Дифференциальные уравнения 1

Если p = 2x, то из первого уравнения системы находим решение y = x2 исходного уравнения.

Если же p = −2dx, то p = C − 2x и подстановка этого p в первое уравнение системы дает множество решений

y = Cx − x2 − C2 .

8

Кроме указанного множества решений возможны и составные решения.

51

§ 15. Огибающие и C–дискриминантные кривые.

Из геометрического смысла дифференциального уравнения (1.1) вытекает, что его интегральная кривая в каждой своей точке имеет касательную с направлением векторного поля, порожденного этим уравнением. Это означает, что все интегральные кривые (если они существуют), проходящие через данную точку, должны касаться друг друга.

Определение 15.1. Решение дифференциального уравнения (13.1) будем называть особым, если в каждой его точке нарушается единственность решения.

Это означает, что через каждую точку решения, кроме этого решения, проходит и другое решение (другая интегральная кривая).

Определение 15.2. График особого решения дифференциального уравнения (13.1) будем называть особой интегральной кривой этого уравнения.

Геометрически особое решение дифференциального уравнения есть огибающая L семейства интегральных кривых данного уравнения, определяемого его общим интегралом

Φ(x, y, C) = 0.

Другими словами, огибающей линией L семейства кривых Φ(x, y, C) = 0 называется линия, которая в каждой своей точке касается какой-нибудь из кривых семейства, причем в различных точках она касается разных кривых этого семейства (рис. 15.1).

52

r

Рис. 15.1.

Пусть L есть огибающая семейства кривых Φ(x, y, C) = 0, заданная параметрически в виде x = x(t), y = y(t), t I.

огибающей в данной точке (x, y), а, значит, и по касательной к кривой семейства Φ(x, y, C) = 0, проходящей через эту точку. Пусть точка (x, y) L принадлежит одновременно и кривой семейства, для которой постоянная C = C0. Тогда

При изменении параметра t точка (x, y) огибающей перемещается по ней, переходя с одной кривой семейства Φ(x, y, C) = 0 на другую, т.е. при такой смене кривых постоянная C в общем интеграле дифференциального уравнения является функцией C = C(t). Поэтому вдоль огибающей выполнено равенство

Φ′(x(t), y(t), C(t)) = 0,

откуда

∂∂xΦx′(t) + ∂∂yΦy′(t) + ∂C∂Φ C′(t) = 0.

53

Отсюда с учетом (15.1) имеем ∂C∂Φ = 0.

Таким образом, если семейство кривых Φ(x, y, C) = 0 имеет

Определение 15.3. Кривую, удовлетворяющую системе

(15.2), будем называть C–дискриминантной кривой. Условие (15.2) является необходимым условием существо-

вания огибающей семейства Φ(x, y, C) = 0, т.е. если это семейство имеет огибающую, то ее уравнение задается системой (15.2). Однако если решить эту систему, то ее решение не обязательно доставляет огибающую.

Пример 15.1. Найдите особые решения дифференциаль-

зная его общий интеграл

x2 = C(y − C).

Решение. Сначала найдем C–дискриминантную кривую. Имеем:

C(y − C) − x2 = 0, y − 2C = 0, C = −y2.

Подставив данное значение C в общий интеграл дифференциального уравнения (15.3), получаем (У–14), что

y = ±2x.

Таким образом, C–дискриминантными кривыми являются две прямые: y1 = 2x и y2 = −2x. Проверим, являются ли эти функции особыми решениями дифференциального уравнения (15.3), т.е. огибающими семейства кривых C(y − C) = x2.

54

Для этого сначала проверим соотношения

y = y1, y′ = y1′ ,

где

y = x2 + C C

есть кривая рассматриваемого семейства. Имеем:

x2

y = y1 C + C = 2x C = x.

Далее имеем:

y′ = 2Cx, y1′ = 2.

Отсюда при C = x получаем y′ = y1′ , т.е. в самом деле прямая y1 = 2x есть огибающая рассматриваемого семейства. Аналогично проверяем, что y2 = −2x также есть огибающая.

55

где x есть аргумент, y1(x), . . . , yn(x), есть неизвестные функции, f1, . . . , fn, – непрерывные функции своих аргументов на области G Rn+1, будем называть нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n.

Для сокращения записи системы (16.3) удобно переходить к векторным обозначениям. Пусть y = (y1, . . . , yn)T , f(x, y) = (f1(x, y), . . . , fn(x, y))T , T есть операция транспонирования матриц (в том числе и векторов). Тогда систему (16.3) можно

Определение 16.5. Вектор–функцию y = φ(x), определенную на промежутке I R, будем называть решением системы (16.4), если:

1)вектор–функция y = φ(x) имеет непрерывную производную φ′(x) на промежутке I,

2)(x, φ(x)) G, x I,

3)φ′(x) = f(x, φ(x)), x I.

Определение 16.6. График решения y = φ(x), x I, будем называть интегральной кривой системы (16.4).

Определение 16.7. Задачу нахождения решения y = φ(x), системы (16.4), удовлетворяющего начальному условию

будем называть задачей Коши. При этом точку (x0, y0) будем называть начальной точкой, а ее координаты x0 и y0 – начальными данными.

Геометрический смысл решения задачи Коши (16.4), (16.5) состоит в том, что ищется интегральная кривая системы (16.4) в области G, проходящая через заданную точку (x0, y0) G.

57

Определение 16.8. Систему уравнений

x0

где (x0, y0) G, вектор–функция f непрерывна на G, будем называть системой интегральных уравнений.

Определение 16.9. Вектор–функцию y = φ(x), определенную на промежутке I R, будем называть решением системы (16.6), если:

1)вектор–функция y = φ(x) имеет непрерывную производную на промежутке I,

2)(x, φ(x)) G, x I,

∫x

3) φ(x) = y0 + f(t, φ(t))dt, x I.

x0

Теорема 16.1. Вектор–функция y = φ(x) есть решение задачи Коши (16.4), (16.5) на промежутке I тогда и только тогда, когда y = φ(x) есть решение на I системы интегральных уравнений (16.6).

Доказательство. Необходимость. Пусть y = φ(x) есть решение на промежутке I задачи Коши (16.4), (16.5). Тогда интегрирование от x0 до x тождества

φ′(x) ≡ f(x, φ(x))

на I с учетом начального условия (16.5) дает тождество из третьего пункта определения 16.9. Поэтому y = φ(x), x I, есть решение системы (16.6).

Достаточность. Пусть функция y = φ(x) есть решение системы (16.6) на промежутке I. Из курса анализа известно, что можно дифференцировать тождество из третьего пункта определения 16.9 (У–16). Полученное в результате дифференцирования выражение показывает, что y = φ(x) есть решение системы (16.4). Полагая в исходном тождестве x = x0,

58

приходим к выводу, что функция y = φ(x) удовлетворяет начальному условию (16.5). Теорема 16.1 доказана.

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение (16.2). Выполнив замену

от данного уравнения перейдем к нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений n–го порядка

Это показывает, что многие свойства дифференциального уравнения (16.2) можно исследовать на основании свойств дифференциальных систем виде (16.4).

Определение 16.10. Систему (16.4) будем называть автономной, если вектор–функция f(x, y) не зависит от x. В противном случае систему (16.4) будем называть неавтономной.

59

§ 17. Принцип сжимающих отображений.

Определение 17.1. Множество A с введенным на нем отображением ρ : A × A → R будем называть метрическим пространством, если отображение ρ удовлетворяет следующим условиям (аксиомам):

1)ρ(a, b) однозначно, a A, b A;

2)ρ(a, b) > 0, a A, b A;

3)ρ(a, b) = 0 a = b, a A, b A;

4)ρ(a, b) = ρ(b, a), a A, b A;

5)ρ(a, b) 6 ρ(a, c) + ρ(b, c), a A, b A, c A.

При этом отображение ρ в метрическом пространстве A будем называть расстоянием (метрикой) на A, а элементы множества A будем называть точками.

Пример 17.1. Множество непрерывных на [a, b] функций с метрикой

x(t) C([a, b]), y(t) C([a, b]),

есть метрическое пространство C([a, b]) (У–17). Оно называется пространством непрерывных на [a, b] функций.

Определение 17.2. Будем говорить, что последовательность {an}+n=1∞ точек an, n N, метрического пространства A с метрикой ρ сходится к точке a A, если

ε > 0, N = N(ε) : n > N ρ(an, a) < ε. (17.2)

При этом при выполнении условий данного определения точку a метрического пространства A будем называть предельной точкой последовательности {an}+n=1∞ и записывать

lim an = a.

n→+∞

Определение 17.3. Последовательность {an}+n=1∞ будем называть фундаментальной (последовательностью Ко-

60