381

1.3 Проекції площин

Площина – плоска фігура зумовлена трьома точками, які не лежать на одній прямій лінії. Визначником площини є три точки. Площина в за-

гальному положенні – не замкнена поверхня, яку можливо безмежно продовжувати в будь-якому напрямку. Очевидно, що немає необхідності проеціювати на площинах проекцій усі точки площини, а достатньо трьох точок, щоб мати її характеристики, тобто можна знайти положення будь-якої іншої точки цієї площини, а також виконати в цій площині всілякі побудови.

Очевидно, що площину можливо задати на кресленні не тільки проекціями трьох точок, що не лежать на одній прямій, але й одним із таких рівнозначних способів із такими геометричними ознаками (див. рис. 1.11):

Рисунок 1.11 – Способи завдання площин Будь-яка з поданих геометричних комбінацій геометричних елементів

визначає собою одну і ту ж площину. Перехід від одного засобу зображення даної площини до іншого не змінює самої площини, розташованої так чи інакше в просторі, тому що усі вони зводяться до завдання трьох точок площини.

У загальному випадку трикутний відсік, що задає площину загального положення, проеціюється на площину проекцій у вигляді трикутників, причому будь-яка з його проекцій менше натурального відсіку і не являє собою відрізка прямої лінії. Для визначення на проекціях “особової” і “оберненої” сторін площин трикутника служить правило обходу його вершин: якщо на обох

проекціях обхід вершин відбувається в тому самому напрямку (наприклад, за го-

41

динниковою стрілкою), то кожна з проекції зображує площину трикутника з одного і того ж її боку.

1.3.1 Сліди площини

Прямі лінії, по котрим задана площина перетинає площини проекцій, називаються слідами цієї площини на площинах проекцій. У загальному випадку площина перетинає кожну з площин проекцій: горизонтальну П1 по горизонтальному сліду h0, фронтальну П2 по фронтальному сліду f0, профільну П3 по профільному сліду р0 (рис. 1.12 а).

Рисунок 1.12 – Зображення трикутника слідів площини загального положення

а– трикутник слідів у просторі; б– трикутник слідів на епюрі.

При цьому осі проекцій перетинаються площиною в точках Х, Y, Z, що називають точками сходу слідів. У них сходяться сліди h0 та f 0, h0 та р0, f 0 та р0 відповідно. Всі три сліди в сукупності утворять замкнутий трикутник, котрий називають трикутником слідів (рис. 1.12 а). На комплексному кресленні трикутник слідів площини загального положення розривається (рис. 1.12 б). Оскильки що сліди є прямими лініями, то одна з проекцій збігається з однойменним слідом, інші ж проекції цього сліду лежать на осях проекцій. Аналогічно, якщо одна з проекцій точки А (див. рис. 1.12), що лежить на

42

одному із слідів площини, розташовується на однойменному сліді, а інші проекції – на осях проекцій.

Положення площини в просторі цілком визначається двома іншими її слідами, наприклад h0 і f0, що перетинається в точці Х, оскільки дві прямі, що перетинаються задають площину. Тому на кресленні достатньо мати два сліди площини, третій слід можна побудувати за двома заданими.

Рисунок 1.13 – До питання побудови слідів площини АВС

а – побудова слідів площини в просторі; б– побудова слідів площини на комплексному кресленні (епюрі)

Спосіб зображення площини двома слідами забезпечує велику наочність, простоту і точність побудов (для побудови площини цим способом потрібно тільки дві прямі лінії замість шести при зображенні її трикутним відсіком). Як показує рис. 1.13 а, сліди будь-якої прямої, що лежить у площині, знаходяться на однойменних слідах цієї площини. Так, наприклад, горизонтальний слід М11 прямої АВ, розташований на горизонтальному сліді h0, а фронтальний слід N2 цієї прямої – на фронтальному сліді f0 площини. Тому, для побудови слідів

площини достатньо побудувати сліди M і M1 прямих АВ і АС, що лежать у даній площині, і через отримані точки провести пряму, яка і буде шуканим

43

слідом h0. Побудувавши аналогічно сліди N і N1 цих прямих на площині П2, одержимо слід f0 даної площини. Обидва сліди повинні перетинатися між собою в точці Х – сходу слідів, що може використовуватися для перевірки точності побудови обох слідів. Відповідні побудови на комплексному кресленні подані на рис. 1.13 б.

1.3.2 Умови належності точки і прямої лінії до площини

Із стереометрії відомо, що точка лежить у площині, якщо вона належить прямій лінії, що лежить у цій площині (рис. 1.14 а).

Відомо також, що пряма лінія лежить у даній площині, якщо пряма і площина мають хоча б дві загальні точки (рис. 1.14 б).

Крім того, також відомо, що пряма лінія належить площині, якщо має із нею спільну точку і паралельна до прямої, що лежить у цій площині (рис. 1.14 в).

Рисунок 1.14 – До питання приналежності точки і прямої до площини

а– належність точки В до площини;

б– належність прямої АВ до площини;

в– належність точки С до площини.

1.3.3Положення площини щодо площин проекцій

Щодо площин проекцій комплексного креслення площина може займати

загальне або окреме (частное) положення.

44

Площина, котра не паралельна і не перпендикулярна до жодної з площин проекцій, називається площиною загального положення. Отже, така площина перетинає всі три осі проекцій, а її сліди не перпендикулярні до жоднодної з цих осей. Площини, перпендикулярні до двох площин проекцій або однієї, називаються площинами окремого положення. Це проеціюючі

площини та площини рівня.

Розрізняють такі проеціюючі площини:

-горизонтально-проеціюючу, перпендикулярну до площини П1 (рис. 1.15 а);

-фронтально-проеціюючу, перпендикулярну до площини П2 (рис. 1.15 в);

-профільно-проеціюючу, перпендикулярну до площини П3 (рис. 1.15 д). Комплексні креслення проеціюючих площин, заданих слідами, подані на

рис. 1.15 б, г, е.

1.3.4 Основні властивості проекцій проеціюючих площин:

1. Проеціююча площина проеціюється в пряму лінію (у свій слід) на площині проекцій, до якої вона перпендикулярна. На цей же слід проеціюється у вигляді точки або відрізку прямої лінії усяка лежача в ній фігура, наприклад, трикутний відсік АВС (рис. 1.16). Справедливо й обернене твердження: якщо фігура проеціюєтся на площину проекцій у вигляді відрізка прямої, то площина цієї фігури є проеціююча.

2. З неперпендикулярними до неї площинами проекцій проеціююча площина може утворювати довільні двогранні куті, що проеціюються неспотворено (у натуральну величину) на площину проекцій, перпендикулярну до проеціюючої площини.

3. Проеціююча площина є паралельною до однієї із осей проекцій.

4. Характерною ознакою на комплексному кресленні горизонтально-прое- ціюючої площини є паралельність фронтального і профільного слідів до осі Оz, фронтально-проеціюючої площини – паралельність горизонтального і профільного слідів до осі Оу, профільно-проеціюючої площини – паралельність горизонтального і фронтального слідів до осі Ох (див. рис. 1.16).

5. Слід, у котрий проеціюється проеціююча площина, задає її положення в просторі єдиною уявою. Тому два інших сліди, перпендикулярні до осей проекцій в точках сходу слідів, на комплексному кресленні без необхідності не викреслюється.

6. Для визначення положення проеціюючої площини в просторі достатньо на кресленні двох (а не трьох) точок або однієї прямої.

45

7. У прикладі, поданому на рис. 1.13 б, було показано, що у випадку площини загального положення завжди можна за однією заданою проекцією точки цієї площини побудувати її другу проекцію – кожній із проекцій точок А1, В1, С1 є відповідна проекція точок А2, В2, С2. У випадку проеціюючих площин дана задача не має єдиного рішення, якщо задана проекція точки розташовується на сліді площини, тому можна зазначити необмежену множину точок даної площини, що мають своєю проекцією ту ж саму точку на цьому сліді. У особих

У особих випадках будь-яка із проеціюючих площин може проходити через вісь проекцій. Така площина називається осьовою. На рис. 1.17 надана осева профільно-проеціююча площина. Її сліди h0 і f0 збігаються з віссю 0Х .

Кути α і β утворені третім слідом р0 з осями, є натуральними кутами нахилу цієї площини до П1 и П2. Осьова площина, що поділяє на дві рівні частини двогранний кут, що утворений площинами проекцій, зветься бісекторною. Така площина є геометричним місцем точок, рівновіддалених від площин П1 і П2.

Розрізняють такі площини рівня:

-горизонтальну, перпендикулярну до площин П2 та П3 і, отже, паралельну площині П1 (рис. 1.18 а);

-фронтальну, перпендикулярну до площин П1 та П3 і, отже, паралельну площині П2 (рис. 1.18 в);

-профільну, перпендикулярну до площин П1 та П2 і, отже, паралельну площині П3 (рис. 1.18 д).

Рисунок 1.17 – Осьова профільно-проеціююча площина

48

Для всіх точок горизонтальної площини рівня координата z = const, фронтальної площини рівня y = const, профільної площини рівня x = const.

Комплексні креслення площин рівня надані на рис. 1.18 б, г, е.. Площини рівня можна розглядати як проеціюючі площини, що знаходять-

ся в окремих (частных) положеннях. Тому вони мають усі властивості проеціюючих площин відносно до тих площин проекцій, до яких вони перпендикулярні.

1.3.5 Основні властивості проекцій площин рівня:

1. Всяка фігура, що лежить у площині рівня, наприклад, трикутник АВС (рис. 1.19), проеціюється на паралельну їй площину проекцій без спотворення, при цьому кути і сторони фігури утворюються на площині проекцій натуральними. Справедливе також обернене твердження: якщо фігура проеціюється на площину проекцій неспотворено, то її площина є площиною рівня.

2. Площина рівня проеціюється в прямі лінії (у свої сліди) на ті дві площини проекцій, до яких вона перпендикулярна. На ці ж сліди проеціюється у вигляді точки або прямої лінії будь-яка фігура, що в ній лежить.

3. Площина рівня не має сліду на тій площині, до якої вона паралельна. 4. Площина рівня паралельна двом осям проекцій.

5. Характерною ознакою на комплексному кресленні горизонтальної площини рівня: фронтальний і профільний сліди збігаються і обидва перпендикулярні до осі Оz; фронтальної площини рівня: горизонтальний і профільний сліди перпендикулярні до осі Оу; профільної площини рівня: горизонтальний і фронтальний сліди збігаються (“зливаються в одну лінію”) і обидва перпендикулярні до осі Ох.

6. Положення площини рівня в просторі цілком визначається одною точкою або одним слідом із двох (рис. 1.18 а, в, д).

Додаткові властивості ліній рівня подані далі на рис. 1.18 б, г, ета на рис. 1.19 б, г, е, на котрих площини рівнів зображені слідами.

49