381

8* – Вправи для виконання в аудиторії на практичному занятті з Теми: “Проекції площини”

Вправа 8*.1 Визначити точку К (К1, К2) перетину прямої L (L1, L2) та показати видимість прямої на проекціях площини АВС (А1В1С1, А2В2С2)

(рис. а).

Вправа 8*.2 Побудувати дотичну до еліпса в точці К (К1, К2) (рис. б). Дивися пояснення на с. 92 та рис. 4.1.8, що на с. 93 даних вказівок. Вправа 8*.3 Побудувати лінію перетину площин суміщених трикутників

АВС і DEF та визначити видимість їх сторін. Видиму частину трикутника АВС замалювати жовтім кольором, або заштрихувати.

71

9* – Вправи для самостійної домашньої підготовки до практичного заняття з теми: “Проекції площини” Вправа 9*.1 Через точку К побудувати площину перпендикулярну до прямої

АВ для двох випадків: а – точка К не належить прямої АВ; б – точка К належить прямій C D.

а б

Вправа 9*.2 Побудувати лінію перетину двох площин.

Розроб. доц. каф. ЗМ Тюнін В. Д. 2006-2007 н. р.

72

10* – Вправи для виконання в аудиторії на практичному занятті з теми: “Проекції площини”

10*.1 Провести через точку D горизонтальну пряму, паралельну площині АВС, а через точку Е – пряму перпендикулярну до площини АВС. Знайти точку К зустрічі перпендикуляра з площиною.

10*.2 Побудувати натуральну величину відстані від точки D до площини АВС за допомогою прямокутного трикутника. Побудувати точку Е, симетричну до точки D відносно площини.

73

Розділ ІІ Способи перетворення проекцій

Іноді рішення графічних задач по визначенню натуральних величин геометричних елементів із використанням старих площин проекцій, міцно прив'я- заних до проекцій фігур, значно спрощується, якщо ввести нову додаткову площину, зберігши прямокутне (ортогональне) проеціювання. Вихідне положення геометричної фігури при цьому залишається незмінним.

Мета перетворення проекцій – одержання натуральних величин відріз-

ків, відстаней, кутів, площин та розгорток геометричних фігур. Цього мож-

на досягти одним із таких трьох способів:

-заміна площин проекцій;

-обертання фігури;

-плоскопаралельне перенесення з одночасним обертанням фігури.

2.1Спосіб заміни площин проекцій

Суть способу полягає у введенні нової додаткової площини проекції в існуючу систему площин проекцій П1 / П2 або П2 / П3 з дотриманням таких правил:

-нова площина повинна бути проеціюючою;

-положення нової площини відносно геометричної фігури повинно бути таким, щоб фігура по відношенню нової площини займала б окреме положення;

-координати фігури в новій площині повинні рівнятися координатам зі “старої” площини;

-положення осі нової площини повинно бути вибрано так, щоб виста-

чило робочого поля паперу на розміщення рішення задачі.

Розглянемо введення нових площин проекцій П4, П5 при заміні площин проекцій на прикладах проеціювання точок, відрізків прямої та площин.

2.1.1 Введення П4 при проеціюванні точки А (побудова в сторону П1)

а – у просторі б – на комплексному кресленні Рисунок 2.1 – Заміна площини проекції для точки А в напрямку П1

Запровадження нової площини П4 утворює нову систему площин

74

Послідовність першого перетворення відрізка в лінію рівня:

1.х14 ║ А1В1;

2.Лінії зв’язку від А1 і В1 під кутом 90° підходять до осі х14 та продовжуються в поле площини П4;

3.ZА2 = ZА4, ZВ2 = ZВ4;

4.А4В4 = НВ – лінія рівня, ∟α = НВ.

Послідовність другого перетворення відрізка в проеціюючий:

1.х45 А4В4;

2.Лінії зв’язку від А4 і В4 збігаються і х45 та продовжуються в поле площини П5;

3.УА1 = УВ1 = УА5В5;

4.А4В4 ≡ НВ, А5 ≡ В5 – збігаються в одній точці, а це проеціююча пряма.

2.1.4Два основних перетворення площини загального положення спочатку в проеціюючу – в лінію, а потім у площину рівня – в НВ.

Рисунок 2.4 – Дві заміни площин проекцій для площини АВС на епюрі

Послідовність першого перетворення площини АВС в проеціюючу:

1.х14 h1=НВ; 2. А4В4С4 – лінія – проеціююча площина;

3.Координати: ZА2 = ZА4, ZВ2 = ZВ4, ZC2 = ZC4; 4. ∟α = НВ.

Послідовність другого перетворення площини АВС в площину рівня:

1.х45║ А4В4С4;

2.Координати С5В5А5 взяти з площини П1: УА1 = УА5, УВ1 = УВ5, УС1 = УС5;

3.А5В5С5 ≡ НВ – площина рівня.

76

2.2 Спосіб обертання фігур навколо проеціюючої осі на кут φ = НВ

Натуральні величини (НВ) геометричних елементів можна швидко побудувати з використанням обертання об’єкта навколо проеціюючої осі (рис. 2.5).

2.3 Спосіб обертання відрізка прямої загального положення навколо проеціюючої осі до положення прямої рівня

У цьому випадку необхідно провести проеціюючу вісь обертання через точку А. На П1 проекція точки А1 ≡ і1, а на П2 = і2 ≡ НВ. Обертанням проекції А1В1 необхідно довести до фронтального положення А1В11. При цьому точка В1 опише дугу кола, яка спроеціююється на П2 у пряму В2В20║Ох у площині Ф2. Пряма А2В20 ≡ НВ – фронталь, ∟α ≡ НВ.

а – обертання в пряму рівня; б – обертання в пряму рівня і проеціюючу Рисунок 2.6 – Обертання прямої лінії навколо проеціюючої осі і

77

2.4Спосіб обертання прямої загального положення на кут φ ≡ НВ за допомогою перпендикулярів

Уданому випадку через вісь обертання, що проходить через точку О, взяту за межами відрізка, провести перпендикулярну пряму і жорстко приєднати

(“приварити”) її до відрізка АВ у точці С. Потім, систему А2В2 – і2С2 повернути на кут φ ≡ НВ у площині П2 навколо точки О2 ≡ і2. Всі точки системи опишуть окружності і займут нове повернене положення – А21, В21, С21. У свою чергу, на площині П1 дуги окружностей спроеціюються в лінії паралельні осі ОХ і на своїх кінцях проекційно утворять точки А11, В11, С11 (рис. 2.7).

Рисунок 2.7 – Повернення відріка АВ на ∟φ новколо осі і (і1, і2) за допомогою приєднаного до нього перпендикуляра О2С2

З порівняльного аналізу випливає, що кожна точка повертається в “своїй” площині, що паралельна П2.

2.5Спосіб обертання площин, що задани слідами навколо проеціюючої осі

Увипадку, коли площини задани слідами, побудова їх поверненого гра-

фічного зображення викується за допомогою приєднаного перпендикуляра. Цікаві два випадки розташування осей обертання:

1. Вісь належить П2 і перетинає слід f0 (рис. 2.8 а).

2. Вісь не належить П2 і не перетинає слід f0 (рис. 2.8 б).

Упершому випадку точка К2 перетину осі обертання і2 зі слідом f0 є загальною, як для вихідного, так і для поверненного положення. А точка нового положення сходу слідів Х1 будується при повороті за допомогою приєднаного перпендикуляра залежно від умови задачі. Повернений слід f01 є лінія, що з'єднує точки К2 і Х1, а слід h01 повинен бути перпендикулярний новому положенню приєднаного перпендикуляра.

Удругому випадку точку К2 будують за допомогою горизонталі h1 і h11 та їх фронтальної проекції h2, яка перетинає лінію зв'язку К1К2. А повернений слід f01 є лінія, що з’єднує точки К2 і Х1, а слід h01 повинен бути перпендикулярний новому положенню приєднаного перпендикуляра (рис. 2.8 б).

78

2.6Спосіб обертання площин навколо слідів і ліній рівня (“суміщення”)

Уцьому способі в якості осей обертання вибирають проекції слідів та лінії рівня і перпендикулярно до них через відповідні проекції точок фігури під кутом 900 проводять додаткові проеціюючі площини (рис. 2.9).

Потім в цих площинах обертають точки з проекційного положення в суміщене шляхом побудови натуральних величин їх відстаней до осей обертання згідно правила прямокутного трикутника і суміщають з відповідною площиною проекції. Ознакою суміщення площин є той факт, що площину в суміщеному положенні створюють дві пересічні натуральні прямі – натуральна сторона трикутника та слід площини.

Для площин, що задаються трикутними відсіками, є цікавими два випадки розміщення неспотворених проекцій слідів і ліній рівня:

1. Лінія рівня (слід) розташована за межами заданої площин (рис. 2.9 а). 2. Лінія рівня розташована в межах проекцій площин (рис. 2.9 б).

Упершому випадку слід площини (“нульову” лінію рівня) h0 будують за

допомогою двох горизонтальних слідів прямої – це точки D1 та M11. Друга точка є слідом прямої за умовами вихідної побудови. З’єднання слідів М1 з M11 дає слід площини h0. Пряма А1D1 ≡ h0 ≡ h10 ≡ h1 ≡ НВ є віссю обертання.

Через проекції В1 і С1 проводять дві проеціюючі паралельні площини Ф1 і Ф11 під кутом 900 до h1. Далі згідно з правилом прямокутного трикутника бу-

дують натуральну величину відрізка АВ. Для цього через точку В1 проводять промінь під кутом 900 до його проекції А1В1, на промені відкладають різницю

відстаней до точок кінців відрізка А2 і В2 від осі Ох, яка дорівнює відрізку 12В2. На промені одержують точку В0. З точки А1 радіусом, рівним А1В0, проводять дугу кола до перетину її зі слідом проеціюючої площини Ф1 у точці В01. Точку В01 з'єднують з точкою D1. Крім того, слід площини Ф11 перетинає пряму В01D1 у точці С0. Трикутник А0В01С 0 ≡ НВ і є суміщеним з площиною П1.

Удругому випадку (рис. 2.9 б) лінію рівня h2 будують проведенням горизонтальної прямої через точку С2, а h1 ≡ НВ – згідно проекційній відповідності і

лінії зв'язку 1211 та з'єднанням точки 11 з С1. Далі через точку В1 проводять проеціюючу площину Ф1 h1 і будують точки 21 та 22, а Ф11 – через точку

А1║21В1. Потім, згідно правила прямокутного трикутника, будують НВ відрізків 2В та А1. Далі радіусом 21В0 проводять дугу окружності до перетину зі слідом площини Ф1 у точці В01, а радіусом 11А0 – дугу до перетину зі слідом Ф11 у точці А01. Після з'єднання точок А01, В01, С0 одержують трикутник, що дорівнюює натуральній величині та суміщений з площиною П1.

80