127838-229237

Ответ: De = 20,8′′ .

Пример 26. При заданном положении тонкой линзы, ее фокусов и главной оптической оси построить изображение предмета, изображенного на рис. 2.58.

Рис. 2.58

Решение. Из точки A предмета проведем произвольный луч AC (рис. 2.59) до пересечения с плоскостью линзы. Для определения направления, по которому будет распространяться луч после преломления в линзе, параллельно AC проведем вспомогательный луч MN (побочную ось) через оптический центр линзы. Поскольку луч MN проходит через оптический центр, то он не испытывает преломления. Лучи AC и MN – параллельны, поэтому после преломления в линзе они будут пересекаться в точке D , расположенной на задней фокальной плоскости.

Таким образом, луч AC после преломления пройдет через точку D , то есть будет распространяться в направлении CD . При построении изображений необходимо помнить, что любая точка изображения – это точка схождения (пересечения) по крайней мере двух лучей или их продолжений. Второй луч из точки A удобно провести вдоль главной оптической оси линзы OO′ . Этот луч

281

совпадет с OO′ . Таким образом, изображением точки A будет точка пересечения луча CA1 и главной оптической оси системы – точка A1 . Для построения изображения точки B из этой точки

проведем два луча: один, проходящий через оптический центр линзы (луч BE ), второй – параллельно главной оптической оси. Первый луч будет проходить через линзу без преломления, второй после преломления пройдет через задний фокус F2 . Продолжив

эти лучи до пересечения, получим искомую точку B1 – изображение точки B . Соединив точки A1 и B1 , получим A1 B1 – изображение предмета AB .

Рис. 2.59

Следует отметить, что для построения изображений точек A и B вместо одного из первых двух лучей можно также использовать лучи, проходящие через фокус линзы. На рис. 2.60 показано использование этого способа для построения изображения точки A в линзе.

Рис. 2.60

282

Пример 27. На рис. 2.61 показаны положение главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы и ход проходящего сквозь нее луча ABC . Найдите построением ход произвольного луча DE за линзой.

Рис. 2.61

Решение. Через оптической центр проведем луч MN параллельный AB (рис. 2.62). Продолжение луча BC с MN будет иметь точку пересечения K , расположенную на передней фокальной плоскости линзы. Поэтому плоскость, проведенная через K перпендикулярно главной оптической оси, будет передней фокальной плоскостью, а точка ее пересечения с осью – передним фокусом F1 .

Рис. 2.62

После нахождения переднего фокуса дальнейшие построения производятся аналогично предыдущему примеру: через оптический центр проводим луч M ′N ′ , параллельный лучу DE . Точка K ′ пересечения луча M ′N ′ с фокальной плоскостью будет также

283

принадлежать продолжению луча EF , являющегося результатом преломления DE . На рис. 2.62 лучи показаны сплошными линиями; вспомогательные лучи, а также продолжения лучей после их преломления, проведенные в обратную сторону, показаны штриховыми линиями.

Пример 28. С помощью тонкой собирающей стеклянной линзы с показателем преломления 1,50 получено действительное изображение предмета на расстоянии 10 см от линзы. После того, как предмет и линзу погрузили в воду, не изменяя расстояния между ними, изображение получилось на расстоянии 60 см от линзы. Определить фокусное расстояние линзы.

Дано: n = 1,50 ,

a2 =10 см, a′2 = 60 см.

Найти: f1 .

Решение. Пусть f1 – фокусное расстояние линзы в воздухе, f2 – фокусное расстояние линзы в воде. Тогда, согласно формуле

где R1 , R2 – радиусы кривизны преломляющих поверхностей линзы, n – показатель преломления материала, из которого изготовлена линза относительно воздуха ( n =1,5 ), nв – показатель преломления воды ( nв =1,33 ).

Из соотношений (1) и (2), исключая множитель, содержащий неизвестные величины R1 и R2 , получим:

284

С другой стороны, для изображений в воздухе и в воде можем записать формулы тонкой линзы [21.3]:

После преобразований выражение (7) примет окончательный вид:

Подставляя числовые значения, получим:

f1 = 10×(60×1,50)((1,33 -1)) = 8,93 см. 1,33 60 -10 1,50 -1

Ответ: f1 = 8,93 см.

Пример 29. Оптическая система представляет собой тонкую плоско-выпуклую стеклянную линзу, выпуклая поверхность которой посеребрена. Определить главное фокусное расстояние такой системы, если радиус кривизны сферической поверхности равен

60 см.

285

Дано:

R = 60 см, n = 1,50 .

Найти: f .

Решение. Так как лучи, падающие на оптическую систему, последовательно проходят через линзу, отражаются от зеркала и затем снова проходят через линзу, то данную оптическую систему можно рассматривать как центрированную, состоящую из сложенных вплотную двух плосковыпуклых линз и сферического зеркала. Фокусное расстояние может быть найдено из соотноше-

ния [21.4]:

где Φ – оптическая сила системы.

Как известно, оптическая сила системы линз, сложенных вплотную, равна алгебраической сумме оптических сил отдельных компонентов. В нашем случае это может быть отражено соотно-

где первое и третье слагаемые являются оптическими силами линз, второе – оптическая сила сферического вогнутого зеркала. В

Ответ: f = 20 см.

Пример 30. Фокусное расстояние объектива микроскопа 4,9 мм, а окуляра – 5,0 см. Предмет помещается на расстоянии

286

5,0 мм от объектива и рассматривается в окуляр наблюдателем с нормальным зрением. Определить длину тубуса микроскопа и его увеличение.

Дано:

fоб = 4,9 мм = 4,9 ×10−3 м, fок = 5,0 см = 5,0×10−2 м, a1 = -5,0 мм = -5,0 ×10−3 *м.

Найти: l , Γ .

Решение. Основными оптическими элементами микроскопа являются объектив и окуляр. Объектив направляется в сторону наблюдаемого предмета (объекта), окуляр располагается в непосредственной близости от глаза. Для всех построений, чтобы не загромождать рисунок, используется только луч, проведенный из крайней точки предмета через оптический центр соответствующей линзы. Положение предмета или изображения выбирается на основании условия задачи (или произвольно) и в последующем уточняется при выполнении вычислений.

Ход лучей в микроскопе приведен на рис. 2.63. На рисунке: Fоб и Fок – точки, обозначающие положения фокусов объектива и

окуляра соответственно, a1 – расстояние от предмета AB до объектива, a2 – расстояние от объектива до первичного изображения предмета A1 B1 , a1′ – расстояние от окуляра до A1 B1 , L0 – расстояние от окуляра до вторичного мнимого изображения предмета A2 B2 , рассматриваемого глазом.

При решении задач на расчет оптических систем, состоящих из нескольких оптических элементов (линз, зеркал), изображение, даваемое предыдущим элементом, служит предметом для последующих элементов. Если предмет рассматривается в конечном

* В данной и последующих задачах (примеры 31, 32) числовые значения расстояний a1 , a2 приведены с учетом правила знаков (смотри главу 21

«Основные понятия и законы геометрической оптики»)

287

итоге визуально человеком с нормальным зрением, то изображение, даваемое окуляром, должно быть мнимым и находиться от него на расстоянии наилучшего зрения ( L0 ). Для человека с нор-

мальным зрением L0 принимается равным 25 см. Для получения мнимого изображения предмета на таком расстоянии необходимо, чтобы изображение A′B′ располагалось между фокусом окуляра и окуляром. Это обычно достигается соответствующим изменением расстояния между объективом и окуляром.

Рис. 2.63

Из рисунка видно, что длина тубуса микроскопа равна:

l = a2 + a1¢ . (1)

Величины a1′ и a2 могут быть определены на основании формулы тонкой линзы [21.3]:

- 1 + 1 = 1 . a1 а2 fоб

Выражая a2 , получим:

Подставляя числовые значения, получим:

С помощью формулы тонкой линзы, записанной для окуляра, определим величину a1′ :

Поскольку с учетом правила знаков a′2 = -L0 , то после преобразования выражения (3) получим:

a1¢ = fок (- L0 ) . L0 + fок

Подставляя числовые значения, будем иметь:

a1¢ = (0,050 ×)(- 0,25) = -0,042 м. - 0,25 + 0,050

С учетом выражения (1) длина тубуса равна: l = 0,26 + - 0,042 = 0,30 м.

По определению, увеличение микроскопа равно произведению увеличений объектива и окуляра:

окуляра.

Подставляя числовые значения в выражение (4), находим значение увеличения микроскопа

Знак «–» означает, что конечное изображение является перевернутым относительно исходного.

Ответ: l = 0,30 м, Γ = 310 .

Пример 31. Человек с нормальным зрением рассматривает Луну в зрительную трубу, имеющую объектив с фокусным расстоянием 40 см и окуляр с фокусным расстоянием 4,0 см. Какую минимальную длину имеет зрительная труба? На какое расстояние необходимо переместить окуляр, чтобы получить изображение Луны на экране, расположенном на расстоянии 50 см от трубы?

289

Определить также линейный размер полученного изображения, если угловой размер Луны a Л = 30′ .

Дано:

fоб = 40 см,

fок = 4,0 см, l = 50 см,

aЛ = 30¢ = 8,7 ×10−3 рад.

Найти: L , l , A′′B′′ .

Решение. В простейшем случае зрительная труба содержит объектив и окуляр. Так же, как и в микроскопе, в зрительной трубе объектив направляется в сторону наблюдаемого предмета (объекта), окуляр располагается в непосредственной близости от глаза.

В нашем случае расстояние от предмета до объектива зрительной трубы много больше фокусного a1 >> fоб , поэтому можно с высокой точностью считать, что a2 » fоб . Это означает, что

уменьшенное перевернутое изображение предмета будет находиться в фокальной плоскости объектива. Именно этот случай, соответствующий первой части задачи, показан на рис. 2.64 а.

Исходный предмет (Луна) на рисунке показан в виде стрелки AB , расположенной перпендикулярно главной оптической оси; A′B′ – изображение Луны, полученное с помощью объектива, A′′B′′ – изображение, полученное после прохождения света через окуляр. Это изображение и рассматривается глазом.

Из рис. 2.64 а следует, что минимальная длина зрительной трубы L будет равна расстоянию между объективом и окуляром:

необходимо рассчитать а1′ .

На основании формулы тонкой линзы, записанной для объектива, имеем:

290