Дифференциальные уравнения 1
.pdf
Его интегрирование дает выражение |
|
|
|
||
√ |
|
|
√ |
|
|
x + C = z − 2 ln(2 + |
|
z), |
|||
где C есть произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной y, получим формулу всех решений исходного диффе-
ренциального уравнения
√ √
x + C = 4x + 2y − 1 − 2 ln(2 + 4x + 2y − 1).
Из начального условия находим, что
C = 1 − 2 ln 3.
Поэтому решение исходной задачи Коши задается формулой
√ √
x + 1 − 2 ln 3 = 4x + 2y − 1 − 2 ln(2 + 4x + 2y − 1).
21
§ 7. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение (1.1) будем называть однородным дифференциальным уравнением первого по-
рядка, если при x ̸= 0 ее можно записать в виде |
|
||
|
y |
|
|
y′ = f( |
|
), |
(7.1) |
x |
|||
где f(z) есть заданная непрерывная на некотором промежутке своего аргумента z функция.
Непосредственными вычислениями получаем (У–5), что дифференциальное уравнение (7.1) заменой y = xu, где u = u(x) есть новая неизвестная функция, сводится к эквивалентному дифференциальному уравнению
xu′ + u = f(u). |
(7.2) |
При решении дифференциального уравнения (7.2) будем отдельно рассматривать следующие три случая: 1) f(u) ̸≡0;
2)f(u) ≡ 0; 3) f(uk) = uk для некоторых точек uk.
Впервом случае дифференциальное уравнение (7.2) эквивалентно дифференциальному уравнению с разделенными переменными (У–6)
du |
dx |
||
|
= |
|
. |
f(u) − u |
x |
||
В втором случае дифференциальное уравнение (7.2) эквивалентно дифференциальному уравнению
xu′ = 0.
В третьем случае непосредственной проверкой убеждаемся, что u(x) = uk есть частные решения дифференциального уравнения (7.2).
22
Пример 7.1. При x > 0, x + y > 0, решите дифференци-
альное уравнение
x2 + y2 xy′ = x + y .
Решение. Данное дифференциальное уравнение можно записать в виде
|
|
y |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
1 + ( |
|
|
) |
|
|
|
y′ = |
x |
|
. |
||||
|
|
y |
|
||||
|
1 + ( |
|
) |
|
|||
|
x |
|
|||||
Поэтому оно является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. После замены y = ux получаем, что
1 + u2 xu′ + u = 1 + u ,
а, значит,
1 − u xu′ = 1 + u.
Проверкой убеждаемся, что u = 1 есть частное решение данного дифференциального уравнения. Если же u ≠ 1, то последнее дифференциальное уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению
dx 1 + u
x = 1 − udu,
решения которого задаются формулой
C + ln |x| = − ln (u − 1)2 − u, |
|||||
где C есть произвольная постоянная. Обратная замена дает |
|||||
общий интеграл |
|
|
|
||
|
y |
2 |
y |
||
|
|
||||
C + ln |x| = − ln ( |
|
− 1) |
− ( |
|
). |
x |
x |
||||
23
С учетом условия x > 0 получаем, что
( )2 ( )
|
y |
|
y |
||
C + ln x = − ln |
|
− 1 − |
|
. |
|
x |
x |
||||
Объединяя оба случая (u = 1 |
и u ̸= 1), получаем все |
||||
множество решений |
исходного дифференциального уравне- |
||||||
ния |
2 |
|
|
|
|
||
|
y |
y |
|
||||
|
|
|
|
||||
ln x + ln ( |
|
− 1) + ( |
|
) = C, x − y = 0. |
|
||
x |
x |
|
|||||
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение |
|
||||||
|
|
|
a1x + b1y + c1 |
|
|||
y′ = f( |
|
), |
(7.3) |
||||
a2x + b2y + c2 |
|||||||
где f(z) есть заданная непрерывная на некотором промежутке своего аргумента z функция, вещественные числа a1, b1, c1, a2, b2, c2, таковы, что |a1| + |b1| > 0, |a2| + |b2| > 0.
Рассмотрим на плоскости две прямые: a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0. Если эти прямые имеют точку пересечения (x0, y0), то замена x = ξ + x0, y = η + y0 приводит дифференциальное уравнение (7.3) к однородному дифференциальному уравнению
()
dξ
dη = f a2ξ + b2η .
Если же эти прямые параллельны, то найдется такое вещественное число k ≠ 0, что a2x + b2y ≡ k(a1x + b1y). Поэтому дифференциальное уравнение (7.3) может быть представлено в виде ( )
y′ = a1x + b1y + c1 k(a1x + b1y) + c2
24
и затем заменой z = a1x + b1y приведено (У–7) к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
25
§ 8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение вида
y′ + p(x)y = f(x), |
(8.1) |
где p(x) и f(x) есть функции, непрерывные на (a, b), называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Если в дифференциальном уравнении (8.1) f(x) ̸≡0 на (a, b), то данное дифференциальное уравнение называется неоднородным, а если f(x) ≡ 0 на (a, b), – то
однородным.
Рассмотрим сначала линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка
y′ + p(x)y = 0. |
(8.2) |
Нетрудно видеть, что y = 0 является решением этого дифференциального уравнения. Если же y ≠ 0, то дифференциальное уравнение (8.2) эквивалентно дифференциальному уравнению
dy
y
Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными, а его решения определяются
формулой
∫x
ln |y| = − p(τ)dτ + lnC1,
x0
где x0 и x принадлежат интервалу (a, b), а C1 есть произвольная положительная постоянная. Вводя вспомогательное
26
условное обозначение
∫x
P (x) = p(τ)dτ
x0
и учитывая наличие решения y = 0, приходим к выводу, что все решения дифференциального уравнения (8.2) записываются формулой
y = Ce−P (x), |
(8.3) |
где C есть произвольная постоянная.
Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (8.1) будем применять метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Опишем его.
Сначала в дифференциальном уравнении (8.1) выполним
замену |
|
y = C(x)e−P (x), |
(8.4) |
где C(x) есть новая неизвестная непрерывно дифференцируемая на (a, b) функция. Подстановка выражения (8.4) в дифференциальное уравнение (8.1) определяет искомую функцию C(x). Имеем такую цепочку соотношений:
C′(x)e−P (x) + C(x)e−P (x)(−p(x)) + p(x)C(x)e−P (x) = f(x)
∫x
C′(x) = eP (x)f(x) C(x) = eP (τ)f(τ)dτ + C2,
x0
где x0 и x принадлежат интервалу (a, b), а C2 есть произвольная постоянная. Далее подставляя полученную функцию C(x) в выражение (8.3), получаем формулу решений дифференциального уравнения (8.1) при всех x (a, b):
∫x
y = Ce−P (x) + e−P (x) |
eP (τ)f(τ)dτ |
(8.5) |
x0
27
(здесь мы произвольную постоянную C2 обозначили через C). Из формулы (8.5) имеем, что решением дифференциального уравнения (8.1), удовлетворяющим начальному условию
y(x0) = y0, (8.6)
где y0 есть некоторое заданное число, является функция
∫x
y = y0eP (x0)e−P (x) + e−P (x) |
eP (τ)f(τ)dτ. |
|
x0 |
Непосредственным образом убеждаемся, что данная функция
является единственным решением задачи Коши (8.1), (8.6).
Обозначим через y (x) второе слагаемое формулы (8.5). Тогда на основании этой формулы приходим к выводу: общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (8.1) представляет собой сумму общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (8.2) и част-
ного решения линейного неоднородного дифференциального
уравнения (8.1) (т.к. y (x) является частным решением дифференциального уравнения (8.1)).
Пример 8.1. Решите дифференциальное уравнение
x x
y′ + 1 + x2 y = √1 + x2
и найдите решение задачи Коши при y(0) = 0.
Решение. Сначала найдем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
x
y′ + 1 + x2 y = 0.
Заметим, что функция y = 0 есть его решение.
28
Пусть теперь y ≠ 0. Тогда от предыдущего дифференциального уравнения переходим к равносильному ему дифференциальному уравнению с разделенными переменными
|
dy |
= − |
xdx |
|
|
|
|
. |
|
|
y |
1 + x2 |
||
Далее имеем, что |
|
|
|
|
1
ln |y| = −2 ln(1 + x2) + ln C1,
где C1 есть произвольная положительная постоянная. Теперь с учетом частного решения y = 0 получаем общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения в виде
C
y = √ ,
1 + x2
где C есть произвольная постоянная.
Теперь для решения исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения применим метод вариации произвольной постоянной. Положив
C(x) y = √
1 + x2
и подставив данное выражение для y в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, получаем его общее решение
Cx2
y = √ + √ .
1 + x2 2 1 + x2
При y(0) = 0 из последней формулы получаем, что C = 0.
Поэтому
x2
y = √
2 291 + x2
есть искомое решение задачи Коши.
Пример 8.2. Решите дифференциальное уравнение
(x − 2xy − y2)dy + y2dx = 0.
Решение. Функция y = 0 является решением заданного дифференциального уравнения.
Пусть теперь y ≠ 0. Тогда исходное дифференциальное уравнение заменяем эквивалентным ему дифференциальным уравнением
x′ +
1 − 2y
y2
где x есть функция, зависящая от аргумента y. Решая соответствующее ему линейное однородное дифференциальное уравнение (У–8)
x′ + |
1 − 2y |
x = 0, |
|
y2 |
|||
|
|
получаем, что
1
x = Cy2ey.
Далее в исходном линейном неоднородном дифференциальном уравнении выполняем замену
1
x = C(y)y2ey.
После данной подстановки получаем, что
1
C′(y) = 1 ey, y2
откуда
1
C(y) = ey + C2.
30