Дифференциальные уравнения 1

Отметим, что если правая часть дифференциального уравнения (28.1) представляет собой сумму k функций вида (28.2), то частное решение дифференциального уравнения (28.1) находится с помощью принципа суперпозиции из § 24.

121

§ 29. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений.

Линейной однородной системой будем называть нормальную линейную систему дифференциальных уравнений вида

где A(x) есть заданная непрерывная на < α, β > (вообще говоря, комплекснозначная) квадратная матрица порядка n. Ее решениями будут некоторые (комплекснозначные) вектор– функции с n компонентами на < α, β >.

Непосредственно проверяется следующее утверждение, называемое принципом суперпозиции для дифференциальной системы (29.1).

Лемма 29.1. Если y1 и y2 есть решения дифференциальной системы (29.1) C1 и C2 есть произвольные (комплексные) числа, то

y = C1y1 + C2y2

также является решением этой системы.

Определение 29.1. Вектор–функции y1, . . . , yk будем называть линейно зависимыми на промежутке I, если найдутся числа C1, . . . , Ck, одновременно не равные нулю, такие, что

C1y1(x) + . . . + Ckyk(x) ≡ 0, x I.

В противном случае данные вектор–функции будем называть линейно независимыми на промежутке I.

Непосредственным образом проверяется следующее утверждение.

Лемма 29.2. Если вектор–функции yj, j = 1, k линейно зависимы на промежутке I, то при всех x0 I числовые векторы yj(x0), j = 1, k, линейно зависимы.

122

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В самом деле, вектор–функции

y1(x) = (1, 1)T , y2(x) = (x, x)T ,

линейно независимы на R, но при каждом x0 R линейно зависимы. Однако, как следует из приведенной ниже теоремы, для решений дифференциальной системы (29.1) такое невозможно.

Теорема 29.1. Пусть yj, j = 1, k есть решения диффе-

ренциальной системы (29.1). Тогда решения yj, j = 1, k линейно независимы на < α, β > тогда и только тогда, когда для всех x0 < α, β > числовые векторы yj(x0), j = 1, k линейно независимы.

Доказательство данной теоремы вытекает из теоремы единственности. В самом деле, из

C1y1(x0) + . . . + Ckyk(x0) = y(x0) = 0

следует, что y(x) ≡ 0 (так как система (29.1) всегда имеет нулевое решение). Поэтому эти решения линейно зависимы. Получили противоречие.

В обратную сторону имеем, что если x0 < α, β > векторы yj(x0), j = 1, k линейно независимы, то на основании леммы 29.2 получаем и линейную независимость вектор– функций yj, j = 1, k.

Следствие 29.1. Решения yj, j = 1, k дифференциальной системы (29.1) линейно зависимы на < α, β > тогда и только тогда, когда x0 < α, β > линейно зависимы числовые

векторы yj(x0), j = 1, k.

Определение 29.2. Любую систему n линейно независимых на < α, β > решений дифференциальной системы (29.1)

будем называть фундаментальной системой решений

этой системы.

123

Теорема 29.2. Для дифференциальной системы (29.1) существует бесконечное множество фундаментальных систем решений.

Теорема 29.3. Если φ1, . . . , φn есть фундаментальная система решений дифференциальной системы (29.1), то каждое решение y этой дифференциальной системы представимо единственным образом в виде

y = C1φ1 + . . . + Cnφn,

где C1, . . . , Cn есть некоторые числа.

Нетрудно убедиться, что множество всех решений дифференциальной системы (29.1) образует линейное пространство. Теорема 29.3 означает, что фундаментальная система решений φ1, . . . , φn дифференциальной системы (29.1) служит базисом этого пространства. Поэтому пространство решений дифференциальной системы (29.1) является n–мерным линейным пространством.

Рассмотрим начальное условие

Решение y(x) каждой задачи Коши (29.1), (29.2) однозначно определяется с помощью функции

(29.3)

где C1, . . . , Cn есть некоторые параметры. В силу этого формулу (29.3) называют общим решением дифференциальной системы (29.1).

Определение 29.3. Матрицу Φ(x), у которой столбцы образуют фундаментальную систему решений φ1, . . . , φn дифференциальной системы (29.1), будем называть фундаментальной матрицей этой системы.

124

Таким образом,

Φ(x) = [φ1(x), . . . , φn(x)].

Очевидно, что Φ(x) есть непрерывно дифференцируемая на < α, β > матрица. Из теоремы 29.2 следует, что для дифференциальной системы (29.1) существует бесконечно много фундаментальных матриц. Из определения фундаментальной системы решений получаем, что Φ(x) есть невырожденная на < α, β > матрица. Из теоремы 29.3 вытекает, что если Φ(x) есть фундаментальная матрица дифференциальной системы (29.1), то общее решение этой системы имеет вид

y(x) = Φ(x)C,

где C есть произвольный числовой n–мерный вектор. Рассмотрим при x < α, β > матричное дифференциаль-

ное уравнение

с неизвестной квадратной матрицей Y (x) порядка n. Пусть y1(x), . . . , yn(x) есть столбцы матрицы Y (x). Тогда

Y′(x) = [y1′ (x), . . . , yn′ (x)] =

=[A(x)y1(x), . . . , A(x)yn(x)] = A(x)Y (x).

Поэтому матрица Y (x) является тогда и только тогда решением матричного дифференциального уравнения (29.4), когда ее столбцы есть решения дифференциальной системы (29.1). Это означает, что фундаментальная матрица Y (x) есть решение матричного дифференциального уравнения (29.4) и его общее решение имеет вид

Y (x) = Φ(x)C,

125

где C есть произвольная квадратная матрица порядка n. Поэтому

Ψ(x) = Φ(x)C1,

где C1 есть произвольная невырожденная числовая матрица, представляет собой общий вид фундаментальной матрицы дифференциальной системы (29.1). По заданной фундаментальной матрице Φ(x) дифференциальная система (29.1) определяется однозначно. В самом деле, действуя на тождество

Φ′(x) ≡ A(x)Φ(x), x < α, β >,

справа матрицей Φ−1(x), получаем, что

A(x) = Φ′(x)Φ−1(x).

Отметим, что решение задачи Коши (29.1), (29.2) через фундаментальную матрицу имеет вид:

y(x) = Φ(x)Φ−1(x0)y0.

Решение матричного дифференциального уравнения (29.4) с начальным условием Y (x0) = I будем называть матрицантом дифференциальной системы (29.1). Ясно, что матрица

K(x, x0) = Φ(x)Φ−1(x0)

является матрицантом дифференциальной системы (29.1).

Определение 29.4. Определителем Вронского (вронскианом) системы вектор–функций y1(x), . . . , yn(x) с n компонентами на < α, β > будем называть определитель

W (x) = W (y1(x), . . . , yn(x)) = det [y1(x), . . . , yn(x)].

Если y1(x), . . . , yn(x) есть решения дифференциальной системы (29.1), то из теоремы 29.1 вытекает следующая связь

126

между линейной зависимостью на < α, β > системы вектор– функций y1(x), . . . , yn(x) и обращением в нуль вронскиана

W(x).

Теорема 29.4. Решения y1(x), . . . , yn(x) дифференциаль-

ной системы (29.1) линейно зависимы на < α, β > тогда и только тогда, когда W (y1(x), . . . , yn(x)) ≡ 0 на < α, β >.

Теорема 29.5. Решения y1(x), . . . , yn(x) дифференциальной системы (29.1) линейно независимы на < α, β > тогда и только тогда, когда W (y1(x), . . . , yn(x)) ≠ 0, x < α, β >.

Теорема 29.6. Пусть W (x) есть вронскиан решений y1(x), . . . , yn(x) дифференциальной системы (29.1) и x0 (α, β). Тогда имеет место формула Лиувилля–Остроградс-

кого

(∫x )

W (x) = W (x0) exp sp A(t)dt , x < α, β >, (29.5)

x0

где sp S(t) = a11(t) + . . . + ann(t) есть след матрицы A(t).

Замечание 29.1. На основании формулы Лиувилля–Ост- роградского из теорем 29.4 и 29.5 нетрудно вывести очевидные следствия (для x0 < α, β > (У–21)).

Замечание 29.2. Так как матрица Y (x) = [y1(x), . . . , yn(x)]

является решением матричного дифференциального уравнения (29.4), то на основании формулы (29.5) имеем, что

(∫x )

det Y (x) = det Y (x0) sp A(t)dt , x < α, β > .

x0

127

§ 30. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейную неоднородную дифференциальную систему

где A(x) есть непрерывная на < α, β > квадратная матрица порядка n, f(x) есть непрерывная на < α, β > вектор– функция.

Непосредственными образом проверяется следующее утверждение, называемое принципом суперпозиции для дифференциальной системы (30.1) (У–22).

Лемма 30.1. Если f(x) ≡ f1(x) + f2(x), y1 есть решение дифференциальной системы (30.1) при условии f(x) ≡ f1(x), y2 есть решение дифференциальной системы (30.1) при условии f(x) ≡ f2(x), то y = y1 + y2 есть решение дифференциальной системы (30.1).

Также непосредственными вычислениями получаем такое утверждение (У–23).

Теорема 30.1. Пусть y0(x) есть некоторое частное решение дифференциальной системы (30.1), а Φ(x) есть фун-

Тогда все решения дифференциальной системы (30.1) задаются формулой

y(x) = Φ(x)C + y0(x).

Формулу решения дифференциальной системы (30.1) из теоремы 30.1 называют общим решением этой дифференциальной системы.

128

Если же частное решение дифференциальной системы (30.1) неизвестно, а известна лишь фундаментальная матрица дифференциальной системы (30.2), то все равно линейная неоднородная дифференциальная система (30.1) может быть решена в квадратурах. В этом случае общее решение дифференциальной системы (30.1) находится методом вариации постоянных (методом Лагранжа).

Теорема 30.2. Если Φ(x) есть фундаментальная матрица дифференциальной системы (30.1), то общее решение дифференциальной системы (30.2) при всех x < α, β > задается формулой

где x0 < α, β > и C есть произвольный числовой n–мерный вектор.

Доказательство. Будем искать решение дифференциальной системы (30.1) в виде

y(x) = Φ(x)C(x),

где C(x) есть вектор–функция, гладкая на < α, β >. При таком переходе от y(x) к C(x) потери решений не происходит, так как det Φ(x) ≠ 0. Далее функцию C(x) находим подстановкой y(x) в дифференциальную систему (30.1). Используя формулу производной произведения матрицы и вектор– функции, получаем, что

Φ′(x)C(x) + Φ(x)C′(x) = A(x)Φ(x)C(x) + f(x).

Так как

Φ′(x) = A(x)Φ(x),

129

то

ΦC′(x) = f(x).

Поскольку матрица Φ(x) невырождена на < α, β >, то

C′(x) = Φ−1(x)f(x).

Это векторное дифференциальное уравнение можно интегрировать, так как его правая часть есть непрерывная вектор– функция на < α, β >. Проинтегрировав последнее уравнение, получаем формулу (30.3).

Следствие 30.1. Решение задачи Коши при начальном условии y(x0) = y0, x0 < α, β >, имеет вид

∫x

y(x) = Φ(x)Φ−1(x0)y0 + Φ(x) Φ−1(t)f(t)dt.

x0

Замечание 30.1. Матрица K(x, t) = Φ(x)Φ−1(t) является матрицантом дифференциальной системы (30.1), удовлетворяющем начальному условию K(x0, x0) = I.

130