Дифференциальные уравнения 3

Задача Коши для дифференциального уравнения (9.1) состоит в следующем: найти функцию u C2(G), удовлетворяющую на G дифференциальному уравнению (9.1) и начальным условиям (9.3). При этом функция u, удовлетворяющая указанным требованиям, называется классическим решением задачи Коши. Можно показать, что не для всех произвольных функций φ0 и φ1 такое решение существует.

В простейшем случае, когда поверхность Γ0 является плоскостью xn = ξ, постановка задачи (9.1), (9.3) упрощается:

L(u) = f(x) на области G, u|xn=ξ = ψ0(x′),

где x′ = (x1, . . . , xn−1).

Возможны и другие разновидности задачи Коши, например, такая:

L(u) = f(x) на подобласти G+, u| = φ0(x),

∂u

∂n| = φ1(x).

Преобразуем задачу Коши (9.1), (9.3). Для этого зафик-

сируем точку x0 Γ. Так как grad g = (gx1, . . . , gxn) ≠ 0 на поверхности Γ, то одна из частных производных gxi ≠ 0 в этой

точке. Для определенности будем полагать, что gxn(x0) ≠ 0. На основании теоремы о неявной функции приходим к выводу, что существует такая окрестность U(x0) точки x0, в которой уравнение (9.2) однозначно разрешимо относительно переменной xn. Тогда поверхность Γ в окрестности U(x0) представима в виде уравнения

В дальнейшем будем полагать, что окрестность U(x0) совпадает со всей областью G.

31

где ψj(x′) = φ(x′, F (x′)).

Далее преобразуем задачу (9.8), применяя преобразование

Преобразование (9.9) является невырожденным, т.к. его якобиан J = gxn ≠ 0. Вычисляя первые частные производные, входящие в дифференциальное уравнение (9.1), имеем

uxnxi = utyigxn + uttgxngxi + utgxnxi, i ≠ n,

uxnxn = utt(gxn)2 + utgxnxn.

Далее после подстановки формул (9.10) и (9.11) в дифференциальное уравнение (9.1) получаем дифференциальное уравнение в новых переменных:

∑n−1

32

есть дифференциальный оператор второго порядка по переменным y = (y1, . . . , yn−1), C(y, t) = C(x1, . . . , xn−1, g(x)) = f(x). Коэффициент α определяется формулой

∑n−1 ∑n−1

Если α(x) ≠ 0 на области G, то разделив дифференциальное уравнение (9.12) на α, получим уравнение типа Коши– Ковалевской с выделенной переменной t:

∑n−1

Преобразуем теперь начальные условия (9.3). Уравнение (9.2) поверхности Γ с учетом замены (9.9) примет вид t = 0. Поэтому первое начальное условие из (9.3) можно записать как

Преобразуем теперь второе начальное условие, вычислив нормальную производную (9.4). После подстановки формул

33

Добавив условия (9.15) и (9.16) к дифференциальному уравнению (9.14), получим постановку задачи Коши (9.1), (9.3) в новых переменных:

где с помощью преобразования (9.10) область G переходит в область Ω. При этом поверхность Γ представляет собой плоское многообразие γ на области Ω. Коэффициенты и правая часть дифференциального уравнения (9.14) являются функциями перемененных y, t.

Если переменную t интерпретировать как время, то условия (9.18) являются условиями в начальный момент времени t = 0. Поэтому условия (9.3) называются начальными условиями.

Таким образом, если функция (9.13) α(x) ≠ 0 на области G, то задача Коши (9.1), (9.3) преобразуется к задаче Коши (9.17), (9.18).

Рассмотрим теперь случай, когда α(x) = 0 во всей области G или в некоторых точках поверхности Γ. В этом случае деление дифференциального уравнения (9.12) на α невозможно. Дифференциальное уравнение (9.12) выполняется во всех точках области G, в том числе и в точках поверхности Γ, т.к. каждая точка поверхности Γ является внутренней для области G.

В связи с этим рассмотрим дифференциальное уравнение (9.12) на поверхности Γ при t = 0:

L(u)| = L(u)|t=0 = α| utt + B0ut|t=0 =

34

∑n−1

=Biuyit|t=0 + Ly(u)|t=0 = F (y, 0).

i=1

Учитывая соотношение

∑n−1 ∑n−1

и условия (9.18), получаем необходимое условие разрешимости задачи Коши (9.1), (9.3):

∑

+Ly(ψ0(y)) = F (y, 0).

Таким образом, если условие (9.20) не выполнено, то задача Коши (9.1), (9.3) неразрешима.

Условие (9.19) совпадает с уравнением характеристик (6.6). Поэтому выполнение этого условия означает, что поверхность Γ, определяемая уравнением (9.2), является характеристической поверхностью дифференциального уравнения (9.1).

Если же условие (9.19) выполняется в отдельных точках поверхности Γ, то это означает, что поверхность Γ в этих точках касается некоторой характеристической поверхности дифференциального уравнения (9.1).

В итоге мы пришли к выводу: если поверхность Γ, на которой заданы начальные условия (9.3), совпадает с характеристической поверхностью дифференциального уравнения (9.1) или касается ее, то задача Коши (9.1), (9.3) требует учета дополнительных условий разрешимости (9.20).

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 9.1 (теорема Коши-Ковалевской). Если у дифференциального уравнения (9.17) коэффициенты bij, b0, bi, ci, c, f Cω(Ω), а начальные функции ψ0, Ψ1 Cω(γ),

35

то для любой точки y0 γ существует окрестность Ω(γ) Ω, в которой существует единственное аналитическое решение задачи Коши (9.17), (9.18).

Отметим, что теорема 9.1 гарантирует существование локального решения задачи Коши в достаточно малой окрестности поверхности γ. Вопрос же о существовании глобального решения данной задачи во всей наперед заданной области Ω требует дополнительных исследований.

36

§ 10. Корректная постановка задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными:

где G R2, Γ есть дважды гладкая линия в G, φ и ψ есть заданные функции на линии Γ.

Введем следующие пространства функций: V1(Γ) – пространство начальных функций φ, V2(Γ) – пространство начальных функций ψ, V (G) – пространство функций u, в котором ищется решение задачи Коши (10.1), (10.2). Для классических решений V (G) = C2(G). Кроме того, в зависимости от ситуации, будем полагать рассматриваемые пространства метрическими или нормированными линейными.

Определение 10.1. Рассмотрим две задачи Коши с различными начальными функциями

L(ui) = f, ui| = φi, ∂u∂ni | = ψi, i = 1, 2.

Будем говорить, что решение задачи Коши (10.1), (10.2) непрерывно зависит в пространстве V от начальных функций φ V1, ψ V2, если для любого ε > 0 найдется такое

δ > 0, что из неравенств ρV1(φ1, φ2) < δ, ρV1(ψ1, ψ2) < δ,

вытекает неравенство ρV (u1, u2) < ε.

Определение 10.2. Будем говорить, что задача Коши

(10.1), (10.2) корректно поставлена в пространствах V1, V2, V , если выполняются условия (условия корректности):

1) для любых начальных функций φ V1, ψ V2, существует решение u задачи Коши (10.1), (10.2),

37

2)для любых начальных функций φ V1, ψ V2, решение u задачи Коши (10.1), (10.2) единственно,

3)решение u задачи Коши (10.1), (10.2) непрерывно зависит от начальных функций φ V1, ψ V2.

Если не выполнено хотя бы одно из трех условий корректности, то будем говорить, что задача Коши корректно поставлена. При невыполнении третьего условия корректности задачу Коши будем называть неустойчивой по начальным данным.

38

§ 11. Примеры некорректно поставленных задач Коши.

1.Задача Коши для гиперболического уравнения

сначальными условиями на характеристике. Рассмотрим задачу Коши

где f(x, y) (R2), φ(x) C1(R), ψ(x) C1(R). Предположим, что задача Коши (11.1), (11.2) имеет реше-

ние u, обладающее непрерывной смешанной производной uxy на области R2. Так как линия y = 0 принадлежит нашей области, то дифференциальное уравнение (11.1) должно выполняться и на этой линии, т.е.

uxy|y=0 = f(x, 0).

Учитывая второе начальное условие из (11.2), получаем необходимое условие разрешимости задача Коши (11.1), (11.2):

Очевидно, что если условие (11.3) не выполнено, то задача Коши (11.1), (11.2) не имеет решений.

Построим теперь решение задачи Коши (11.1), (11.2), предполагая, что условие (11.3) выполнено. Воспользуемся общим решением (5.2) дифференциального уравнения (11.1), где функции C1(x) и C2(y) определим из начальных условий.

Из первого начального условия получаем, что u|y=0 = C1(x) + C2(0) = φ(x).

39

Положим C1(x) = φ(x), C2(0) = 0. Тогда из второго начального условия получаем, что

∫x

uy|y=0 = C2′ (0) + f(ξ, 0)dξ = ψ(x).

0

Далее, учитывая условие разрешимости (11.3), получаем соотношение C2′ (0) = ψ(0). Таким образом, произвольная функция C2(y) удовлетворяет условиям C2(0) = 0, C2′ (0) = ψ(0). Общий вид такой функции

C2(y) = y(ψ(y) + C(y)),

где произвольная функция C(y) C1(R), C(0) = 0.

Таким образом, нами получено решение задачи Коши (11.1), (11.2) в виде

∫y (∫x )

0 0

которое не единственно в силу произвольности функции C(y). В итоге приходим к выводу, что задача Коши (11.1), (11.2)

поставлена некорректно, т.к. не выполняется первое или второе условие корректности из определения 10.2.

2. Задача Коши для параболического уравнения с начальными условиями на характеристике. Рассмотрим задачу Коши

Предположим, что классическое решение задачи Коши (11.4), (11.5) существует для области R2. Так как линия t = 0

40