Higher_Mathematics_Part_1
.pdfSolution. We take a minor of the second order, for example,
Μ(2) = |
|
1 −2 |
|
= 1 ≠ 0. |
|
|
|||
|
|
−1 3 |
|
|
The bordering minors of the third order for its are |
1 |
−2 |
0 |
|
1 |
−2 |
4 |
|
|
|
|
|||||||
−1 |
3 |
−1 |
and |
−1 |
3 |
2 |
|
. |
0 |
1 |
−1 |
|
0 |
1 |
6 |
|
|
If both minors of the third order are equal to zero and the minor M (2) of the second order isn’t equal to zero, then by the definition r(A) = 2.
2 |
−2 |
1 |
−1 |
3 |
|
|
|
−4 |
−4 |
2 |
−4 |
−2 |
|
Example 6. Find the rank of matrix A = |
. |
|||||
|
3 |
0 |
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
−6 |
3 |
−5 |
1 |
|
|
|
Solution. Let’s consider the elementary transformations to the given matrix
2 |
−2 |
1 −1 |
3 |
2 |
0 |
1 −1 3 |
1 |
0 |
3 |
−1 3 |
|
||||||||
|
−4 |
−4 |
2 |
−4 −2 |
|
|
−4 |
0 |
2 |
−4 −2 |
|
|
2 |
0 |
−2 |
−4 −2 |
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
~ |
|||||||||||||
|
3 |
0 0 |
2 3 |
|
3 |
0 |
0 |
2 3 |
|
0 |
0 |
3 |
2 3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
−6 |
3 |
−5 |
1 |
|
|
−2 |
0 |
3 |
−5 1 |
|
|
3 |
0 |
1 |
−5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 3 |
0 |
0 |
1 |
−1 3 0 |
0 |
|
|||||||||||
|
2 |
−4 −2 0 |
0 |
|
|
0 |
−2 |
−8 0 |
0 |
|
|
|||||||
~ |
|
~ |
|
~ |
||||||||||||||
|
0 |
2 3 |
0 |
0 |
|
|
0 |
2 3 0 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
−5 1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
−2 |
−8 0 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
−1 3 |
0 |
0 |
1 −1 3 0 |
0 |
|
|||||||||||
|
0 |
−2 −8 |
0 |
0 |
|
|
0 |
−2 |
−8 0 |
0 |
|
|
||||||
~ |
|
~ |
. |
|||||||||||||||
|
0 |
2 3 |
0 |
0 |
|
|
0 0 |
−5 0 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 0 |
0 |
0 |
|
|
0 0 0 0 |
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
The determinant of the third order, which consists of the cross elements of the first 3 rows and columns of the last matrix, is not equal to zero, and all the
minors of the forth order are equal to zero. So, r(A) = 3 .
31
Micromodule 2
CLASS AND HOME ASSIGNMENT
Calculate the product of the matrices:
|
|
|
|
|
−2 |
|
3 |
1 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
1. |
AB and |
BA , if |
|
|
, |
|
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
A = |
5 |
|
|
0 |
6 |
|
B = |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
|
|
3 0 1 |
|
, |
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
AB , if A = |
|
|
−3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
−2 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 3 |
|
|
|
|
−4 −2 4 |
|
|
2 |
3 |
−1 |
|||||||
3. |
ABC , if |
|
B = |
, C = |
|
3 |
1 |
0 |
|
|||||||||||
A = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
1 0 3 |
|
|
|
−2 |
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Find f (A) if:
2
4.A =
4
1
5.A = 1−2
−3 |
, f |
(x) = (x2 − 3x) (3x + 2) . |
5 |
|
|
0 |
4 |
|
3 |
−2 , f (x) = 2x2 + x − 4 . |
|
1 |
2 |
|
|
Find an inverse matrix, if:
|
|
1 |
1 |
−1 |
|
|
1 |
3 |
−1 |
||
6. |
|
0 |
−2 −3 |
|
. 7. |
|
1 |
1 |
−5 |
|
|
A = |
|
A = |
. |
||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
−1 −2 2 |
|
||
|
|
−1 |
|
|
|
Find the rank of matrix:
|
1 |
−2 |
3 |
|
|
|
1 −2 |
1 |
−1 3 |
||||
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
|
−2 |
−4 |
2 |
−4 |
0 |
|
8. |
|
|
. 9. |
|
. |
||||||||
|
|
−2 |
−4 |
−1 |
|
|
−5 |
−4 |
5 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
4 0 |
7 |
|
|
|
−6 |
−10 8 |
−7 |
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
32
Answers
|
|
|
|
|
12 |
6 |
|
|
|
2 |
12 |
|
16 |
|
−9 |
|
−242 |
−66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1. |
AB = |
|
|
, |
BA = |
1 21 25 . 2. AB = |
27 . 4. |
f (A) = |
132 |
−176 |
. |
||||||||
|
|
|
|
14 |
16 |
|
|
7 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
21 |
|
|
|
|
||
|
|
|
11 |
−2 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
A |
−1 |
|
−6 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
−1 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Micromodule 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
2.1. Find f (A) if: |
|
SELF-TEST ASSIGNMENT |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.1.1. |
|
|
3 |
0 |
1 |
|
f (x) = 2x |
2 |
+ 3x + 1 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
A = |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.1.2 . A = 1 |
2 |
|
3 , |
f (x) = x2 + 5x + 2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
−3 |
1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
, |
f (x) = x |
3 |
+ x |
2 |
− 7x + 3 . |
|
|
|
|
|
|||
|
2.1.3. A = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.1.4. A = |
2 |
−4 |
1 , |
f (x) = 3x2 − 2x + 8 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
−5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
−2 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1.5. A = |
1 |
0 |
|
5 , |
f (x) = x2 − 3x − 1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.1.6. A = |
3 |
1 |
2 , |
f (x) = x2 − x − 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
−1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1.7. A = |
−2 |
1 |
|
1 , |
f (x) = x2 − 2x + 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
0 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
2.1.8. A =
2.1.9. A =
2.1.10. A =
2.1.11. A =
2.1.12. A =
2.1.13. A =
2.1.14. A =
2.1.15. A =
2.1.16. A =
2.1.17. A =
2.1.18. A =
2
−3 4
−3 2
2
−10
−4
01
1
23
1
−2
3
4
0
−2−1
4
21
5
−10
1
21
1 |
|
3 |
|
|
0 −1 , f (x) = −2x2 + 8x − 6 . |
||||
2 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
||
1 |
|
f (x) = x |
3 |
− 4x . |
, |
|
|||
1 |
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
3 0 , f (x) = 2x2 + 6x − 3 . |
||||
−2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||
8 |
1 |
|
|
|
2 3 , f (x) = x2 − 5x + 3 . |
||||
|
|
|
|
|
−3 −1 |
|
|
||
−3 −1 |
|
|
||
2 |
|
3 , f (x) = 5x2 + 2x − 8. |
||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
, f (x) = x3 − 4x2 + x − 1. |
|||
1 |
|
|
|
|
−1 , f (x) = 2x3 − 8x + 6 . |
||||
2 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
1 0 , f (x) = x2 − 6x + 9. |
||||
5 |
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
−1 5 , f (x) = 9x2 − 4 . |
||||
2 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
−2 |
1 |
|
|
|
3 |
6 , f (x) = 9 − x2 . |
|||
4 |
|
|
|
|
−5 |
|
|
||
0 |
|
4 |
|
|
3 0 , f (x) = 2x2 + 8x + 8 . |
||||
−1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
34
|
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.1.19. |
|
−4 |
0 |
|
5 |
|
, |
f (x) = |
5 − 4x − x |
2 |
. |
||||||||
A = |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
4 |
|
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.1.20. |
|
1 |
3 |
|
1 |
|
, |
f (x) = |
3x |
2 |
− 7x + 5 . |
||||||||
A = |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
−2 |
1 |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1.21. |
|
−1 |
3 |
|
1 |
|
, |
|
f (x) = (x + 3) |
2 |
. |
|
|
||||||
A = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1.22. |
|
4 |
1 |
|
2 |
|
, f (x) = (x − 2) (2x + 3). |
||||||||||||
A = |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
−5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.1.23. |
|
−3 |
2 |
|
−3 |
|
, |
f (x) = |
4 − |
2x − x |
2 |
. |
|||||||
A = |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
−1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1.24. |
|
0 |
2 |
|
5 |
|
, |
|
f (x) = |
5x |
2 |
− 8x + 6 . |
|||||||
A = |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
5 |
−1 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.1.25. |
1 |
−5 |
, |
f (x) = 3x |
3 |
+ 4x |
2 |
− 2 . |
|
||||||||||
A = |
6 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
−3 |
, |
f (x) = (x |
2 |
− 2x)(2x − 1) . |
|||||||||||||
2.1.26. A = |
4 |
5 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.1.27. |
|
−1 |
4 |
|
−2 |
|
, |
f (x) = (4 − 2x)(x + 6) . |
|||||||||||
A = |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1.28. A = |
−1 |
4 |
|
5 , |
|
f (x) = 2x2 − 6x + 7 . |
|||||||||||||
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1.29. |
2 |
−3 |
, |
f (x) = (x |
2 |
− 2x)(2x + 1) . |
|||||||||||||
A = |
4 |
5 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2.1.30. |
|
1 |
3 |
−2 |
|
, |
f (x) = 5x |
2 |
+ 3x − 4 . |
A = |
|
|
|||||||
|
|
−1 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Solve the matrix equations.
2.2.1. |
A X = B , |
3 |
2 |
|
, |
1 |
||
A = |
1 |
1 |
|
B = |
||||
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
4 |
3 |
|
2 |
|||
2.2.2. |
X A = B , |
, |
|
1 |
||||
A = |
1 |
1 |
|
B = |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 7
4 8 .
8
1 . −1
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
4 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|||
2.2.3. |
A X B = C , A = |
, |
B = |
1 |
|
|
1 |
7 |
, C = |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
8 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
5 |
9 |
|
|
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.2.4. |
A X = B , |
A = |
2 |
1 |
, |
B = |
1 |
|
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
8 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.2.5. |
X A = B , |
A = |
, |
B = |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.2.6. |
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
6 8 |
|
|
= |
5 4 |
|
|
|
|||||||||
A X B = C , A = |
|
|
, |
B = |
|
|
|
, С |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
−2 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2.2.7. |
A X = B , |
A = |
|
3 |
8 |
|
5 |
|
, |
B = |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
7 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4 |
3 |
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
2.2.8. |
X A = B , |
|
|
5 |
4 |
|
7 |
|
|
B = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
6 |
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
5 4 |
|
|
|
|
|
7 |
|
8 |
7 |
|
−1 |
−1 0 |
||||||||
2.2.9. |
A X B = C , |
A = |
, |
|
|
|
|
8 |
|
9 |
6 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
B = |
|
, |
C = |
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 7 |
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
8 |
|
|
|
1 1 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
2.2.10. A X = B , |
A = |
|
2 |
|
−1 |
|
2 |
|
, |
B = |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
|
|
|
5 |
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.2.11. |
X A = B , |
|
|
3 |
|
4 |
2 |
|
, |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A = |
|
|
|
= |
0 |
|
3 |
−5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.2.12. A X B = C , |
A = |
|
4 |
5 |
|
|
3 |
|
, |
|
B = |
|
, |
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
−3 |
−4 |
|
|
|
|
4 |
7 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 2 −3 |
|
|
|
|
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.2.13. |
A X = B , |
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|
|
B = |
|
2 |
|
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A = |
|
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 1 3 |
|
|
|
|
|
1 −1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.2.14. |
X A = B , |
|
|
0 |
|
2 |
0 |
|
, |
|
B |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A = |
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.2.15. A X B = C , |
A = |
|
3 4 |
, |
B = |
−1 2 |
|
, |
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
−5 |
|
С = |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
||||||
2.2.16. X A B = C , |
A = |
|
3 −2 |
, B |
|
3 2 |
|
С |
= |
2 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 −1 |
|
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
4 |
−3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
5 |
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.2.17. |
X A = B , |
|
|
−6 |
−3 |
|
|
−5 |
|
, |
B = (3 |
2 |
1) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.2.18. A X B = C , |
A = |
|
4 5 |
, |
|
|
5 8 |
|
, |
|
С |
2 4 |
|||||||||||||||||||
|
−5 −6 |
|
B = |
|
|
−3 |
|
|
= |
|
−4 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
−3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.2.19. |
X A = B , |
|
|
3 |
|
−1 |
1 |
|
, |
B = |
|
−3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A = |
|
|
|
|
−1 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2.2.20. A X B = C , |
A = |
|
3 −1 |
, |
|
|
|
5 6 |
С = |
14 16 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
5 −2 |
|
|
B = |
|
|
, |
|
9 10 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.2.21. A X B = C , |
A = |
|
2 1 |
, |
|
|
|
|
−3 2 |
|
, |
|
|
|
|
−2 4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
B = |
3 |
|
|
|
С = |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
3 −1 |
|
|
||||||||
|
|
|
5 3 1 |
|
|
|
|
−8 3 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.2.22. |
X A = B , |
|
|
1 |
−3 |
|
|
−2 |
|
, |
B = |
|
−5 |
|
9 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
A = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
−5 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 15 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
|
|
1 2 |
−3 |
|
|
1 0 |
−3 |
|
|||
2.2.23. |
A X = B , |
|
3 |
2 |
−4 |
|
, |
|
2 |
7 |
|
A = |
|
B = 10 |
. |
||||||||
|
|
|
2 |
−1 0 |
|
|
|
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
||
2.2.24. A X = B , |
|
|
2 |
3 |
|
, |
|
1 |
2 |
|
A = 1 |
|
B = 1 |
. |
|||||||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|||
2.2.25. X A = B , |
|
3 |
7 |
2 |
|
, B = (10 |
3 |
3) . |
||
A = |
|
|||||||||
|
|
5 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.26. A X B = C , |
|
1 |
2 |
, |
|
1 |
3 |
2 |
||||||||||
A = |
−3 |
|
|
B = |
|
|
|
, |
С = |
−6 |
||||||||
|
|
|
|
|
−5 |
|
−1 −2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
||||
2.2.27. |
A X = B , |
|
|
1 |
|
−1 |
0 |
|
, |
B = |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
−1 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 −4 |
|
|
||||||||
|
|
|
1 1 −1 |
|
|
|
1 −1 |
3 |
|
|||||||||
2.2.28. |
X A = B , |
|
|
2 |
|
1 |
0 |
|
, |
B = |
|
4 |
3 |
2 |
|
|
||
A = |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
−1 1 |
|
|
|
|
1 −2 5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2.2.29. X A B = C , |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
−1 |
|
4 |
|
|
−2) |
|||||
A = |
|
1 |
, |
B = |
|
|
−7 |
, С = (1 |
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5 |
−6 |
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
2.2.30. |
A X = B , |
|
|
3 |
|
−3 |
2 |
|
, |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
A = |
|
|
B = |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
−5 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −11 .
.
2.3. Find the inverse matrix, if:
|
1 |
3 |
−1 |
||
2.3.1. |
|
0 |
−6 |
−5 |
|
A = |
. |
||||
|
|
1 |
2 |
−2 |
|
|
|
|
|||
|
−1 |
2 |
−2 |
|
|
2.3.3. |
|
−3 |
5 |
−4 |
|
A = |
. |
||||
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
−1 |
−2 |
||
2.3.5. |
|
0 |
−5 |
−4 |
|
A = |
. |
||||
|
|
2 |
−7 |
−9 |
|
|
|
|
|
1 |
5 |
−1 |
||
2.3.2. |
|
−1 |
4 |
|
|
A = |
−3 . |
||||
|
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
−1 |
|||
|
|
2 |
−2 |
1 |
|
2.3.4. |
|
0 |
−5 |
−3 |
|
A = |
. |
||||
|
|
2 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
1 |
−3 |
|
2.3.6. |
|
0 |
−3 |
−2 |
|
A = |
. |
||||
|
|
2 |
−2 |
−4 |
|
|
|
|
38
|
1 |
1 |
−1 |
|||
2.3.7. |
|
0 |
−7 |
−3 |
|
|
A = |
. |
|||||
|
|
3 |
3 |
−4 |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
1 |
|
||
2.3.9. |
|
−3 |
−3 |
3 |
|
|
A = |
. |
|||||
|
|
−1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
−3 |
|||
2.3.11. |
|
4 |
7 |
|
|
|
A = |
−11 . |
|||||
|
|
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
−1 |
|
||
2.3.13. |
|
6 |
1 |
|
|
|
A = |
−1 . |
|||||
|
|
8 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
−1 |
3 |
|
||
2.3.15. |
|
3 |
−6 |
3 |
|
|
A = |
. |
|||||
|
|
1 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
11 |
|||
2.3.17. |
|
4 |
−3 |
−2 |
|
|
A = |
. |
|||||
|
|
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
−2 |
1 |
|
||
2.3.19. |
|
2 |
−3 |
0 |
|
|
A = |
. |
|||||
|
|
2 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
−1 |
7 |
0 |
|
||
2.3.21. |
|
1 |
9 |
3 |
|
|
A = |
. |
|||||
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
−1 |
0 |
|
3 |
||
2.3.23. |
|
3 |
−1 |
9 |
|
|
A = |
. |
|||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
−5 11 |
||||
|
9 |
−2 |
1 |
|
||
2.3.25. |
|
2 |
−5 |
0 |
|
|
A = |
. |
|||||
|
|
4 |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
−1 |
||||
|
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
2.3.8. A = |
|
−1 . |
|||||
|
−2 |
0 |
−2 |
|
|||
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
||
2.3.10. A = |
|
3 |
5 |
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
2 |
−2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
4 |
|
|
||
2.3.12. A = |
|
4 |
7 |
3 |
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
1 |
|
1 |
|||
2.3.14. A = |
|
5 |
8 |
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
−1 |
−7 |
0 |
|
||
|
|
|
|||||
|
1 |
−1 |
|
4 |
|
||
2.3.16. A = |
|
2 |
−3 |
|
4 |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
4 |
−4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
|
3 |
|
||
2.3.18. A = |
|
−5 |
6 |
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
−3 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
−3 |
|||
2.3.20. A = |
|
4 |
−8 |
|
4 |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
5 |
−5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
11 |
|
0 |
||
2.3.22. A = |
|
1 |
13 |
|
|
|
|
|
|
−1 . |
|||||
|
|
1 |
−2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
1 |
2 |
|
|
||
2.3.24. A = |
|
1 |
4 |
0 |
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
0 |
|
1 |
|||
2.3.26. A = |
|
4 |
−13 |
4 |
|
||
|
. |
||||||
|
|
5 |
−3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
39
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.3.27. |
|
|
|
−3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
−10 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.3.29. |
A = |
|
0 |
29 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
−5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.4. Find the rank of matrix. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
−2 |
|
|
1 |
3 |
−1 |
|
1 |
|
|
|||||
2.4.1. |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
3 |
|
−2 |
1 |
|
1 |
|
|
−2 |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
0 |
3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−2 |
|
2 |
1 |
−1 |
−3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
2.4.3. |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
−1 |
|
1 |
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
4 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
1 |
3 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
−1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
2.4.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
1 |
−1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
4 |
5 |
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
1 |
−2 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
−1 |
0 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
2.4.7. |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
−1 |
|
|
2 |
1 |
−1 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
2 |
−1 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
−1 |
|
0 |
1 |
−1 |
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
−2 |
|
1 |
−2 |
1 |
|
−4 |
|
|
|
|||||
2.4.9. |
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
−1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
−1 |
|
4 |
−2 |
1 |
|
−3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
1 |
|
2 |
−3 |
|
|
−5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4.11. |
|
1 |
|
|
−2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
−1 . |
||||
|
|
|
−3 |
|
−1 −2 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
−2 |
1 |
−2 |
|
|
−3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
40
|
2 |
−2 |
13 |
|
||
2.3.28. |
|
0 |
−1 |
|
4 |
|
A = |
|
. |
||||
|
|
2 |
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
2.3.30. |
|
0 |
5 |
1 |
|
|
A = |
. |
|||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 −2 |
1 |
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4.2. |
|
−1 |
2 |
1 |
−1 −2 . |
|
||||
|
|
3 |
0 |
2 |
1 |
−1 |
|
|
||
|
|
3 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
||||||
|
−1 |
−1 |
1 |
−1 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
2.4.4. |
|
2 |
1 |
3 |
1 . |
|||||
|
|
3 |
−1 |
−1 |
2 |
−1 |
|
|||
|
|
4 |
−1 |
−1 |
4 |
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|||||||
|
1 |
1 |
1 |
−1 |
2 |
|
|
|||
|
|
−1 |
1 |
−1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
2.4.6. |
|
. |
|
|||||||
|
|
1 |
−1 |
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
−1 |
2 |
3 |
5 |
|
||||
|
|
−2 |
1 |
−1 |
−2 |
−3 |
|
|
||
2.4.8. |
|
. |
||||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
−1 |
2 |
|
|
||
|
|
2 |
2 |
2 |
0 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
−2 |
2 |
−1 |
4 |
|
|||
|
|
|
3 |
1 |
−1 |
1 |
−2 |
|
|
|
2.4.10. |
|
. |
||||||||
|
|
|
2 |
0 |
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
−1 |
4 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
−1 |
2 |
−1 |
−3 |
|
|||
|
|
|
3 |
2 |
−1 1 |
|
2 |
|
||
2.4.12. |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
−2 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|