Дифференциальные уравнения 1

дифференциального уравнения (12.2). На практике его можно найти, используя какие-либо из особенностей задания функций P и Q. Иногда его ищут в виде µ = µ(x) или в виде µ = µ(y). Тогда дифференциальное уравнение (12.2) для искомой функции µ упрощается.

Пример 12.1. Решите дифференциальное уравнение

2(x − y4)dy = ydx.

Решение. В данном случае P = y, Q = 2(y4 − x), ∂P∂y = 1 ≠ ∂Q∂x = −1. Нетрудно видеть, что y = 0 является решением нашего дифференциального уравнения. Пусть теперь y ≠ 0. Будем искать интегрирующий множитель в виде µ = µ(y). Из (12.1) имеем, что

−y∂µ∂y = 3µ.

Решением данного дифференциального уравнения служит, например, функция

1

µ = y3 .

После умножения исходного дифференциального уравнения

1

на y3 получаем уравнение в полных дифференциалах

()

Из первого уравнения имеем, что

x

u(x, y) = y2 + φ(y).

41

Подставляя u(x, y) во второе уравнение, получаем, что

φ′(y) = 2y,

откуда

φ(y) = y2 − C.

А поэтому все решения исходного дифференциального уравнения задаются формулами

yx2 + y2 = C, y = 0.

В некоторых случаях для решения дифференциальных уравнений (11.1) можно применять метод выделения полных диф-

ференциалов, используя известные формулы:

( )

и т.д.

Пример 12.2. Решите дифференциальное уравнение

ydx − (4x2y + x)dy = 0.

Решение. Нетрудно видеть, что x = 0 является решением данного дифференциального уравнения. Пусть x ≠ 0. Деля исходное дифференциальное уравнение на −x2, имеем, что

Последнее дифференциальное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Оно имеет общее решение

xy + 2y2 = C.

42

Принимая во внимание случай x = 0, приходим к выводу, что все решения исходного дифференциального уравнения задаются формулами

xy + 2y2 = C, x = 0.

Если в дифференциальном уравнении (11.1) можно выделить полный дифференциал некоторой функции φ(x, y), то иногда данное дифференциальное уравнение упрощается, если от переменных (x, y) перейти к переменным (x, z) или

(z, y), где z = φ(x, y).

Пример 12.3. Решите дифференциальное уравнение

ydx − (x3y + x)dy = 0.

Решение. Нетрудно видеть, что x = 0 является решением данного дифференциального уравнения. Пусть x ≠ 0. Деля

исходное дифференциальное уравнение на −x2, имеем, что

( )

Переходя к переменным z = xy и y, получаем дифференциальное уравнение (У–10)

dz + y2 dy = 0, z

которое нетрудно решить (как являющееся дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными) (У–11).

43

§ 13. Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной, имеет вид

где F есть заданная непрерывная функция в некоторой области G R3с прямоугольными декартовыми координатами (x, y, p), x есть аргумент, y = y(x) есть неизвестная функция.

Определение 13.1. Вектор-функцию x = φ(t), y = ψ(t), t I, где φ и ψ есть непрерывно дифференцируемые на I функции, причем φ′(t) ≠ 0, t I, будем называть параметрическим решением дифференциального уравнения

(13.1), если

Из этого решения при x = t вытекает определение явного решения y = ψ(x), x I, дифференциального уравнения (13.1).

Интегральной кривой дифференциального уравнения (13.1) будем называть кривую на плоскости (x, y), описываемую кривой x = φ(t), y = ψ(t), t I. Из определения параметрического решения вытекает, что интегральная кривая дифференциального уравнения (13.1) является гладкой кривой.

Для решения дифференциального уравнения (13.1) можно попытаться разрешить его относительно y′. В этом случае получается одно или несколько уравнений вида y′ = f(x, y), к которым можно попытаться применить исследованные нами методы интегрирования.

44

В общем методе для интегрирования дифференциального уравнения (13.1) применяется метод введения параметра, который позволяет свести решение дифференциального уравнения (13.1) к решению некоторого дифференциального уравнения первого порядка в симметричной форме.

Положим y′ = p и рассмотрим смешанную систему уравне-

ний {

F (x, y, p) = 0, dy = pdx.

Покажем, что дифференциальное уравнение (13.1) эквивалентно системе (13.2), т.е. каждое решение дифференциального уравнения (13.1) определяет решение системы (13.2),

dy(t) ≡ p(t)dx(t) и F (φ(t), ψ(t), p(t)) ≡ 0 на I, т.е. функции φ(t), ψ(t), p(t), удовлетворяют системе (13.2) при всех t I. Обратно, если φ(t), ψ(t), p(t), удовлетворяют при t I системе (13.2), то x = φ(t), y = ψ(t) при t I определяют параметрическое решение дифференциального уравнения (13.1), так как из второго уравнения системы (13.2) находим,

что p(t) = ψ′(t), а из первого уравнения этой системы – что

( φ′(t) )

ψ′(t)

F φ(t), ψ(t), φ′(t) ≡ 0 на I.

В дальнейшем будем полагать, что уравнение F (x, y, p) = 0 определяет на R3 такую гладкую поверхность S, для которой известно параметрическое представление. Это означает, что существуют такие непрерывно дифференцируемые функции x = φ(u, v), y = ψ(u, v), p = χ(u, v), что на некоторой обла-

45

сти Ω R2 сумма квадратов якобианов положительна:

и, кроме того,

F (φ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)) ≡ 0, (u, v) Ω.

Далее в системе (13.2) перейдем от переменных x, y, p, к переменным u, v по заданным формулам. Первое уравнение системы (13.2) удовлетворяется тождественно на области Ω. Второе уравнение этой системы дает дифференциальное

Переход от дифференциального уравнения (13.1) к дифференциальному уравнению (13.3) называется общим методом введения параметров. В результате мы получили дифференциальное уравнение (13.3) в симметрической форме, некоторые методы решения которого мы рассмотрели ранее. Если, например, множество решений дифференциального уравнения (13.3) задается формулой v = g(u, C), где C есть произвольная постоянная, то функции x = φ(u, g(u, C)), y = ψ(u, g(u, C)), p = χ(u, g(u, C)), удовлетворяют системе (13.2). Поэтому в силу эквивалентности дифференциального уравнения (13.1) и системы (13.2), функции x = φ(u, g(u, C)), y = ψ(u, g(u, C)), задают параметрические решения дифференциального уравнения (13.1).

46

Рассмотрим теперь те случаи дифференциального уравнения (13.1), когда его можно разрешить относительно y или x (они являются наиболее важными для практики).

Пусть y = f(x, y′) есть решение дифференциального уравнения (13.1) относительно y. В этом случае система (13.2)

y = f(x, p), dy = pdx.

Полагая, что u = x, v = p, получаем, что дифференциальное уравнение (13.3) имеет вид

()

Если p = ω(x, C), где C есть произвольная постоянная, задает решения дифференциального уравнения (13.4), то y = f(x, ω(x, C)) есть решения дифференциального уравнения y = f(x, y′).

Пусть теперь x = g(y, y′) есть решение дифференциального уравнения (13.1) относительно x. В этом случае система (13.2)

x = g(y, p), dy = pdx.

Полагая, что u = y, v = p, имеем, что дифференциальное уравнение (13.3) имеет вид

()

Если p = ω(y, C), где C есть произвольная постоянная, задает решения дифференциального уравнения (13.5), то формула x = g(y, ω(y, C)) задает решения дифференциального уравнения x = g(y, y′).

47

Переход от дифференциального уравнения y = f(x, y′) к дифференциальному уравнению (13.4) и переход от дифференциального уравнения x = g(y, y′) к дифференциальному уравнению (13.5) называют методом введения параметра.

48

есть частное решение уравнения Лагранжа.

Уравнением Клеро будем называть дифференциальное уравнение

где b(p) есть заданная непрерывно дифференцируемая функция по своему аргументу на некотором промежутке.

Полагая, как и в предыдущем случае, y′ = p, получаем дифференциальное уравнение (У–12)

Отсюда приходим к выводу, что либо dp = 0, либо x = −b′(p). Если dp = 0, то p = C и решениями уравнения Клеро (14.3)

будут

y = Cx + b(C).

Если же x = −b′(p), то равенства

x = −b′(p), y = −pb′(p) + b(p)

определяют параметрическое решение уравнения Клеро. Замечание 14.1. При решении дифференциального уравнения (14.1) возможно появление составных решений.

Пример 14.1. Решите дифференциальное уравнение

y′(4x − y′) = 4(2y − x2).

Решение. Разрешив уравнение относительно y, перей–

дем к эквивалентной системе, положив y′ = p (У–13)

{

Найдя из первого уравнения dy и подставив его во второе уравнение, получаем

2(2x − p)(2dx + p) = 0.

50