Дифференциальные уравнения 3

принадлежит данной области, то дифференциальное уравнение (11.4) должно выполняться и на этой линии, то есть

ut|t=0 = (αuxx + βux + γu + f)|t=0.

Учитывая начальные условия (11.5), получаем соотношение

ψ(x) = α(x, 0)φ′′(x) + β(x, 0)φ′(x) + γ(x, 0)φ(x) + f(x, 0).

Данное условие показывает, что начальная функция ψ выражается через функцию φ и коэффициенты дифференциального уравнения (11.4), поэтому данная функция не может быть произвольной. Это означает, что второе начальное условие из (11.5) является лишним.

В результате приходим к постановке задачи Коши для параболического уравнения с одним начальным условием на характеристике:

ut = αuxx + βux + γu + f на R2, u|t=0 = φ(x), (11.6)

в то время как задача Коши в постановке (11.4), (11.5) некорректно поставлена в случае произвольной функции ψ.

3. Пример Адамара задачи Коши для эллиптического уравнения. Рассмотрим задачу Коши

Дифференциальное уравнение (11.7) является уравнением типа Коши–Ковалевской. Поэтому в случае аналитических функций φ и ψ на основании теоремы Коши–Ковалевской приходим к выводу, что задача Коши (11.7), (11.8) имеет аналитическое решение в некоторой достаточно малой окрестности линии y = 0. Таким образом, первые два условия корректности выполнены (локально).

41

Исследуем третье условие корректности (о непрерывной зависимости от начальных функций). Для этого рассмотрим две задачи Коши с различными начальными условиями специального вида:

где n есть фиксированный положительный параметр. Решения данных задач Коши определяются выражениями

u1 = 0, u2 = n1 e−√n cos(nx)sh(ny).

Введем пространства ограниченных аналитических функций V1 = V2 = C0ω(R), V = C0ω(G), с соответствующими метрическими расстояниями:

ρ1(φ1, φ2) = sup |φ1(x) − φ2(x)|,

R

ρ2(ψ1, ψ2) = sup |ψ1(x) − ψ2(x)|,

R

ρ(u1, u2) = sup |u1(x, y) − u2(x, y)|.

G

Согласно определения 10.2, применительно к задачам Ко-

ши (11.9) и (11.10), для всякого ε > 0 существует такое δ > 0,

√

что если ρ1(φ1, φ2) < δ и ρ2(ψ1, ψ2) = e− n < δ (при n >

(ln δ)2), то должно выполняться неравенство

ρ(u1, u2) = n1 e−√nsh(nT ) < ε.

42

Очевидно, что последнее неравенство не выполнено при до-

Таким образом, задача Коши (11.7), (11.8) поставлена некорректно, так как не выполнено третье условие корректности из определения 10.2.

43

§ 12. Задача Коши для уравнения колебаний струны.

Поставим задачу Коши для однородного уравнения поперечных колебаний струны

C2(R), классическое решение задачи u(x, t) V = C2(G), t – временная переменная, x – пространственная переменная.

Задача Коши (12.1) – (12.3) используется для математического моделирования процесса малых колебаний бесконечной струны, натянутой вдоль оси Ox. Струна считается идеально тонкой, ее график в момент времени t описывается уравнением u = u(x, t), где u = u(x, t) есть отклонение точки струны с координатой x от оси Ox. Начальное условие (12.2) задает график струны в начальный момент времени t = 0, а функция ψ(x) из условия (12.3) задает начальную скорость струны в точке с координатой x.

Для отыскания решения задачи Коши (12.1) – (12.3) применим метод характеристик. Он состоит в приведении исходного дифференциального уравнения (12.1) к каноническому виду и нахождении общего решения. Для гиперболического уравнения (12.1) на основании характеристических уравнений (3.4) находим два семейства характеристик на плоскости

Oxt:

x + at = C1, x − at = C2.

Произведя замену переменных

ξ = x + at, η = x − at,

44

приведем дифференциальное уравнение (12.1) к каноническому виду

uξη = 0.

Из общего решения (5.4) имеем u = C1(ξ) + C2(η). Поэтому общее решение однородного уравнения колебаний струны (12.1) имеет вид (5.6)

Интегрируя равенство (12.6) по отрезку [x0, x], получаем соотношение

Далее разрешая систему алгебраических уравнений (12.5), (12.7), имеем, что

45

В итоге после подстановки найденных функций в (12.4) получаем формулу Даламбера для решения исходной задачи Коши:

x−at

Отметим, что найденное решение является классическим.

В случае неоднородного уравнения колебаний струны решение задачи Коши

utt − a2uxx = f(x, t), u|t=0 = φ(x), ut|t=0 = ψ(x),

определяется формулой

где fx C(R2).

Из алгоритма построения решения задачи Коши (12.1) – (12.3) имеем, что любое классическое решение данной задачи представимо формулой Даламбера (12.8). Отсюда вытекает существование и единственность решения задачи Коши (12.1) – (12.3) в пространстве V . Также имеет место следующее утверждение.

Предложение 12.1. Решение задачи Коши (12.1) – (12.3) в пространстве V непрерывно зависит от начальных функций φ V1, ψ V2.

Таким образом, мы получили, что задача Коши (12.1) – (12.3) является корректно поставленной.

46