381

1.3.7Взаємне положення прямої лінії та площини

Стосовно площини пряма лінія може:

-належати даній площині (a c ∑);

-бути паралельною до даної площини (a | G);

-перетинати дану площину (a ∩ ∑);

-бути перпендикулярною до даної площини (a ∑).

1. а) Пряма лінія належить площині, якщо її проекції проходять через однойменні проекції двох точок належних даній площині;

б) Пряма лінія належить площині, якщо її проекції проходять через однойменні проекції однієї точки належить даній площині і паралельно відповідним проекціям прямої лінії, що лежить у даній площині.

2. а) Пряма лінія l і площина Q паралельні, якщо не мають спільної точки

(рис. 1.23 а);

б) Пряма лінія l і площина G паралельні, якщо пряма лінія паралельна до другої лінії a належної до цієї площини і не має із площиною спільної точки

(рис. 1.23 б);

в) Пряма лінія l і площина G паралельні, якщо пряма лінія l паралельна b – лінії перетину даної площини G з другою площиною Q і не має із площиною точки (рис. 1.23 в).

Основна властивість проекцій прямої лінії паралельної площині:

- якщо пряма L в просторі паралельна площині fº∩ hº, то її проекції паралельні однойменним проекціям прямої, належної залаій площині (рис. 1.23 г, д).

Рисунок 1.23 – Випадки паралельності прямої лінії і площини

61

Ознака паралельності проеціюючої площини і прямої – паралельність слідпроекції площини відповідній проекції заданої прямої.

3. Точка К перетину прямої L з площиною Q (точка зустрічі) визначається як точка, що належить одночасно і прямій, і площині (рис. 1.24 a).

Якщо задані пряма та площина загального положення (рис. 1.24 б), точка зустрічі визначається так:

а) пряма L (L2 або L1) заключається в допоміжну проеціюючу площину (W2 або Q1 на П1). Уданому випадку використана тільки W2;

б) будується лінія перетину 1, 2 (12, 22 та 11, 21) допоміжної площин W і заданої АВС площин;

в) визначається точка К1 перетину знайденої лінії із заданою прямою, як точка перетину проекції L1 з проекцією 1121. К2 – знаходять на лінії зв’язку К1К2 за належністю її до прямої L (L2).

Рисунок 1.24 – До визначення точки К – перетину прямої загального положення L з площиною загального положення АВС

4. В основу визначення перпендикулярності прямих і площин на епюрі покладено теорему про проеціювання прямого кута, одна сторона якого є лінією рівня:

Якщо одна із сторін прямого кута паралельна площині проекцій, а друга не перпендикулярна до неї, то на цю площину прямий кут проеціюється без спотворення.

Пряма лінія і площина взаємно перпендикулярні, якщо пряма лінія одночасно перпендикулярна до двох інших, що перетинаються і належать заданій площині. Такими прямими зручно вибирати фронталь і горизонталь. На комплексному кресленні горизонтальна проекція прямої r1 перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі h1, а фронтальна r2 – до фронтальної проекції фронталі площини f2 (рис. 1.25 а, б).

62

- у трикутному відсіку АВС побудувати горизонталь h (h1, h2) та фронталь

f (f1, f2);

- через точку D1 провести перпендикуляр за напрямком під кутом 90°: r1 h1 ≡ НВ, а через точку D2 – r2 f2 ≡ НВ;

-у площині, що задана слідами необхідно через точку Е1 провести перпендикуляр за напрямком під кутом 90°: r11 h1° ≡ НВ; а через точку Е2 перпендикуляр – r21 f2° ≡ НВ;

-для завершення побудови перпендикулярних площин G (G1, G2) і Q (Q1, Q2) необхідно у довільному напрямку провести через точки D1 і D2 відповідні прямі k1 та k2, а через точки Е1 і Е2 відповідні прямі m1 та m2 (див. рис. 1.26 б).

1.3.8Перетин площин

Дві площини перетинаються по прямій лінії, яка цілком визначається дво-

ма точками, що належать одночасно заданим площинам, або однією спільною точкою і відомим напрямком цієї лінії.

Відомі такі типові випадки перетину площин:

- перетин двох проеціюючих площин.Такі площини будуються слідами на площинах проекцій. А їхня лінія перетину в просторі – m П1 (рис. 1.27 а). На комплексних кресленнях: для горизонтально-проеціюючих площин – точкою m1 і прямою m2 (рис. 1.27. б); для фронтально-проеціюючих площин – точкою m2 і прямою m1 (рис. 1.27 в);

а б в

Рисунок 1.27 – Зображення ліній перетину двох проеціюючих площин

Перетин проеціюючої площини із площиною загального положення.

Лінія перетину цих площин є пряма лінія загального положення – m (m1, m2)

(рис. 1.28 а).

- перетин двох площин загального положення, заданих слідами. Лінія перетину – пряма загального положення – m (m1, m2) (рис. 1.28 б);

64

- перетин площин загального положення з площинами фронтального і горизонтального рівня. На комплексному кресленні лініями перетину цих площин є горизонталі h (h1, h2) і фронталі f (f1, f2) (рис. 1.29 а, б).

65

- взаємний перетин двох рознесених у просторі площин загального по-

ложення (рис. 1.30 а, б). На комплексному кресленні точки ліній перетину цих площин визначаються методом допоміжних паралельних січних площин

“посередників”– Ф і Ф1. Задані допоміжні площини “посередники” є найчастіше проеціюючими площинами або площинами рівня.

Паралельні січні площини Ф і Ф1 дає змогу одержати на комплексному кресленні паралельні між собою лінії перетину 12 | 34 і 56 | 78, що дозволяє скоротити побудову ліній перетину площин до однієї точки і паралельного напрямку, раніше побудованої лінії перетину.

Кожна з цих площин дає змогу побудувати дві лінії перетину 34, з площиною DEFQ, та 56 з площиною АВС, що є загальними одночасно для трьох площин: “посередника” – Ф1 та двох площин загального положення АВС і DEFQ. Лінії перетину 34 та 56 при своєму продовженні перетинаються в точці К – також загальною для тих же трьох площин.

Аналогічно “посередник” – Ф дає змогу побудувати лінії перетину 12 та 78 з площинами DEFQ і АВС відповідно, а також загальну для трьох площин точку G. Після з'єднання точок К і G одержують пряму КG – лінію перетину площин DEFQ і АВС. Зазначені точки можна з'єднати тому, що вони є загальними для обох площин DEFQ і АВС, що очевидно з рисунка (рис. 1.30 а).

а – побудова лінії перетину рознесених у просторі площин

б– побудова лінії перетину рознесених площин на комплексному кресленні Рисунок 1.30 – Побудова лінії перетину площин загального положення

66

-взаємний перетин двох, накладених одна на одну, тобто суміщених,

площин АВС і EDK (задача 7 рис. 1.31). У даному випадку попередній спосіб використання двох паралельних проеціюючих площин “посередників” не доцільно.

Розв’язують задачу за допомогою побудови точок перетину прямих з площинами двічі. Для чого, послідовно будують спочатку точку перетину першої

прямої лінії з площиною другого трикутника, а потім точку перетину другої прямої з площиною трикутника.

Проекцію сторони В2С2 трикутника А2В2С2 беруть в якості першої прямої. Далі будують точку перетину Q цієї прямої з площиною трикутника DEK,

для чого:

-сторони ВС заключають в допоміжну, у даному випадку, фронтальнопроеціюючу площину-посередник – Ф21 ;

-будують лінію перетину цієї площини з проекцією трикутника D2E2K2 –

пряма 12, 22; - визначають горизонтальну проекцію лінії перетину 11 21 за допомогою лі-

ній зв'язку 1112 і 2122;

-визначають точку перетину проекції 11 21 з – В1С1 – це буде точка Q1;

-визначають точку перетину проекції 12 22 з – В2С2 за допомогою ліній зв'язку Q1Q2, яка перетинає лінію 1222 у точці Q2 – це буде друга проекція точки перетину прямої ВС з площиною трикутника EDK.

Далі, в якості другої прямої беруть ED – сторону проекції трикутника DEK, для чого:

-сторону ЕD заключають в допоміжну, у даному випадку, фронтальнопроеціюючу площину-посередник – Ф2;

-будують лінію перетину цієї площини з проекцією трикутника А2В2С2 –

пряма 32, 42; - визначають горизонтальну проекцію лінії перетину 3141 за допомогою

ліній зв'язку 3231 і 4241;

-визначають точку перетину проекції 31 41 з – D1E1 – це буде точка G1;

-визначають точку перетину проекції 32 42 з – E2D2 за допомогою ліній зв'язку G1G2, яка перетинає лінію 3242 у точці G2 – це буде друга проекція точки перетину прямої ED з площиною трикутника АВС. Далі, з’єднують точку Q1 з точкою G1, а точку Q2 з G2 і отримують відповідні проекції лінії перетину трикутників АВС і DEK – Q1G1 i Q2G2.

Потім, визначають видимість інших ліній трикутників за допомогою конкуруючих точок, наприклад 6,7; 8,9; 10,11. Для наочності зображення взаємного положення і перевірки правільності побудов треба виділити перший трикут-

67

ник від другого фарбуванням світлим кольором одного з них, або штрихуванням, як вказано на рис. 1.31;

- взаємний перетин площин, заданих слідами (рис. 1.32). Лінія m пере-

тину площини загального положення Θ з площиною горизонтального рівня Σ є лінією рівня. Одна з проекції – h2 ║ Ох, а друга h1 ≡ НВ ║ h1O (рис. 1.32 а, б).

Рисунок 1.32 – Побудова ліній перетину площин, заданих слідами

Лінія m взаємного перетину площин загального положення Θ і Σ є також лінією рівня, якщо h0║h01. Одна з проекції – h2 ║ Ох, а друга h1 ≡ НВ║ h1O (рис.

1.32 в, г)

69

7*– Вправи для самостійної домашньої підготовки до практичного заняття

з теми: “Проекції площин”

Вправа 7*.1 Через точку D (D1, D2) провести пряму, перпендикулярну до площини АВС (А1В1С1, А2В2С2).

Вправа 7*.2 Через точку D провести площину Σ, перпендикулярну до прямої АВ, а через точку С – площину Φ паралельну прямій АВ.

Вправа 7*.3 Через пряму АВ провести площину Φ, перпендикулярну до площини ЕFL, через пряму СD – площину СDК, паралельну площині ЕFL.

70