381

Відповідно до основної теореми аксонометрії (теорема Шварца-Польке)

будь-які три відрізки LХ, LУ, і LZ (рис 11.1.2), проведені на площині П1 і вихід-

ні з одного центру О1 та не розташовані на одній прямій, можуть бути прийняті за паралельні проекції трьох рівних і взаємно перпендикулярних відрізків L.

Сенс цієї теореми полягає в тому, що під якими б кутами не проводилися на кресленні аксонометричні осі і які б відрізки їх не прийняли за одиниці виміру, завжди знайдеться таке положення просторових осей і такий напрямок проеціювання, при якому ці, вільно накреслені осі, будуть паралельними проекціями просторових осей.

Практична цінність цієї теореми полягає в тому, що при косокутному проеціюванні аксонометричним осям можна надавати такі напрямки і вибирати такі масштабні одиниці на них, при яких досягаються найбільша простота виміру і наочності зображення. Такими перевагами володіють дві косокутні аксонометричні проекції – фронтальна і горизонтальна.

У фронтальній косокутній ізометрії паралельними до площині П1 розташовуються осі Ох і Оz, а в горизонтальній косокутній ізометрії – Ох і Оу. При прямокутному аксонометричному проеціюванні виключається збіг одного ребра куба з напрямком проеціювання – S. Оскільки це ребро проеціюється в точку аксонометричність зникає і куб на проекції перетворюється в квадрат. Тому всі три осі повинні мати нахил до площини П1 і не бути паралельними до ребер.

Для визначення зв'язку між прямокутними та аксонометричними ко-

ординатами (рис. 11.1.3) необхідно проеціювати точку А, розташовану в просторовій прямокутній системі координат Охуz разом із координатними осями х, у, z на аксонометричну площину проекцій П1. Відповідно до основної теореми аксонометрії осі просторової системи координат Охуz проеціюються на площину П1 у вигляді осей О1х1у1z1 плоскої системи аксонометричних координат. Осьова проекція АХ точки А переходить у точку АХ1. За властивістю паралельного проеціювання аксонометричні проекції відрізків, розташованих паралельно натуральним осям координат х, у, z, залишаються паралельними відпо-

відним аксонометричним осям, тобто якщо АХА1‖Оу і А1А‖Оz, то АХ1А11‖ О1у1 і А11А1‖О1z1. Провівши прямі АХ1А11 і А11А1 паралельно відповідним

аксонометричним осям, будують точку А1 – аксонометричну проекцію точки А. Точка А1 називається “повторною проекцією точки А”. Аналогічно можливо побудувати ще дві проекції А21 та А31 точки А. На рис. 11.1.3 ці проекції не показані. Відношення аксонометричних проекцій відрізків паралельних

осям до справжньої величини відрізків дорівнюють коефіцієнтам

спотворення: АХ1О1 ⁄ АХО = U; АХ1 А11 ⁄ АХА1 = V; А11А1 ⁄ А1А = W, це тотожньо Х1 ⁄ Х = u; У1 ⁄ У = v; Z1 ⁄ Z = w, звідки Х1 = u •Х; У1 = v •У; Z1 = w •Z,

що дає змогу вирішувати “пряму” і “обернену” задачі НГ.

151

Під прямою задачею нарисної геометрії розуміють побудову аксонометричних проекцій предметів по їхньому комплексному кресленню. Під оберненою – визначення прямокутних координат предметів по їхньому аксонометричному зображенню.

11.1 Основні властивості прямокутних аксонометричних проекцій

1. Відомо, що при прямокутному проеціюванні всі три осі просторової системи координат, із якими пов'язаний предмет, повинні бути нахилені до аксонометричної площини проекцій. Отже, ця площина повинна перетинати одночасно всі три координатні площини. Її сліди h0, f0 і р0 утворять так званий трикутник слідів ХУZ (рис. 11.2.1). При прямокутному проеціюванні на аксонометричну площину П1, проеціюючий промінь ОО1, що виходить з центру О натуральної системи координат, є перпендикуляром до аксонометричної площини проекцій. При цьому вісь Оz xОу і тому перпендикулярна до прямої ХУ, що належить аксонометричній площині П1. Оскільки ОО1 так само П1, то ОО1 ХУ і перпендикулярна до будь-якої прямої в цій площині, у тому числі і до О1z, яка містить у собі висоту А1Z.

Таким чином, трикутники слідів визначають напрямок аксонометрич-

них осей.

2. Кути між аксонометричними осями О1х1, О1у1, О1z1 є тупими (>900),

як внутрішні в трикутнику.

3. Коефіцієнти спотворення в прямокутних аксонометричних проекці-

ях на осях дорівнюють косинусам кутів нахилу відповідних натуральних

координатних осей до аксонометричних осей, як-от:

О1x1/ Ох = U = соs α; О1у1/ Оу = V = соs β; О1z1/ Оz = W = соs γ.

4.Коeфіцієнти спотворення пов'язані між собою за допомогою основно-

го рівняння аксонометрії або математичного виразу теореми Шварца-Польке. Для висновку рівняння розглядаються три трикутники, що на рис. 11.2.2. Це трикутники: ОО1x, ОО1у, ОО1z. Після позначення через α1, β1, γ1 додаткових кутів до кутів α, β, γ у цих трикутниках установлюється залежність їх між

Всі трикутники мають загальну сторону ОО1. Напрямок відрізка ОО1 у просторі визначається, як відомо з математики, направляючими косинусами:

З математики також відомо, що вони пов'язані між собою залежністю: соs2 α1 + соs2 β1+ соs2 γ1 = 1, де після підстановки додаткових кутів з (1) одер-

жують: соs2(π/2 – α) + соs2(π/2 - β) + соs2(π/2 – γ) = 1, з тригонометрії відомо,

що sin2α + sin2β + sin2γ = 1, а також (1 – cos2α) + (1 – cos2β) + (1 – cos2γ) = 1

після приведення подібних членів рівняння мають соs2α + соs2β + соs2γ = 2, або U2 + V2 + W2 = 2 – основне рівняння прямокутної аксонометрії (φ = 900),

U2 + V2 + W2 = 2 + сtg2φ – для косокутної аксонометрії (φ ≠ 900).

152

11.2Прямокутна ізометрія

Прямокутні ізометричні проекції (рис. 11.2.3) широко застосовується вна-

слідок простоти її побудови та удобовимірності. Її аксонометрична площина, яка однаково нахиляється до усіх трьох координатних площин, відсікає на усіх просторових осях рівні відрізки О1х1, О1у1 і О1z1. Трикутник слідів площини П1 утворюється рівностороннім. Аксонометричні осі збігаються з висотами цього трикутника і утворюють між собою кути по 1200.

Ізометричні аксонометричні осі легко побудувати графічним способом, для чого потрібно на вертикальній лінії провести дві однакового радіуса окружності

– першу з центром О, а другу з центром у точці, що утворена перетином вертикальної лінії з першою окружностю в нижній точці (рис. 11.2.5). Друга окружність перетинає першу в двох точках. З’єднавши ці точки з центром О, одержують дві осі. Зліва від вертикальної лінії – вісь Оx1, праворуч – Оу1, а по центру – Оz1. Оскільки відрізки Ох1, Оу1 і Оz1 аксонометричних осей рівні один другому, то і відношення їх до відповідних рівним між собою відрізкам просторових осей також рівні між собою:

О1х1/ Ох = О1у1/ Оу = О1 z1/ О z.

Отже, коефіцієнти спотворення по всіх трьох осях однакові:

U = V = W, U2 + U2 + U2 = 2, 3U2 = 2, U = 23 ≈ 0,82.

Це значить, що в прямокутній ізометричній проекції скорочення по кожній з осей (або по прямій, спрямованій паралельно цим осям) приблизно дорівнює

0,82.

Із співвідношень U = 0,82 і U = cos α випливає, що α ≈ 35о, тобто вісь x нахилена до площини П1 під кутом, приблизно рівним 350. Під таким же кутом нахилені до аксонометричної площини проекцій і дві інші осі просторової системи координат, тобто α = β = γ ≈ 350. Сама ж площина ізометричної проекції нахилена до кожної з площин П1, П2 і П3 під одним і тим же кутом δ ≈ 550.

Таким чином, для аксонометричної ізометрії всі коефіцієнти дорівнюють величині 0,82 та рівні між собою, як-от:

U = V = W = 0,82 – вони мають назву “натуральні коефіцієнти спотворення”.

Дробовим числом 0,82 користуватися не зручно, тому його округлили до 1,0.

U = V = W = 1,0 – це “приведені коефіцієнти спотворення” (округлені). К = 0,182 = 1,22 – цей вираз називають “коефіцієнтом приведення”.

При використанні приведених коефіцієнтів спотворення побудовані предмети мають зображення крупніші, ніж з використанням натуральних коефіцієнтів приведення. Однак, це не спотворює зображення предмета.

154

11.3Прямокутна диметрія

Прямокутні диметричні проекції доцільно використати для зображення фі-

гур, які мають один розмір значно більший ніж два останніх. Ці проекції мають аксонометричну площину, яка однаково нахиляється до двох просторових площин і тому відсікає рівні відрізки О1х1 і О1z1 тільки на двох просторових осях Ох і Оz, а на третій осі Оу – якійсь іншій величині. Трикутник слідів площині П1 утворюється рівнобічним. Центри аксонометричної та просторової осей не збігаються (рис. 11.2.4). Тоді коефіцієнти спотворення будуть однакові тільки по двох осях О1z1 та О1x1. Третій коефіцієнт спотворення може мати будь-яке значення, але менше одиниці. Звичайно приймають, що він удвічі менше двох інших. Визначаються чисельні розміри коефіцієнтів спотворення та

розташування аксонометричних осей на площині П1 за умови, що

U = W, V = ½ U.

Після підстановки цих співвідношень в основне рівняння аксонометрії замість V та W:

Натуральними коефіцієнтами користуватися не зручно, тому їх округлили до: U = W = 1, V = 0,5 та назвали – приведені коефіцієнти спотворення (2)

Коефіцієнт приведення К = 1/0,94 = 0,5/0,47 = 1,06, тому зображення збільшується. Щоб визначити кути між аксонометричними осями, розглядається трикутник ХУZ слідів площини П1. Цей трикутник буде рівнобічним:│ху│═│уz, тому, що площина П1 відсікає на осях Ох та Оz рівні відрізки Ох та Оz, а точка у рівновіддалена від точок х та z. Якщо відрізок Ох прийняти за одиницю, то його зображення на площині П1:

│О1x1│ ═ 2 32 відповідно до виразу 1

Отже, трикутник хО1z – теж рівнобічний. Його сторона │хz│═ 2 , як гіпотинуза прямокутного трикутника хОz з катетами, рівними одиниці. У рівнобічному трикутнику слідів висота Ку ділить сторону хz пополам, тому:

У прямокутному трикутнику О1Кх sin θ ═ │Кх│ :│О1х│═ 22 : 2 32 ═ 34 ,

звідки θ ≈ 48035′, 2θ ═ 97010′. Отже, кут між осями О1х1 і О1z1 дорівнює 97010′, а вісь Ох нахилена до горизонту під кутом 7010′. Кут між віссю О1у′ та двома останніми дорівнює (3600 - 970) : 2 ≈ 1310.

Розташування осей для диметричної проекції подано на рис. 11.2.6. Вісь О1х1 можна побудувати, прийнявши tg 7010′ рівним 1/8, а вісь О1у1 прийнявши tg 41025′ – 7/8.

155

11.4Побудова аксонометричних зображень деяких геометричних фігур за їхніми прямокутними проекціями

Узагальному випадку аксонометрія геометричної фігури, заданої у координатній системі, може бути побудована способом координат, як аксонометрія її характерних точок.

1. Аксонометрична проекція точки. Нехай задане комплексне креслення деякої точки А (рис. 11.3, а та системи аксонометричних осей: рис. 11.3, б – ізометрична і рис. 11.3, в – диметрична. Потрібно побудувати аксонометричні проекції даної точки. Визначаються за комплексним кресленням натуральні координати (координатні відрізки) точки А:

х ═ |ОАХ|; у ═ |АХА1|; z ═ |АХ А2|.

Беручи до уваги коефіцієнти спотворення, відкладаються па аксонометричних

осях відрізки: по осі х1 відрізок |О1А1Х| ═ U•|ОАХ|, паралельно осі О1у1 – відрізок |А1ХА11| ═ V•|АХА1| – для ізометрії і відрізок |А1ХА11| ═ 0,5V•|АХА1| –

для диметрії і паралельно осі О1z1 – відрізок |А11А1| ═ W•|АХА2|. Точка А1 – шукана. В аксонометричній прямокутній диметрії відрізок А1ХА11 у два рази коротший, ніж в ізометрії.

2. Аксонометрична проекція відрізка, наприклад, АВ рис. 11.3, г, д, е

будується за аксонометричними проекціями двох точок, що належать відрізку.

3. Аксонометрична проекція відсіку площини АВС рис. 11.3, ж, з, і бу-

дується за аксонометричними проекціями трьох точок, що належать площині.

4. Аксонометрична проекція окружності може бути побудована також по точках. Для цього навколо окружності діаметра d описується квадрат із стороною також рівною d (рис. 11.3, к). Точки дотику 1, 2, 3 і 4 окружності до сторін квадрата лежать на серединах сторін квадрата. Точки 5, 6, 7 і 8 знаходяться на діагоналях квадрата на відстані, рівній приблизно 0,7 напівдіагоналі ОА квадрата, тому що |ОА| ═ ( 2 /2)d. При паралельному проеціюванні співвідношення 0,7 між діаметром окружності, уписаної в квадрат, і діагоналлю квадрата зберігається і в проекціях.

Побудуємо окружність паралельними променями на яку-небудь площину П1. За властивістю паралельного проеціювання квадрат зобразиться у вигляді паралелограма, проекції 11, 21, 31 і 41 точок 1, 2, 3 і 4 будуть лежати на серединах сторін цього паралелограма. Проекція О1 центра О окружності буде знаходитись на перетині діагоналей паралелограма в точках 51, 61, 71 і 81 – на його діагоналях, причому відстань їх від точки О1 повинна дорівнювати 0,7 від відповідної напівдіагоналі.

Таким чином, побудувавши проекцію квадрата зі стороною, рівною діаметру даної окружності, можна за вісьмома характерними точками окреслити проекцію уписаної в квадрат окружності, котра буде еліпсом. Зауважимо, що при такій побудові еліпса, залишається невизначеним положення великої і малої його осей.

156

11.5 Аксонометрія окружності (кола)

При побудові аксонометричних проекцій з використанням приведених коефіцієнтів спотворення у позначенні осей штриховий індекс звичайно не вказують.

Ізометричні проекції окружностей, розташованих у координатних пло-

щинах (або паралельно їм), будуть зображатися (рис. 11.4.1) рівновеликими еліпсами, тому що площина ізометричної проекції рівно нахилена до площин про-

екцій П1, П2 і П3. Великі вісі еліпсів (ВВЕ) на всіх площинах проекцій розта-

шовуються перпендикулярно до проекції координатної осі, яка не належить

даній площині кола. Малі (МВЕ) вісі еліпсів перпендикулярні великим осям.

Для випадку, коли при побудові аксонометричної проекції координати відкладаються з перерахунком на натуральний коефіцієнт спотворення, що дорівнює 0,82, то велика вісь еліпса буде рівна діаметру вихідного кола d, мала вісь ≈ 0,58 d, а проекції dX ═ dУ ═ dZ ═ 0,82 d вихідного кола.

Якщо ж побудова виконується з приведеними коефіцієнтами спотворення з використанням коефіцієнта приведення, рівним 1,22, то велика вісь еліпса буде дорівнювати 1,22 d, мала вісь – 0,71 d і dX ═ dУ ═ dZ ═ d вихідного кола.

Диметричні проекції окружностей, розташованих у координатних пло-

щинах (або паралельно їм), будуть зображатися (рис. 11.4.2) на двох площинах хОу та уОz рівновеликими “вузькими” еліпсами, а на площині xОz більш

“широким” еліпсом. Великі вісі еліпсів також на всіх площинах проекцій роз-

ташовуються перпендикулярно до проекції координатної осі, яка не нале-

жить даній площині кола. Малі вісі еліпсів перпендикулярні до великих осей. У випадку, коли при побудові аксонометричної проекції координати відкладаються з перерахунком на натуральні коефіцієнти спотворення, що дорівнюють U ═ W ≈ 0.94 та V ≈ 0,47. Великі вісі еліпсів на площинах xОу та уОz тоді дорівнюють d. Малі вісі на цих площинах дорівнюють 0,33d. На площині хОz велика вісь еліпса дорівнює d, мала – 0,88 d, dX ═ dZ ═ 0,94 d, dZ ═ 0,47 d. Якщо ж побудова виконується з приведеними коефіцієнтами спотворення з використанням коефіцієнта приведення, рівним 1,06, то великі вісі еліпсів на

усіх трьох площинах проекцій дорівнюють 1,06 d, малі вісі на ХОУ та УОZ – 0,35 d і на площині ХОZ – 0,95 d, dX ═ dZ ═ d, dУ ═ 0,5 d вихідного кола.

На рис. 11.5.1 побудована прямокутна ізометрія куба, три грані якого збігаються з координатними площинами. У грані куба вписані кола, які в ізометрії зображуються трьома однаковими еліпсами, які мають чотири загальні точки з ребрами, а також вписаний правильний шестикутник з прив’язкою його до граней куба у двох точках F і К, що на диагоналі шестикутника. Інші точки шестикутника на еліпсі визначаються лініями, паралельними диагоналі на АД і АЕ від неї після побудови еліпса. Великі осі еліпсів перпендикулярні до аксонометричних осей, які не належать до площин еліпсів. Побудови виконані з приведеними показниками спотворення, що дорівнюють 1 для осей в ізометрії та в диметрії по Ох, Оz і Оу ═ 0,5. Зображення шестикутника в диметрії недоцільно, тому що воно не наочне (рис. 11.5.2). Диметрія доцільна при великому у.

158