Дифференциальные уравнения 3

Поэтому дифференциальное уравнение (3.1) эквивалентно двум линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка:

Из курса дифференциальных уравнений известно, что для построения общего решения линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка достаточно найти общий интеграл соответствующего ему характеристического уравнения. Для дифференциальных уравнений (3.2) и (3.3) характеристическими уравнениями являются дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения (3.4) будем называть уравнениями характеристик для дифференциального уравнения (2.3), а их частные интегралы – характеристиками. Таким образом, если ξ(x, y) = C является общим интегралом одного из дифференциальных уравнений (3.4), то функция z = ξ(x, y) есть решение дифференциального уравнения (2.3).

Рассмотрим теперь каждый тип дифференциального уравнения (2.3) отдельно.

Случай 1. Пусть на области D дифференциальное уравнение (2.3) является уравнением гиперболического типа, т.е. всюду в области D выражение a212 − a11a22 > 0. Тогда всюду в области D функции λ1(x, y) ≠ λ2(x, y) и вещественны. Поэтому никакие две характеристики из разных семейств

11

не касаются друг друга. Эти два семейства образуют криволинейную сетку. Выбрав

ξ = ξ(x, y), η = η(x, y),

где ξ(x, y) и η(x, y) определены из (3.5), получим, что

a11=a22= 0.

Поэтому дифференциальное уравнение (2.6) после деления на

2 a12≠ 0 примет вид

Форма дифференциального уравнения (3.6) называется канонической формой уравнения гиперболического типа. Отметим, что часто используется и другая каноническая форма, которую из исходного дифференциального уравнения (2.3) можно получить заменой

1 1

α= 2(ξ − η), β = 2(ξ + η).

Вэтом случае дифференциальное уравнение имеет вид

Случай 2. Пусть на области D дифференциальное уравнение (2.3) есть уравнение эллиптического типа, т.е. выражение a212 − a11a22 < 0 на D. Тогда уравнения характеристик (3.4) при вещественных коэффициентах aij имеют комплексно сопряженные правые части. Все характеристики будут комплексными (т.е. эллиптическое уравнение не имеет характеристических линий). Считая, что коэффициенты aij определены в комплексной области и аналитичны, делаем формальную замену

ξ = ξ(x, y), η = ξ(x, y),

12

где ξ(x, y) = C1 и ξ(x, y) = C2 есть комплексно сопряженные общие интегралы дифференциальных уравнений (3.4). В результате получим дифференциальное уравнение

уже в вещественной области. Дифференциальное уравнение (3.9) есть каноническая форма уравнения эллиптического типа.

Случай 3. И, наконец, пусть на области D дифференциальное уравнение (2.3) есть уравнение параболического типа,

т.е. выражение a212 − a11a22 = 0 на D и λ1(x, y) ≡ λ2(x, y). В этом случае существует только одно уравнение характери-

стик

dy

dx = λ1(x, y).

Пусть ξ(x, y) = C есть его общий интеграл. Возьмем произвольную дважды дифференцируемую функцию η(x, y), та-

a22 ≠ 0, так как в противном случае не будет выполняться

13

условие (3.10). Поэтому дифференциальное уравнение (2.6) принимает вид

Дифференциальное уравнение (3.11) есть каноническая форма уравнения параболического типа. При этом в

правой части дифференциального уравнения (3.11) – функ-

ции F 1 – обязательно должна присутствовать первая частная производная Uξ по независимой переменной ξ, ибо в противном случае исходное дифференциальное уравнение в частных производных (3.11) вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение по переменной η и в нем переменная ξ играет роль параметра.

14

§ 4. Системы дифференциальных уравнений с частными производными.

Определение 4.1. Системой дифференциальных уравнений с частными производными относительно k

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, состоящую из двух уравнений, содержащих две неизвестные функции с дву-

мя независимыми переменными:

{

b11ux + b12uy + c11vx + c12vy + b1u + c1v = f1, (4.2) b21ux + b22uy + c21vx + c22vy + b2u + c2v = f2.

В матричной записи дифференциальная система (4.2) принимает вид

15

Для классификации дифференциальной системы (4.2) вы-

Далее поставим в соответствие главной части дифференциальной системы (4.2) характеристическую матрицу

и характеристический многочлен

P = det A = a11ξ12 + 2a12ξ1ξ2 + a22ξ22,

где (У–4)

a11 = b11c21 − b21c11, a22 = b12c22 − b22c12,

1

a12 = 2(b12c21 + b11c22 − b22c11 − b21c12).

Классификация дифференциальных систем (4.2) проводится с помощью дискриминанта D = a212 − a11a22 характеристического многочлена по аналогии с классификацией дифференциальных уравнений (2.3) (см. определение 2.1) (У–5).

Пример 4.1. Рассмотрим важную для теории аналитических функций комплексного переменного эллиптическую си-

16

для которой характеристическая матрица

()

D = −1.

Пример 4.2. Рассмотрим систему двух дифференциаль-

Разрешая ее относительно частных производных ∂x и ∂y,

где

∆ = c11c22 − c12c21 ≠ 0.

Дифференцируя первое равенство по y, а второе по x и вычитая из первого равенства второе, получим дифференциальное уравнение второго порядка для неизвестной функции u:

a11uxx + 2a12uxy + a22uyy = 0,

где коэффициенты a11, a12, a22 совпадают с коэффициентами характеристического многочлена дифференциальной системы (4.4) (У–7). Аналогичное дифференциальное уравнение получаем для функции v (У–8). Это позволяет сделать

17

вывод, что тип дифференциального уравнения для функции u (для функции v) совпадает с типом исходной дифференциальной системы (4.4).

18

где C1(x) и C2(y) есть произвольные непрерывно дифференцируемые функции.

На основании формулы (5.2) приходим к выводу, что дифференциальное уравнение (частный случай – при f(x, y) ≡ 0

– дифференциального уравнения (5.1))

приводится к дифференциальному уравнению (вида (5.3))

uξη = 0

заменой ξ = x + ay, η = x − ay (У–9). Поэтому его общее решение определяется соотношением

2. Нахождение решений уравнения Лапласа на плос-

кости. Полагая в дифференциальном уравнении параметр

√

a = i, где i = −1 есть мнимая единица, получаем уравнение Лапласа

Пусть f(z) есть произвольная функция комплексного переменного z = x + i y на области Ω. Выделим у нее действительную и мнимую части:

f(z) = u(x, y) + i v(x, y).

20