381

Розділ ІХ – Особливі випадки перетину поверхонь другого порядку. Теорема Монжа. Спосіб січних сфер-посередників

До кривих поверхонь другого порядку належать такі поверхні, які мають у своєму складі твірні, що утворюють криві поверхні обертанням за законами кривих, що описуються рівняннями другого ступеню – “другого порядку”.

Відомо, що порядок кривих ліній взаємного перетину двох поверхонь другого порядку визначається множенням порядків двох поверхонь, тобто четвертого – біквадратна крива. Іноді вона може розпадатися на декілька ліній більш низького порядку, але при цьому сума порядків залишається рівною чотирьом. Відомо, що якщо дві поверхні другого порядку перетинаються по одній плоскій кривій (рис. 9.1 а – окружність К1 та К2), то вони взаємно перетинаю-ться і ще по одній плоскій кривій (рис. 9.1 б – еліпс А2В2).

Ця властивість має назву “парності”. Як відомо, і окружність, і еліпс є кривими другого порядку.

Французький вчений геометр Гаспар Монж досліджував питання побудови ліній перетину двох поверхонь другого порядку, описаних біля третьої поверхні другого порядку і сформулював теорему з цього питання:

“Дві поверхні другого порядку, описані навколо третьої поверхні другого по-

рядку (або в неї вписані) перетинаються між собою по двох плоских кривих другого порядку. Площини цих кривих проходять через прямі, що з'єднують

протилежні точки перетину дотичних окреслених твірних ліній”.

На рис. 9.1 в, г, д, е, ж, з подані приклади пар фігур, окреслені твірні яких дотикаються третьої фігури другого порядку – сфери в точках торкання 12, 22 та 32, 42. Дотичні перетинаються в точках А2 і В2 та С2 і D2. Після з'єднання цих точок попарно між собою прямими лініями одержують проекції плоских еліп-

тичних кривих, котрі зображуються двома прямими лініями. Теорема об-

грунтувала можливість використання вказаних прямих у якості кондуктора, по якому ріжучий інструмент може відрізати еліптичну криву. При співвісно розташованих фігурах після перевірки дотикання сфери у чотирьох точках залишається побудувати точки А2 і В2 та С2 і D2 і з’єднати їх прямими лініями.

Коли немає дотику сфери до окреслених твірних інших двох фігур, тоді лінії перетину будуються за допомогою способу січних сфер-посередників.

Цей спосіб використовує властивість співвісних сфери і іншої фігури другого

порядку перетинатись по окружностях, які зображуються прямими лініями. Можливі два варіанти побудови ліній другого порядку.

Перший (рис. 9.1 і ) – сфера дотикається до твірних вертикального ко-

нуса і перетинає твірні горизонтального конуса. Точки кривих ліній перети-

ну будуються перетином ліній горизонтальних окружностей на вертикальному конусі з лініями вертикальних окружностей на горизонтальному конусі.

Другий (рис. 9.1 к ) – сфера дотикається до твірних вертикального ко-

нуса і “зависає” – не дотикається і не перетинає твірних горизонтального конуса. Тоді дотичну сферу до твірних будують на горизонтальному конусі. Точки ліній перетину фігур будуються при перетині ліній вертикальних окружностей на горизонтальному конусі з лініями горизонтальних окружностей на

вертикальному конусі.

136

Розділ Х Побудова розгорток гранних та кривих поверхонь

Розгорткою поверхні називається плоска фігура, одержана в результаті суміщення всіх її точок з площиною (без деформацій і складок).

Основні властивості розгорток: площа розгортки дорівнює площині поверхні; довжина лінії на розгортці дорівнює довжині лінії на площині; кути між лініями на розгортці і відповідними лініями на площині також рівні між собою. Уміння будувати розгортки поверхонь необхідне при проектуванні і виготовленні різноманітного роду виробів з листового матеріалу (оболонок корпусів, перехідних частин між ними, трубопроводів і т. ін.).

За способами побудови розгортки доцільно розділити на три групи:

-розгортки центрально організованих поверхонь (піраміди, конуси):

-розгортки паралельно організованих поверхонь (призми, циліндри);

-розгортки криволінійних поверхонь (сфери, тіла обертання – носові коки). Побудові будь-якої розгортки передує побудова ліній перетину поверхонь

фігур, визначення натуральних розмірів ребер у гранних тілах, відстаней між точками перетину ребер з поверхнями граней, відстаней від основи фігури до точок перетину ребер однієї фігури з гранями іншої.

На рис. 10.1 поданий зразок побудови ліній перетину поверхонь правильної призми і піраміди при їх повному перетині. Точки 1, 2, 3, що належать вихідному отвору, а також точки 4, 5, 7, що належать вхідному отвору побудовані, як точки перетину ребер піраміди з гранями призми на П1, що очевидно, а на П2 – за допомогою проекційної відповідності та ліній зв'язку. Для побудови точок вхідного отвору 61 і 81 перетину ребра Е1 призми з гранями піраміди використана горизонтально-проеціююча площина ω1, яка проведена через ребро Е1 і вершину D1. На П2 ця площина будує трикутник D292102 (заштрихований), сторони якого перетинаються з ребром Е2 і будують проекції

точок 62 і 82. Таким чином, вхідний отвір – це 42, 52, 62, 72, 82, а вихідний – 12, 22, 32. Натуральні величини бічних ребер піраміди побудовані за допомогою

способу заміни площин проекцій. Це ребра А0D0 (з точками 10 і 40) і В0D0 (з точками 20,70). Ребро С1D1 ≡ С0D0 (з точками 31 і 51) є натуральним, як

горизонталь h (h2, h1).

Натуральна величина ребер основи АВС піраміди побудована за два етапи. Перший – за допомогою плоско-паралельного перенесення основа перетворена в фронтально-проеціюючу площину у вигляді лінії А211 - В21. Другий – обертанням навколо проеціюючої осі у точці А211 до положення, паралельного П1. На рис. 10.2 способом “тріангуляції” (трикутників) побудована розгортка піраміди. Для цього в довільному місці аркуша розміщується ребро А0D0. З точки А0 радіусом, рівним А0С0, проводиться дуга, яка перетинається з дугою, що проводиться радіусом D0C0 з точки D0 і будується точка С0. Далі будуються засічки в точці В0 дугами радіусів С0В0 з точки С0 та D0В0 з – D0. Отже, трикутник до трикутника. Всі натуральні ребра піраміди узяті з рис. 10.1. Останніми будуються лінії перетину фігур шляхом з’єднання відповідних точок.

На рис. 10.3.2 подана побудова розгортка поверхні призми з отворами способом “розкочування” граней призми при повороті їх навколо ребер Е, К, G, U до суміщення з площиною аркуша. Ширина розгортки дорівнює висоті призми.

140