18,3648
2	-16	2	16 - (-16) = 32	0,3291	10,5312
3	-11	3	15 - (-11) = 26	0,2141	5,5666
4	-3	4	12 - (-3) = 15	0,1224	1,836
5	10	5	10 - 10 = 0	0,0399	0
6	10
7	12
8	15
9	16
10	16

Порядок заполнения таблицы 5.8:

1. В первый столбец записываем номера по порядку.

2. Во второй – разности парных значений d_i в возрастающем порядке.

3. В третий – номера по порядку k парных разностей. Так как в нашем случае n = 10, то k изменяется от 1 до n/2 = 5.

4. В четвертый – разности _k, которые находим таким образом:

– из самого большого значения d₁₀ вычтем самое малое d₁ и полученное значение запишем в строке для k = 1,

– из d₉ вычтем d₂ и полученное значение запишем в строке для k = 2 и т.д.

5. В пятый – записываем значения коэффициентов a_nk, взятые из таблицы, используемой в статистике для расчета критерия W порверки нормальности распределения для n = 10.

6. В шестой – произведение _k*a_nk и находим сумму этих произведений:

b =  _k*a_nk = 36,2986

b² = 1317,588

Наблюдаемое значение критерия W_набл находим по формуле:

b² 1317,588

W_набл = – – – – = – – – – = 0,816.

(d_i - d)² 1614,1

Проверим правильность выполненных расчетов критерия Шапиро и Уилка W_набл его расчетом на микроЭВМ МК-56 по стандартной программе (см. программу в образце для 1-го варианта). Проверочный расчет позволил установить, что

W_набл = 0,816.

Такой результат подтверждает правильность определения критерия Шапиро и Уилка W_набл с помощью расчетной таблицы 5.8.

Далее по табл. 5.4 ищем W_крит для n = 10. Находим, что W_крит = 0,842. Сравним величины W_крит и W_набл. Делаем вывод: так как W_набл (0,816) < W_крит (0,842), должна быть принята гипотеза о распределении генеральной совокупности d_i отличном от нормального. Генеральные дисперсии выборок Г и Д неизвестны, выборки попарно зависимы. Поэтому для оценки эффективности применявшейся методики развития скоростных качеств, следует использовать непараметрический U - критерий Уилкоксона.

Проверка эффективности применявшейся методики тренировки

При  = 0,05 выдвинем нулевую гипотезу об отсутствии различия между средним исходным показателем скоростных качеств N^Г и средним показателем скоростных качеств N^Д, достигнутым после двух месяцев тренировок (H₀: d_ген = 0) и конкурирующую гипотезу о наличии разницы между ними (H₁: d_ген > 0). Предположение об ухудшении скоростных качеств после тренировок, т.е. о том, что d_ген < 0, в данном случае лишено здравого смысла, поэтому мы имеем дело с односторонней критической областью.

Заменим разности парных значений d_i их рангами в соответствии с табл. 5.9. При определении ранга знак разности не учитывается, а нулевые значения отбрасываются. Самая малая по абсолютной величине разность получает первый ранг, следующая – второй и т.д. Одинаковым по абсолютной величине разностям присваиваются одинаковые ранги, равные среднему арифметическому рангу.

Таблица 5.9. Ранги разности парных значений d_i.

di	-16	-16	-11	-3	10	10	12	15	16	16
Ранги	8,5	8,5	4	1	2,5	2,5	5	6	8,5	8,5

Найдем сумму рангов положительных разностей:

U₁ = 2,5 + 2,5 + 5 + 6 + 8,5 + 8,5 = 33.

Затем подсчитаем сумму рангов для отрицательных разностей:

U₂ = 1 + 4 + 8,5 + 8,5 = 22.

Из двух полученных сумм выбираем наименьшую. Она и будет наблюдаемым значением критерия Уилкоксона:

U_набл = 22.

По таблице 5.10 ищем U_крит для n = 10. Находим, что U_крит = 9. Сравним величины U_набл и U_крит, делаем вывод: так как U_набл(22) > U_крит (9), с надежностью более 95% должна быть принята основная гипотеза о том, что генеральная средняя показателя скоростных качеств у спортсменов после двух месяцев тренировок не больше, чем до тренировок, т.е. d_ген = 0. Следовательно, применявшаяся методика тренировок не эффективна.

Таблица 5.10. Критические точки распределения U-критерия Уилкоксона при  = 0,05

N	6	7	8	9	10
Uкрит	1	3	5	7	9

Расчет и построение доверительного интервала для d_ген.

Так как закон распределения выборки d_i не согласуется с нормальным законом, найти точные значения границ доверительного интервала не представляется возможным. Найдем приближенные значения границ доверительного интервала для d_ген, воспользовавшись следующим двойным неравенством, полученным для нормального закона распределения и неизвестной генеральной дисперсии:

X - t_S_X < X_ген < X + t_S_X.

Для рассматриваемой задачи оно будет иметь вид:

d - t_S_d < d_ген < d + t_S_d.

По таблице Стьюдента (табл. 5.5) находим, что для уровня значимости  = 0,05, числа степеней свободы k = n - 1 = 10 - 1 = 9 и односторонней критической области t_ = 1,83.

Стандартную ошибку среднего арифметического найдем по формуле:

_d 13,39

S_d = – – – = – – – = 4,24 ударов.

 n 3,16

Доверительный интервал для среднего арифметического прироста количества ударов за 10 с в генеральной совокупности равен:

3,3 – 2,26 * 4,24 < d_ген < 3,3 + 2,26 * 4,24

3,3 – 9,6 < d_ген < 3,3 + 9,6

-6,3 уд < d_ген < 12,9 уд

Следовательно, можно приближенно утверждать, что доверительный интервал d_ген будет находиться в пределах от –6,3 до 12,9 ударов.

Для построения доверительного интервала необходимо выбрать масштаб. С этой целью найдем размах варьирования d_ген : 12,9 - (-6,3) = 19,4 уд. Выберем масштаб 3 уд – 1 см.

Доверительный интервал для d_ген

Литература:

1. М.А. Годик. Спортивная метрология. Учебник для ин-тов физической культуры. – М.: Физкультура и спорт, 1988.

2. Основы математической статистики. Уч. пособие для ин-тов физической культуры (под общ. ред. В.С. Иванова). – М.: Физкультура и спорт, 1990.

3. Спортивная метрология. Учебник для ин-тов физической культуры (под общ. ред. В.М. Зациорского). М.: Физкультура и спорт, 1982.

4. Г.И. Гинзбург, В.Г. Киселев. Расчетно-графические работы по спортивной метрологии. – Минск: БГИФК, 1984.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.................................................................................................. 3

1. Контроль и измерения в спорте.....……………………............................6

1.1. Контроль в физическом воспитании и спорте............................6

1.2. Основы теории тестов.................................................................. 7

1.3. Основные понятия теории измерений.........................................8

1. Шкалы измерений............................................................8

2. Единицы измерений........................................................10

3. Точность измерений....................................................... 10

Игровая ситуация и организация игры на I этапе..............................12

Порядок работы на I этапе.................................................................. 15

Образец отчета о I этапе деловой игры.............................................. 15

2. Статистические методы обработки результатов измерений...................17

1. Составление рядов распределения и их графические представления..................................................................................18

2. Основные статистические характеристики выборки..................22

Порядок работы на II этапе................................................................ 24

Образец отчета о работе на II этапе деловой игры............................ 25

3. Оценка надежности теста для контроля за развитием скоростных качеств.…………….......................................................................................29

1. Основы теории корреляции......................................................... 29

1. Функциональная и статистическая взаимосвязи........... 29

2. Корреляционное поле......................................................30

3. Оценка тесноты взаимосвязи......................................... 31

4. Направленность взаимосвязи..........................................33

5. Методы вычисления коэффициентов взаимосвязи........34

2. Основы теории проверки статистических гипотез......................35

3,2,1, Статистические критерии проверки нулевых гипотез...36

2. Основной принцип проверки статистических гипотез..36

3. Односторонние и двусторонние критические области..36

4. Уровень значимости ................................................... 37

5. Параметрические и непараметрические методы статистической проверки гипотез........................................ 37

3. Надежность тестов....................................................................... 37

1. Понятие о надежности тестов........................................ 37

2. Стабильность теста......................................................... 39

3. Согласованность теста.................................................... 39

4. Эквивалентность теста................................................... 40

5. Пути повышения надежности теста............................... 41

Образец отчета на III этапе игры........................................................ 41

5. Оценка эффективности методики тренировки.……………………........47

Ситуация и организация игры на V этапе..........................................47

1. Нормальный закон распределения результатов измерений........48

2. Основные свойства кривой нормального распределения...........50

3. Влияние x_г и _г на вид кривой нормального распределения......50

4. Вероятности попадания в области x_г  _г, x_г  2_г, x_г 3_г. Правило трех сигм..........................................................................51

5. Расчет доверительных интервалов для среднего значения....... 52

1. Доверительный интервал. Доверительная вероятность........................................................................... 52

2. Доверительные интервалы для оценки среднего значения нормального распределения................................................. 53

Порядок работы на V этапе................................................................ 53

Образец отчета о работе «тренера» на V этапе деловой игры.......... 54

Литература……………………………………………………………...65

76