381

При побудові натуральної величини фігури перерізу кривої поверхні циліндра фронтально-проеціюючою площиною Ф2 (рис. 5.7.1) виходять із того, що фігура перерізу – еліпс. Цей факт наочно продемонстрований на вигляді зліва, тобто на П3. Натуральну величину (НВ) цієї фігури можливо спостерігати, якщо ввести нову проеціюючу площину П4, паралельну П2, тобто провести заміну площин проекцій. У даному випадку П4 суміщено з проеціюючим положенням еліпса на площині П2. На вільному місці креслення розміщується велика вісь еліпса (ВВЕ) 1454 = 1252. Мала вісь еліпса (МВЕ) – 3474 проводиться перпендикулярно до ВВЕ, а її довжина дорівнює діаметру основи 3171, яка вибирається зі “старої” площини – П1. Інші точки – 24, 44, 64, 84 також будуються за допомогою П1. Для чого відрізки 2484 = 2181 та 4464 = 4161 згідно правил заміни площин проекцій.

Проеціююча площина Ф2 на площині П2 поділяє циліндр на дві частини: верхню – над, та нижню – під площиною. На розгортці дві частини не розділені.

Побудова розгортки кривої поверхні циліндра з нанесеною на ній кривою лінією фігури перерізу (рис. 5.7.2) виконується способом “розкочування”. Висота циліндра А2В2 = НВ, а довжина – дорівнює периметру кола основи циліндра – 2πR. Крива лінія на поверхні розгортки будується за координатами Z, узятими на П2 або П3. Розгортка повної поверхні циліндра складається з кривої бічної поверхні і плоскої поверхні двох основ верхньої та нижньої у вигляді двох однакових кіл із радіусом, що дорівнює радіусу підстави. У даному прикладі розгортка основи не надана.

Натуральна величина еліпса – фігури перерізу конуса (рис. 5.7.3) проеціюючою площиною Ф2, будується по аналогії з циліндром за допомогою способу заміни площин проекцій. Проте, положення контрольних точок кривої лінії на розгортці (рис. 5.7.4) визначається з використанням крайніх твірних конуса, у якості мірної лінійки натуральних величин. Положення твірних на розгортці визначають з використанням багатогранної піраміди, якою замінюють криву поверхню конуса. Для цього основа конуса поділяється на 8 частин і будуються спотворені твірні конуса, що розташовані між крайніми твірними шляхом з’єднання 8 точок основи із вершинами конуса S1 i S2.

Розгортка повної поверхні конуса складається з бічної кривої поверхні і плоскої поверхні основи – кола.

Перетин сфери (рис. 5.7.5) фронтально-проеціюючою площиною Ф2 на площинах проекцій П1 і П3 утворює еліпси. Еліпс на П1 будується за допогою площин горизонтального рівня. Вони проводяться на П2 і у результаті цього одержуються точки 22, 42, 72, 82, 102. Від цих точок в напрямку площини П1 проводятся лінії зв'язку. Вказані площини рівня створюють кола на П1. Перетин цих кіл з лініями зв'язку створює точки еліпса 21, 41, 71, 81, 101. Точки 1, 3, 6, 9 будуються за приналежністю каркасних ліній сфери та за проекційнійною відповідністю на обох площинах П1 і П2. На П3 еліпс будується за координатами у та за проекційнійною відповідністю.

Натуральна величина фігури перерізу сфери – окружність будується за радіусом, що дорівнює половині великої осі еліпса взятої з площини П2. Це виконується заміною площин проекцій і надано на вигляді А – на площині П4.

102

Декілька проеціюючих площин, з'єднаних між собою ребрами, створюють багатогранну призму (рис. 5.8). При повному перетині кривих поверхонь обертання конуса і сфери проеціюючими гранями призми утворюються два отвори

– вхідний і вихідний. При неповній “врубці”– одна замкнена крива лінія. У просторі ці отвори і крива обмежуються замкненими кривими лініями з перело-

мами по ребрах призми. Отвори і крива на комплексному кресленні обмежуються частинами математичних кривих другого порядку – парабол, гіпербол, кіл

та еліпсів.

Для рішення графічних задач з побудови ліній перетину кривих поверхонь з гранними необхідно дотримуватися такого порядку:

1. Визначається, який перетин мають фігури – повний або неповний.

2. Визначається, на якій площині проекції гранна фігура займає проеціююче положення, що надає грані призми у вигляді двох збіжних прямих ліній отворів. Ці лінії не потребують додаткових способів побудов. По збірній властивості проеціюючих площин вони зображуються відрізками прямих.

3. За допомогою площин рівня, проведених через точки, що збігаються з ребрами призми, будуються каркасні лінії (окружності).

4. Визначаються характерні точки – на ребрах призми та додаткові точки – розташовані між ребер. Додаткові точки потрібні для уточнення кривизни лінії перетину.

5. Будуються лінії зв'язку від характерних та додаткових точок до суміжної площини проекцій.

6. Будуються каркасні окружності і за допомогою перетину їх з вище вка-

заними лініями зв'язку, а також будуються точки кривих ліній перетину на суміжній площині. Позначаються точки перетину дуг із лініями зв'язку.

7. По вихідноій проеціюючій проекції лінії перетину фігур визначається порядок з'єднання та з'єднаються точки на суміжній площині проекцій з урахуванням їхньої видимості і характеру протікання кривих ліній отворів.

На всіх трьох вихідних завданнях (рис. 5.8.1, 5.8.2, 5.8.3) призми задані проеціюючими положеннями площин отворів перетину. Призма на рис. 5.8.1 займає фронтально-проеціююче положення, а на рис. 5.8.2 і 5.8.3 – горизонтально-проеціююче.

Для побудови горизонтальної проекції лінії перетину призми з бічною поверхнею конуса (рис. 5.8.1) через ребра Е2, F2, К2, L2 і також через додаткові точки 22, 32, 62, 82 проводяться площини-посередники горизонтального рівня, котрі будують каркасні окружності, які зображуються відрізками прямих. А на П1 за допомогою ліній зв'язку, які зустрічаються з дугами окружностей і створюють точки вхідного отвору – L1, 81, Е1, 21, 31,F1, К1, 61, L1 та вихідного

отвору – L2, 82, Е2, 22, 32, F2, К2, 62, L2. На П3 точки отворів будується за допомогою проекційної відповідності та однакових координат У на П1 і П3.

Інші пояснення надані на кресленні.

При рішенні вправ, що надані на рис. 5.8.2 та рис. 5.8.3 площини фронтального рівня проводяться на П1. Характерні точки співпадають з ребрами призм (вершинами трикутників), а також з осями сфер. Інші точки – додаткові. Частини еліпсів будуються на П2. Останні дії аналогічні діям, що є на рис. 5.8.1.

104

При побудові точок перетину К та L горизонтальної прямої l ≡ h кривої бокової поверхні еліптичного циліндра (рис. 5.9 а) є два способи розв’язування.

Перший – з використанням площини горизонтального рівня Ф2, що проводиться через цю пряму. Площина рівня перетинає поверхню циліндра по колу. На площині проекції П2 коло займає проеціююче положення, тому зображується прямою лінією. А на площині П1 – колом із радіусом, що дорівнює радіусу основи. Центр кола будують за допомогою лінії зв'язку, яка з’єднує точку перетину осі симетрії з площиною рівня О21, що на П2, з віссю симетрії у точці О11, яка розташована на П1. Проекція кола перетинає проекцію прямої l1 у точках К1 та L1. Точки К2 та L2 на П2 будуються за проекційною відповідністю та за допомогою ліній зв'язку.

Другий – з використанням додаткової прямої паралельної до твірної циліндра. Проекції цієї прямої проводяться через довільно вибрану на прямій l точку 1(1211). Потім будується горизонтальний слід М на обох площинах проекцій. Додаткова пряма лінія та вихідна пряма l після перетину в точці 1, утворять площину загального положення Ω(Ω1, Ω2). Властивість паралельності сліду площини її лініям рівня дає змогу побудувати цей слід. Для цього, через точку М1 проводиться лінія h10║ h1 = l1. Лінія h10 та коло основи належать площині проекції П1. Тому мають загальні точки 21 і 31. З цих точок прямують дві лінії паралельні між собою та твірними циліндра на П1 до перетину з h1 у точках К1 та L1. Далі за проекційною відповідністю будуються точки К2 і L2 за допомогою ліній зв'язку.

У результаті рішення одним та іншим способом були отримані ті ж точки перетину поверхні циліндра.

Для побудови точок перетину прямої АВ загального положення з поверхнею конуса (рис. 5.9 б) спочатку через вершину S (S1, S2) та пряму АВ проводиться лінія рівня h (h1, h2). Потім будується слід h10 площини, що створена шляхом перетину АВ з h. Слід h10║ h1. Коло і слід h10 належать П1, тому мають загальні точки 11 та 21. Точки 1 і 2, що з’єднані з вершиною конуса S створюють трикутники, по яких площина загального положення перетинає конус. На П1 проекція А1В1 перетинає твірні трикутника в точках К1 і L1. Точки К2 та L2 будуються за проекційною відповідністю за допомогою ліній зв'язку.

Точки перетину горизонтальної прямої АВ з поверхнею сфери будуються з використанням площини горизонтального рівня Ω2, яка проводиться через проекцію прямої А2В2 і відсікає від сфери коло радіуса r (рис. 5.9 в).

Точки К1 та L1 будуються шляхом перетину прямої А1В1 з колом на П1. На П2 – точки К2 та L2 – за проекційною відповідністю за допомогою ліній зв'язку.

Точки перетину прямої загального положення АВ з поверхнею еліптичного циліндра (рис. 5.9 г) будуються за допомогою вмикання відрізка АВ у площину Ω, що утворена перетином АВ з відрізком l, паралельним твірним циліндра. Потім будується слід h10, який перетинає основу циліндра в точках 31 та 21. З цих точок прямують паралельні твірні до перетину АВ у точках К1 та L1. Точки К2 та L2 будуються за проекційною відповідністю за допомогою ліній зв'язку.

108

Розділ VІ Проекції багатогранників і перетин їх площинами, відрізками та побудова натуральної величини фігур їх перерізу

До багатогранників належать призми і піраміди. Побудова цих фігур зводиться до побудови проекцій їхніх точок (вершин), ліній (ребер) і площин (граней).

На рис. 6.1.1 надано просторово зображення тригранної прямої піраміди. Разом із основою вона складається з чотирьох трикутних граней і шести ребер. В основі піраміди знаходиться трикутна грань АВС, точка S – вершина, відрізок ОS – висота, О – центр основи. Піраміди мають і більше граней. Існують піраміди з нахильними гранями.

На рис. 6.1.2 надано просторово зображення прямої чотиригранної призми. Ця призма має чотири бокові та дві грані – основа нижня та основа верхня. Відрізок ОО1 – висота призми.

Якщо фігури основи – правильні трикутники або багатокутники, то піраміда – пряма, піраміда і призма – правильні.

Для побудови фігури перерізу багатогранників площинами потрібно визначити точки, у яких ребра призми або піраміди перетинають задану площину, або визначити відрізки прямих, по яких грані призми або піраміди перетинаються площиною.

У першому випадку побудова зводиться до задачі перетину відрізком прямої з площиною, у другому – до перетину площин між собою.

На рис. 6.1.3 надана задача побудови фігури перерізу піраміди фрон- тально-проеціюючою площиною Ф2 та побудова її натуральної величини.

Фігура перерізу піраміди площиною визначається по точках перетину ребер АS, ВS, CS із площиною Ф. Відразу визначаються фронтальні проекції точок перетину 12, 22, 33 на сліді проеціюючої площини. Потім визначаються горизонтальні проекції точок 11, 21, 31 за допомогою лінії зв'язку 12 – 11, 22 – 21, 32 – 31. Фігура перерізу – трикутник 112131.

Натуральна величина фігури перерізу трикутника визначається за допомогою способу перетворення проекцій – заміни площин проекцій. Для чого на площині проекцій П2 проводиться вісь площини П4 паралельно проеціюючій площині і на ній відкладаються відрізки (121 221) = (12 22) та (221 321) = (22 32). З точок 121, 221, 321 проводяться відрізки, перпендикулярні до осі Х24. На них відкладаються відрізки, що дорівнюють координатам “У”, які обираються зі “старої” площини проекцій П1 і утворюють точки 14=140, 24=240, 34=340. Після з’єднання цих точок між собою отримують трикутник 142434 ≡ НВ (заштриховано).

На рис. 6.1.4 надана задача побудови фігури перерізу призми фронтальнопроеціюючою площиною Ф2. Дії з розв'язування цієї вправи аналогічні попередній задачі. “Стара” площина проекцій – також П1. Фігура перерізу призми – п'ятикутник. Натуральна величина фігури перерізу – 1424344454 (заштриховано).

110