Дифференциальные уравнения 1

Из выполнения условий Липшица вытекает существование такого числа L > 0, что при всех (x, y1) G, (x, y2) G, λ

[λ0 − r, λ + r]

Возьмем достаточно малое h > 0 и при |x − x0| 6 h, ||λ − λ0|| 6 r рассмотрим последовательные приближения

Как и при доказательстве теоремы 18.1 устанавливаем, что все последовательные приближения yi(x, λ) непрерывны при |x − x0| 6 h, ||λ − λ0|| 6 r и их графики полностью расположены в множестве

(x, y) Gpq, ||λ − λ0|| 6 r.

Используя условие Липшица (20.3), методом математической индукции для приближений (20.4) получаем оценку вида

|yi+1(x, λ) − yi(x, λ)| 6 MLi |x − x0|i+1 , i = 0, 1, 2, . . .

(i + 1)!

Далее на основании теоремы Вейерштрасса получаем, что при |x − x0| 6 h, ||λ − λ0|| 6 r

yi(x, λ) φ(x, λ), i → +∞.

Поэтому вектор–функция y = φ(x, λ) непрерывна при |x − x0| 6 h, ||λ − λ0|| 6 r. И, наконец, повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 18.1, получаем, что y = φ(x, λ) при |x − x0| 6 h, ||λ − λ0|| 6 r является единственным решением системы (20.2), а, значит, и задачи Коши (20.1). Теорема 20.1 доказана.

71

Задача Коши (20.9) называется невозмущенной. Она проще задачи Коши (20.8). Пусть нами найдено ее решение y = φ(x), x I, x0 I. При выполнении условий теоремы 20.3 решение y = φ(x, λ) возмущенной задачи Коши (20.8) можно разложить по формуле Тейлора при λ = 0 с остаточным членом в форме Пеано:

В силу теоремы 20.1 имеем, что φ(x, 0) ≡ φ(x), а в силу теоре-

Таким образом, формула (20.10) дает асимптотическое разложение при λ → 0 решения регулярно возмущенной задачи Коши (20.8). Если же вектор–функция f(x, y, λ) имеет непрерывные производные по y, λ высших порядков, то разложение (20.10) можно уточнить.

Отметим, что метод малого параметра применяется не только для решения задачи Коши, но и для решения других задач: например, для получения периодических решений нормальных дифференциальных систем.

Теоремы 18.1 и 20.2 дают возможность ввести понятие общего решения дифференциальной системы (16.4) (аналогично определению 4.3) и исследовать некоторые его аналитические свойства.

74

§ 21. Общий интеграл.

Определение 21.1. Гладкую функцию H(x, y) : G → R

будем называть первым интегралом дифференциальной системы (16.4), если для любого ее решения φ(x) :< a, b >→ Rn имеет место тождество H(x, φ(x)) ≡ const, x < a, b >.

Уравнение H(x, y) = C определяет множество Γ в пространстве Oxy1 . . . yn. Из определения 21.1 следует, что интегральные кривые, проходящие через точки множества Γ, принадлежат Γ. Множество Γ является n–мерной поверхностью (гиперповерхностью), образованной интегральными кривыми. Такие поверхности будем называть интегральными.

Пусть H(x, y) есть гладкая на области G функция. На множестве таких функций определим линейный оператор D:

со значениями в множестве непрерывных на G функций. Функцию DH будем называть производной функции H в силу системы (16.4). Данное название объясняется формулой

где φ(x) есть любое решение системы (16.4). Для доказательства формулы (21.2) достаточно продифференцировать H(x, φ(x)) по x. Из (21.2) вытекает утверждение.

Теорема 21.1. Для того, чтобы гладкая функция H : G → R была первым интегралом системы (16.4), необходимо и достаточно, чтобы

DH = 0, (x, y) G.

Определение 21.2. Первые интегралы H1, . . . , Hm : G0 →

75

R будем называть независимыми, если ранг

rankD(H1, . . . , Hm) = m Dy

в каждой точке области G0.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 21.2. Пусть матрица Df(x, y) непрерывна на

Dy

области G. Тогда:

1)в некоторой окрестности точки (x0, y0) существуют n независимых первых интегралов системы (16.4);

2)если H1, . . . , Hn есть независимые первые интегралы системы (16.4), определенные в некоторой окрестности точки (x0, y0) G, то система

(H1(x, y), . . . , Hn(x, y)) = (H1(x0, y0), . . . , Hn(x0, y0)) (21.3)

имеет единственное решение y = φ(x), являющееся решением задачи Коши (16.4), (16.5).

Определение 21.3. Если H1, . . . , Hn : G0 → R есть независимые первые интегралы, то соотношение

H1(x, y) = C1, . . . , Hn(x, y) = Cn

будем называть общим интегралом системы (16.4) на области G0.

Согласно утверждению 2 теоремы 21.2 общий интеграл определяет как неявную функцию любое решение системы (16.4) на области G0. На основании гладкого аналога теоремы 20.2 приходим к выводу, что для получения общего интеграла достаточно разрешить формулу общего решения относительно произвольных постоянных.

Теорема 21.3 (об интегрируемой комбинации). Пусть выражение

φ1dy1 + . . . + φndyn

76

является полным дифференциалом некоторой функции Φ и пусть

φ1f1 + . . . + φnfn = 0, (x, y) G.

Тогда Φ : G → R есть первый интеграл системы (16.4).

Доказательство. Так как

dΦ = φ1dy1 + . . . + φndyn,

то

∂Φ

∂yk = φk, k = 1, n.

Поэтому

Теперь на основании теоремы 21.1 приходим к нашему утверждению.

Рассмотрим теперь автономную систему

будем называть системой в симметричной форме. Отметим, что система (21.5) описывает геометрические свойства решений системы (21.4). Каждое дифференциальное уравне-

ние

dyk = dx, k = 1, n, fk(y)

77

выявляет характер параметризации интегральных кривых. Для представления неавтономной системы (16.4) в симметрической форме необходимо сначала перейти к соответствующей ей автономной системе (как мы указывали ранее).

Для нахождения интегрируемых комбинаций системы в симметрической форме (21.5) часто используют основные свойства производных пропорций:

Пример 21.1. В теории движения твердого тела важную роль играет дифференциальная система

Ее интегрируемые комбинации

2Axdx + 2Bydy + 2Czdz, 2A2xdx + 2B2ydy + 2C2zdz,

задают два первых интеграла

Ax2 + By2 + Cz2

и

A2x2 + B2y2 + C2z2.

78

§ 22. Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными.

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с частными производными

будем называть уравнение

= b(x1, . . . , xn),

где ai(x1, . . . , xn), i = 1, n, b(x1, . . . , xn) есть заданные функции n независимых переменных x1, . . . , xn, гладкие на некоторой области D Rn, u есть искомая функция.

Если в (22.1) функция b(x1, . . . , xn) ≡ 0 на области D, то будем иметь линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка с частными производными

соответствующее (22.1).

Решением дифференциальных уравнений (22.1) и (22.2) на области D будем называть гладкую на D функцию, которая обращает эти уравнения в тождества на D.

Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение (22.2) и поставим ему в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Так как

dxi

dt = ai(x1, . . . , xn), i = 1, n,

79

то систему (22.3) представим в симметрической форме

Систему (22.3) будем называть системой уравнений характеристик для однородного дифференциального уравнения (22.2), а ее фазовые траектории – характеристиками.

Теорема 22.1. Функция u(x1, . . . , xn) является решением дифференциального уравнения (22.2) на области D тогда и только тогда, когда она есть первый интеграл системы уравнений характеристик (22.3).

Доказательство. Необходимость. Пусть функция u(x1,

. . . , xn) является решением дифференциального уравнения (22.2) на области D. Тогда ее производная в силу системы (22.3)

Это означает, что функция u является первым интегралом системы (22.3) на области D.

Достаточность. Пусть функция u является первым интегралом системы (22.3) на области D. Тогда имеет место соотношение (22.5), которое означает, что функция u является решением дифференциального уравнения (22.2) на области D. Теорема 22.1 доказана.

Пусть Hj(x1, . . . , xn), j = 1, n − 1, есть независимые на области D первые интегралы системы (22.3). Применяя теорему 21.2 к системе (22.4), имеем следующее утверждение.

Теорема 22.2. Любое решение однородного дифференци-

80