381

Побудова точок перетину граней відрізком прямої лінії на рис. 6.2.1 виконується за допомогою площини загального положення АSВ, яка створюється шляхом проведення її твірних через вершину піраміди та кінці відрізка А і В. Потім будуються горизонтальні сліди М1 та М11 площини АSВ. Ці сліди та основа піраміди мають загальні точки 11 та 21, що створюються при перетині двох сторін трикутника основи слідом площини h10 ≡ М1 М11. Після з’єднання цих точок з проекцією вершини S1 утвориться горизонтальна проекція фігури перерізу – трикутник 11S121, сторони якого перетинає проекція відрізка А1В1 у точках К1 і L1. Проекції фігури перерізу 12S222 і точки перетину відрізком К2 та L2 будуються за допомогою ліній зв'язку і за проекційною відповідністю. В цій вправі всі елементи за винятком основи займають загальне положення. А в основі – всі сторони трикутника горизонтальні лінії рівня h.

Пряма лінія m загального положення перетинає грані трикутної призми, які займають проеціююче положення, у точках К і L (рис. 6.2.2). Будують ці токи, починаючи з П1, де грані призми зображуються лініями. На площині П2 проекції точок К2 і L2 будуються за проекційною відповідністю та за допомогою ліній зв'язку.

Перетин граней нахильної тригранної призми загального положення відрізком прямої також загального положення (рис. 6.2.3) будується за допомогою включення цього відрізка в площину, яка створюється перетином його з прямою, паралельною твірній у точці 1. Потім будується горизонтальний слід h10. Цей слід має загальні точки 21 і 31 з основою – трикутником. Фігура перерізу призми площиною МЕМ1 – чотирикутник (заштриховано), великі сторони його перетинає пряма D1Е1 у точках К1L1. Проекція фігури перерізу – чотирикутник (заштриховано) і точки перетину його великих сторін у точках К2 та L2 на площині П2 будуються за допомогою проекційної відповідності та ліній зв'язку.

Побудова точок перетину відрізком прямої ЕF граней чотиригранної піраміди (рис. 6.2.4) виконується шляхом проведення через відрізок фронтальнопроеціюючої площини Ф2. На П2 ця площина перетинає ребра піраміди в точках 12223242. За проекційною відповідністю будуються точки 11213141. Після з’єднання цих точок прямої створюється фігура перерізу – чотирикутник. Оскільки площина Ф2 включає проекцію Е2F2 за побудовою, то на горизонтальній площині П1 проекція прямої Е1F1 знаходиться у фігурі перерізу і перетинає дві сторони чотирикутника в точках К1 і L1. За допомогою проекційної відповідності та ліній зв'язку будуються точки К2 і L2.

На рис. 6.2.5 точки перетину граней тригранної піраміди відрізком прямої загального положення DЕ будуються за допомогою включення його до площини, яка утвориться перетином його з прямою загального положення S1. Після побудови горизонтального сліду площини h10, котрий має загальні точки 21 та 31 з основою А1В1С1, будується фігура перерізу – трикутник 21S131 і точки перетину К1 і L1. Фігура перерізу – трикутник 22S232 і точки перетину К2 та L2 будуються за допомогою проекційної відповідності та лінії зв'язку.

112

Для побудови фігури перерізу граней тригранної піраміди (рис. 6.3.1) площиною АВСD, яка має у своєму складі дві горизонтальні лінії – горизонталі АD та ВС, застосовується спосіб заміни площин проекцій. При цьому в новій площині проекцій П4 будуються одночасно проекція піраміди та заданої площини. Причому остання стає проеціюючою площиною А4В4С4D4, яка перетинає піраміду по трикутнику 142434. Цей трикутник зображується відрізком прямої лінії,

уякому точки 14 та34 співпадають. Побудова проеціюючого положення заданої площини АВСD робиться наступним чином. Перпендикулярно до осі Х14 з точки 44 відкладаються на величину координати Z ≡ C242 два збіжні відрізки 44С4 ≡ 44В4 та з точки F4 також – два збіжні відрізки F4A4 ≡ F4D4. Після з’єднання цих попарно збіжних точок робиться пряма, яка перетинає грані піраміди на П4

уточках 14 ≡ 34 та 24. Зворотним проеціюванням за допомогою проекційної відповідності та ліній зв'язку будуються спотворені фігури перерізу, спочатку

трикутник 112131 на площині П1, а потім – 122232 на П2.

Побудова точок перетину граней похилої тригранної призми прямою АВ загального положення (рис. 6.3.2) виконується за допомогою фронтально-прое-

ціюючої площини Ф2, в яку заключається проекція прямої А2В2. Площина Ф2 перетинає три ребра по точках 122232. Фігура перерізу – трикутник (заштриховано). На площині проекцій П2 трикутник зображується прямою лінією, а на П1

– спотвореним трикутником 112131, проекції сторін якого перетинає пряма А1В1

уточках К1 і L1. Проекції К2 та L2 будуються за допомогою проекційної відповідності та лінії зв'язку.

Перетин граней піраміди, ребро якої ЕS є профільна пряма, прямою загального положення АВ (рис. 6.3.3) будується за допомогою властивостей проеціювання пропорційно поділеного відрізка. Для чого на промені, проведеному

через проекцію вершини S1 по вільному куту відкладаються відрізки, що дорівнюють S222 та 22Е2. Після з’єднання точки Е2 з Е1 та проведення прямої 2221 паралельно Е2Е1 отримується точка 21 на вертикальному ребрі піраміди. Точки 11 та 31 трикутника будуються за проекційною відповідністю та ліній зв'язку, що прямують від точок 12 та 32, які будуються при перетині площиною Ф2 проекцій

ребер С2S2 та D2S2.

На рис. 6.3.4 точки перетину граней тригранної піраміди відрізком прямої загального положення АВ будуються за допомогою горизонтально-проеціюю- чої площини Ф1, яка проводиться через А1В1. Ця площина перетинає проекцію ребра S1D1 у точці 21, сторону основи C1D1 – у точці 11 і сторону основи Е1D1 – у точці 31. Фігура 112131 – трикутник, який зображується відрізком прямої за збірною властивістю проеціюючої площини. На П2 фігура перерізу – трикутник 122232, сторони якого перетинає відрізок А2В2 в точках К2 та L2. Точки К1L1 будуються за допомогою проекційної відповідності та ліній зв'язку.

Точки перетину прямокутної призми прямою загального положення будуються за допомогою проеціюючої площини Ф2 (рис. 6.3.5). Фігура перерізу – пряма на П2 та прямокутник на П1, сторони якого перетинає пряма А1В1 в точках К1 та L1. К2 та L2 будуються за допомогою проекційної відповідності.

Фігура перетину граней піраміди горізонтально-проеціюючою площиною Г1 (рис. 6.3.6) будується аналогічно побудовам, що надані на рис. 6.3.3.

114

Розділ VІІ Взаємний перетин гранних поверхонь

Лінією перетину двох багатогранників буде одна або дві просторові зам-

кнені ламані лінії. Вершинами цих ліній є точки перетину ребер одного багатогранника з гранями іншого. Окремі відрізки ламаних прямих є лініями взаєм-ного перетину граней багатогранників. У першому випадку перетин буде неповним і його прийнято називати “врубкою” або “врізанням”. При двох замкнених лініях перетину одна з поверхонь повністю проникає в другу. Цей випадок називають повним проникненням.

Загальним способом побудови лінії перетину поверхонь між собою є спосіб допоміжних січних поверхонь, у якості котрих найчастіше застосовують проеціюючі площини або площини рівня. Якщо грані і ребра одного з багатогранників займають проеціююче положення до якоїсь площини проекцій, то одна з проекцій шукана лінії вже є на кресленні, вона збігається з проекцією проеціюючої фігури на цій площині проекцій. Тому задача зводиться до побудови по одній відомій проекції іншої проекції лінії перетину за допомогою проекційної відповідності та ліній зв'язку.

Якщо обидві поверхні займають загальне положення щодо площин проекцій, можливі два шляхи рішення задачі:

1. Методом перетворення проекцій спочатку перевести одну з поверхонь, в проеціююче положення, побудувати шукану лінію перетину в новій системі площин проекцій, а потім оберненим шляхом побудувати проекції цієї лінії в старій системі;

2. Способом допоміжних січних поверхонь, використавши для цього площини окремого положення.

З цих двох шляхів варто вибрати найбільш доцільний. Проілюструємо перетин гранних поверхонь двома шляхами:

1. Визначити точки, у яких ребра однієї фігури перетинають грані іншої, і ребра іншої перетинають грані першої. Проекції точок, отримані в процесі побудови, з'єднаються за визначеним правилом. Отже, побудова зводиться до рішення задачі на перетин прямої із площиною стільки разів, скільки ребра однієї фігури перетинають грані іншої.

2. Визначити відрізки прямих, по котрих грані однієї фігури перетинають грані іншої. Ламана лінія, що складається з цих відрізків, являє собою шукану лінію перетину. Отже, цей прийом заснований на задачі перетину двох площин між собою.

Нехай, наприклад, потрібно побудувати лінію перетину прямої призми з пірамідою загального положення при неповному перетині “врізанні” (рис. 7.1). Задача полягає у визначенні точок зустрічі двох ребер SВ і SС піраміди з гранями призми та одного ребра FF1 призми з гранями піраміди, тобто до рішення двох задач на перетин прямих ліній загального положення з горизонтально-проеціюючими площинами і двох задач на перетин площин загального положення з горизонтально-проеціюючою прямою. Оскільки призма пряма, то горизонтальні проекції 11, 21 і 31, 41 шуканих точок уже відомі, залишається їх

118

знести на фронтальні проекції відповідних ребер піраміди за допомогою ліній зв'язку. Для побудови фронтальних проекцій 52 і 62 точок 5 і 6, що лежать на ребрі FF1, через це ребро і вершину S проводиться допоміжна горизонтальнопроеціююча площина Ф1, що перетинає грані SАС і SАВ по лініях SК і SМ. Перетин цих прямих із ребром FF1 визначає шукані точки. Знайдені точки послідовно з'єднуються відрізками прямих за таким правилом з'єднання точок

перетину:

1. Між собою можна з'єднувати тільки такі точки, що лежать одночасно в одній і тій же грані кожної з двох даних фігур. Не можна, наприклад, з'єднувати точки 22 і 12, тому що вони лежать на різних гранях призми, хоча і належать одній і тій же грані піраміди.

2. Кожна точка з'єднується тільки з двома сусідніми точками. Наприклад, не можна точку 62 з'єднувати, крім точок 12 і 22, ще і з точкою 32 або 42;

3. У результаті з'єднання повинен утворитися замкнутий контур.

Це правило ілюструє сітка професора Ананова, яка утворюється схематично шляхом накладення умовних розгорток призми та піраміди одна на одну (рис. 7.1.1). Побудова цих розгорток починається і закінчується з вільних ребер з обходом за годинниковою стрілкою (рис. 7.1.2). Для призми це ребра D, Е, F, D, а для піраміди – А, В, С, А. Між ребер розташовуються грані фігур. Після побудови сітки, на ній штрихуються грані, що є “невидимими”. На призмі невидима спостерігачу грань DЕ – її закривають грані DF i EF. Для піраміди – невидима грань ВSС (заштрихована) – її закривають грані АSС і АSВ. Точки розташовуються на серединах ребер і з'єднуються між собою тільки в межах контурів, утворених ребрами обох фігур. Крім того, товстими “видимими” лініями з'єднуються точки, що розташовані в межах не штрихованих контурів і штриховими лініями – в межах штрихованих контурів. Сітка дає змогу, таким чином, виявити як порядок з'єднання, так і видимість ліній перетину уже на площинах проекцій. Типи ліній із сітки переносяться на проекції.

При повному перетині фігур (“проникненні”) (рис. 7.2) фронтально-прое-

ціюючої шестигранної призми крізь тригранну правильну піраміду на фрон-

тальній площині проекцій П2 фігурами перетину є збіжні правильні шестигран-

ники 12, 22, 32, 42,52, 62 – видимий та 121, 221, 321, 421, 521, 621 – невидимий. Для побудови проекцій вхідного та вихідного отворів на П1 треба через ребра призми

провести площини горизонтального рівня Σ2, Q2, Ф2. Ці площини перетинають піраміду по трьох трикутниках, які паралельні до основи А1В1С1. З лініями цих трикутників перетинаються лінії зв'язку, що проходять від відповідних ребер з П2 на площину проекцій П1 і утворюють точки, що належать двом отворам. Після з'єднання цих точок прямими у послідовності відповідно з вирожденою проекцією на П2 будується на П1 вхідний отвір – 11, 71, 21, 31, 41, 81, 51, 61 та вихідний – 111, 211, 311, 411, 511, 611. Побудова невидимих штрихових ліній на П1 виконується для тих точок, що розташовані під площиною Q2 та середнім трикутником на П1. А над цєю площиною і над середнім трикутником будуються видимі лінії. За проекційною відповідністю та за допомогою ліній зв'язку будується профільна проекція фігур і ліній їх взаємного перетину на П3.

120