Дифференциальные уравнения 3

Введение.

Дифференциальные уравнения с частными производными обобщают обыкновенные дифференциальные уравнения на случай функций, зависящих от многих переменных. Практическое использование линейных дифференциальных уравнений с частными производными привело к выделению из всего множества данных уравнений трех основных классов уравнений: гиперболических, параболических и эллиптических. Важнейшими представителями этих классов являются уравнения математической физики: уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности, уравнение Лапласа. Данные дифференциальные уравнения могут быть также использованы и для построения социально-экономических моделей.

2

§ 1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях с частными производными.

Рассмотрим n–мерное евклидово пространство Rn. Пусть область Ω Rn. Зададим на Rn функцию u = u(x), x = (x1, . . . , xn).

Определение 1.1. Множество: 1) m раз непрерывно дифференцируемых на области Ω функций обозначим через Cm(Ω); 2) любое число раз непрерывно дифференцируемых на области Ω функций обозначим через C∞(Ω); 3) аналитических на области Ω функций обозначим через Cω(Ω). Через Cbm(Ω), Cb∞(Ω), Cbω(Ω) будем, соответственно, обозначать множества функций Cm(Ω), C∞(Ω), Cω(Ω), ограниченных на области Ω.

Определение 1.2. Дифференциальным уравнением с частными производными будем называть соотношение

где x есть независимые переменные, u = u(x) есть неиз-

дифференциального уравнения (1.1).

Пример 1.1. Дифференциальное уравнение ux = y является уравнением первого порядка, а порядок дифференциального уравнения uxy + uyy + ux = x + y + 7 равен двум.

Определение 1.3. Классическим решением дифференциального уравнения (1.1) на области Ω будем называть функцию u(x) Cm(Ω), обращающую дифференциальное уравнение (1.1) в тождество на Ω.

3

Вдальнейшем, если не будет оговорено противное, классические решения дифференциального уравнения (1.1) будем называть просто решениями.

Вдифференциальных уравнениях с частными производными, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, произвольные элементы общего решения, т.е. решения, из которого получают все частные решения (возможно, за исключением определенных особых решений), являются не произвольными постоянными, а произвольными функциями. В общем случае число произвольных функций будет равно порядку дифференциального уравнения. В случае дифференциальных уравнений с n независимыми переменными произвольные функции будут функциями n − 1 переменных. Общее решение, представленное в неявном виде, будем называть общим интегралом дифференциального уравнения.

Любое дифференциальное уравнение с частными производными имеет бесконечное множество решений. Поэтому для выделения из этого множества конкретного решения необходимо наложить некоторые дополнительные условия. При этом наибольший интерес представляют так называемые краевые условия. Они заключаются в указании поведения решения на некоторой граничной линии (поверхности, гиперповерхности) или в ее непосредственной окрестности. С этой точки зрения начальные условия представляют собой краевые условия во времени. Практически любая задача, описывающая физический процесс и сформулированная в терминах дифференциальных уравнений в частных производных, включает в себя краевые условия.

Пример 1.2. Если задано, что источник тепла находится в контакте с одним из концов стержня и поддерживает

4

на нем постоянную температуру u0, то очевидно, что по мере удаления от источника температура в стержне не будет неограниченно возрастать. Тогда соответствующие краевые условия имеют вид

u(0, t) = u0, u(x, t) < +∞,

где u(x, t) есть температура в стержне на расстоянии x в момент времени t.

Пример 1.3. Краевое условие

u(x, 0) = φ(x)

может интерпретироваться как задание в начальный момент времени температурного распределения в стержне.

Пример 1.4. Под условием Дирихле понимают задание функции u(x, y, t) в каждой точке границы области в начальный момент времени. В частности, условие Дирихле в круге радиуса R имеет вид

u(r, φ)|r=R = f(φ),

где r и φ есть полярные координаты точки (x, y), f(φ) есть заданная функция.

Пример 1.5. Условия Неймана подразумевают задание нормальной компоненты градиента ( u)n в каждой точке границы.

Пример 1.6. Условия Коши представляют собой сочетание условий Дирихле и условий Неймана и означают задание функции u(x, y, t) и проекции градиента этой функции на нормаль в каждой точке границы в начальный момент времени.

5

§2. Классификация дифференциальных уравнений

вчастных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.

Многие физические задачи приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка относительно искомой функции. Общий вид таких дифференциальных уравнений следующий:

F (x; u, ux1, . . . , uxn, ux21, . . . , ux2n) = 0.

Дифференциальное уравнение, линейное относительно старших производных, имеет вид

где коэффициенты aij являются функциями только независимых переменных x. Если они зависят также и от искомой функции u и ее первых частных производных, то дифференциальное уравнение (2.1) называют квазилинейным. Дифференциальное уравнение (2.1) называют линейным, если оно линейно не только относительно старших производных, но и относительно искомой функции и ее первых частных производных. Такое дифференциальное уравнение имеет вид

Далее в данном параграфе будем рассматривать дифференциальное уравнение (2.1) в случае двух независимых переменных. Запишем его в виде

6

где (У–2)

F =F (ξ, η, U, Uξ, Uη) есть функция, не зависящая от старших производных. При этом непосредственной проверкой убеждаемся, что (У–3)

(2.3), линейных относительно старших производных.

Определение 2.1. Если в точке M0(x0, y0):

1) выражение a212 − a11a22 > 0, то дифференциальное уравнение (2.3) будем называть уравнением гиперболического типа в точке M0(x0, y0);

2) выражение a212 − a11a22 = 0, то дифференциальное уравнение (2.3) будем называть уравнением параболического типа в точке M0(x0, y0);

3) выражение a212 − a11a22 < 0, то дифференциальное уравнение (2.3) будем называть уравнением эллиптического типа в точке M0(x0, y0).

Согласно (2.10) при любой невырожденной замене (2.4) независимых переменных тип дифференциального уравнения (2.3) не изменяется. Поэтому он является инвариантом при невырожденных заменах независимых переменных. Это позволяет ввести такие определения.

Определение 2.2. Если тип дифференциального уравнения (2.3) одинаков во всех точках области D, то его будем

8

называть уравнением данного типа во всей области. Определение 2.3. Если в разных точках области D диф-

ференциальное уравнение (2.3) принадлежит разным типам, то его будем называть уравнением смешанного типа на этой области.

Замечение 2.1. Рассмотрим квадратичную форму, составленную из старших коэффициентов дифференциального уравнения (2.3), взятых в точке M0(x0, y0):

Нетрудно видеть, что классификация дифференциального уравнения (2.3) совпадает с классификацией квадратичной формы (2.11).

Приведем примеры дифференциальных уравнений вида (2.3), имеющие определенный физический смысл.

Пример 2.1. Уравнение колебаний струны (гиперболическое уравнение):

utt − a2uxx = f(x, t),

где x есть пространственная переменная, t есть временная переменная, a – константа.

Пример 2.2. Уравнение теплопроводности (параболическое уравнение):

ut − a2uxx = f(x, t).

Пример 2.3. Уравнение Лапласа (эллиптическое уравнение):

uxx + uyy = 0,

где x и y есть пространственные переменные.

9