Дифференциальные уравнения 1

§ 1. Основные понятия для дифференциальных уравнений первого порядка.

Через R2(x, y) будем обозначать евклидову плоскость с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Oxy. Пусть G есть непустая область, расположенная в R2(x, y), а f(x, y) есть функция, заданная и непрерывная на этой области.

Определение 1.1. Уравнение

будем называть обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. При этом x есть независимая переменная (аргумент), а y = y(x) есть неизвестная функция.

Иногда уравнение (1.1) называют дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.

Через I будем обозначать некоторый промежуток числовой прямой R1(x) с декартовой координатой x. Отметим, что промежуток I на числовой прямой R1(x) может представлять собой одно из следующих трех множеств: 1) отрезок; 2) интервал (ограниченный или неограниченный); 3) полуинтервал (ограниченный или неограниченный).

Определение 1.2. Функцию y = φ(x), определенную на промежутке I, будем называть решением дифференциального уравнения (1.1), если:

1)φ(x) имеет непрерывную производную φ′(x) на промежутке I;

2)(x, φ(x)) G, x I;

3)φ′(x) = f(x, φ(x)), x I.

Замечание 1.1. Если промежуток I содержит левый или правый конец, то будем считать, что существует непрерывная

2

односторонняя производная функции φ(x) в рассмативаемой точке (конце).

Замечание 1.2. Из определения 1.2 следует, что промежуток I должен быть расположен в проекции области G на ось R1(x).

Определение 1.3. Кривую в области G, являющуюся графиком некоторого решения дифференциального уравнения (1.1), будем называть интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Определение 1.4. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения (1.1) будем называть интегрированием данного дифференциального уравнения.

В общем случае не всегда удается получить решение дифференциального уравнения (1.1) в явном виде y = φ(x), x I. Тогда решение уравнения (1.1) может определяться как неявная функция на основании функционального уравнения

Φ(x, y) = 0.

Определение 1.5. Решить (проинтегрировать) дифференциальное уравнение (1.1) означает найти все решения этого дифференциального уравнения.

Определение 1.6. Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения (1.1) удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций, а также к операциям суперпозиций и алгебраическим операциям, то будем говорить, что дифференциальное уравнение (1.1) интегрируется в квадратурах.

где функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны на области G, будем называть дифференциальным уравнением первого

3

порядка в симметричной форме.

Дифференциальное уравнение (1.2) является обобщением дифференциального уравнения (1.1). В самом деле, с учетом соотношения dy = y′dx, при P (x, y) ≡ f(x, y), Q(x, y) ≡ −1, из дифференциального уравнения (1.2) получаем дифференциальное уравнение (1.1). Отметим, что переменные x и y в дифференциальном уравнении (1.2) участвуют равноправно.

Определение 1.8. Точку (x0, y0) G будем называть особой для дифференциального уравнения (1.2), если

P(x0, y0) = Q(x0, y0) = 0.

Вдальнейшем в данном параграфе будем полагать, что на

области G у дифференциального уравнения (1.2) нет особых точек.

Для дифференциального уравнения (1.2) нетрудно ввести понятия, аналогичные определениям 1.2 – 1.6 (У–1). При этом отметим, что в силу симметричности вхождения переменных x и y в данное дифференциальное уравнение его решения можно искать как в виде y = φ(x), x I, так и в виде x = ψ(y), y J R1(y).

Определение 1.9. Вектор–функцию x = ξ(t), y = η(t),

определенную на промежутке I R1(t), будем называть параметрическим решением дифференциального уравнения (1.2), если:

1)функции ξ(t) и η(t) являются гладкими (непрерывно дифференцируемыми) на I и |ξ′(t)| + |η′(t)| > 0 на I;

2)(ξ(t), η(t)) G, t I;

3)P (ξ(t), η(t))ξ′(t) + Q(ξ(t), η(t))η′(t) = 0, t I.

Определение 1.10. Кривую в области G, являющуюся гладким образом промежутка I при отображении (ξ(t), η(t)),

будем называть параметрической интегральной кривой

4

дифференциального уравнения (1.2).

Пусть ξ′(t0) ≠ 0 для некоторого t0 I. Тогда существует интервал (t0 − δ, t0 + δ), δ > 0, на котором функция x = ξ(t) имеет обратную функцию t = ξ−1(x). Поэтому кусок параметрической интегральной кривой, соответствующей изменению переменной t на интервале (t0 − δ, t0 + δ), определяется уравнением y = {(x) ≡ η(ξ−1(x)). Если же η′(t1) ≠ 0 для некоторого t1 I, то найдется интервал (t1 − δ1, t1 + δ1), δ1 > 0, на котором y = η(t) имеет обратную функцию t = η−1(y), и тогда кусок параметрической интегральной кривой, соответствующей t (t1 − δ1, t1 + δ1), определяется уравнением

x= ω(y) ≡ ξ(η−1(y)).

Витоге мы получили, что параметрическая интегральная кривая дифференциального уравнения (1.2), в отличие от интегральной кривой дифференциального уравнения (1.1), представляет собой гладкую кривую, отдельные куски которой задаются или функцией вида y = {(x), или функцией вида x = ω(y). Поэтому дифференциальное уравнение (1.2) допускает как решения вида y = {(x), так и решения вида

x= ω(y), заданных явно, неявно или параметрически.

Вчастности, из определения параметрического решения дифференциального уравнения (1.2) при x = t получаем решение вида y = φ(x), а при y = t получаем решение вида

x= ψ(y).

Замечание 1.3. Иногда дифференциальное уравнение (1.2) может быть задано не только на области G, но и на ее границе. Тогда всякая граничная точка относится к особым точкам дифференциального уравнения (1.2). При этом поведение параметрических интегральных кривых дифференциального уравнения (1.2) в окрестности границы области G требует отдельного рассмотрения.

5

§ 2. Простейшие математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями.

Метод построения математических моделей является наиболее эффективным методом изучения различных явлений природы. При этом в большинстве случаев не удается установить формулу прямой зависимости между собой различных характеристик рассматриваемого физического, биологического, химического или какого–нибудь другого динамического процесса. Однако часто удается составить определенную функциональную зависимость между неизвестными характеристикам рассматриваемого процесса, скоростями их изменения и временем, т.е. найти уравнения, содержащие производные неизвестных характеристик процесса. В таком случае говорят, что математической моделью процесса является дифференциальное уравнение.

Пример 2.1. Прямолинейное движение материальной точки. Простейший пример дифференциального уравнения дает задача о нахождении закона прямолинейного движения материальной точки по заданной скорости ее движения. Пусть S(t) есть неизвестный путь, пройденный материальной точкой за время t, а v(t) есть заданная скорость ее движения в момент времени t. На основании приведенных данных, используя механический смысл производной, получаем дифференциальное уравнение

Если v(t) есть непрерывная функция при t > 0, то из курса математического анализа получаем, что все решения диффе-

6

ренциального уравнения (2.1) задаются формулой

∫t

S(t) = v(τ)dτ + C,

0

где C есть произвольная вещественная постоянная.

Пример 2.2. Радиоактивный распад. Ряд элементов таблицы Менделеева обладает ярко выраженным свойством радиоактивного распада, содержание которого состоит в том, что с течением времени вещество распадается, превращаясь в другие вещества и выделяя при этом частицы, которые составляют так называемое радиоактивное излучение. Физический закон, по которому происходит этот распад, заключается в том, что скорость распада пропорциональна количеству не распавшегося к данному моменту вещества.

Основной характеристикой процесса является коэффициент пропорциональности α, который предполагается не зависящим от времени и называется постоянной распада.

Таким образом, математическим выражением данного закона распада вещества является дифференциальное уравне-

где m = m(t) есть количество не распавшегося к настоящему моменту времени t вещества.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция

является решением дифференциального уравнения (2.2) (У– 2). Величины m0 и t0 имеют следующий смысл: m0 есть начальное количество рассматриваемого вещества в начальный

7

момент времени t0. Формула (2.3) позволяет определить вторую важнейшую характеристику процесса радиоактивного распада – период полураспада, т.е. промежуток времени T , за который количество распадающегося вещества уменьшается вдвое.

Из соотношения (2.3) вытекает, что

m0 = m0e−αT

2

и, поэтому (У–3)

1

T = α ln 2.

Замечание 2.1. Закон радиоактивного распада является широко распространенным. Им можно пользоваться при описании ряда процессов химического распада вещества. В банковском деле начисление задолженности по кредиту или дохода по вкладам также производится в соответствии с подобным законом. Отличие состоит лишь в том, что в этом случае время отмечается через дискретные промежутки. В теории операций аналогичный закон используется при изучении процесса образования очередей.

8

§ 3. Поле направлений и изоклины.

Рассмотрим геометрический смысл задания дифференциального уравнения (1.1) и его решения. С этой целью сопоставим каждой точке (x0, y0) G вектор с координатами (1, f(x0, y0)), отложенный от этой точки. Множество всех полученных векторов будем называть полем направлений, соответствующим дифференциальному уравнению (1.1). Из определения решения дифференциального уравнения (1.1) и геометрического смысла производной вытекает, что кривая в области G является интегральной кривой дифференциального уравнения (1.1) тогда и только тогда, когда она гладкая и направление касательной в каждой ее точке совпадает с направлением поля в этой точке. Таким образом, в каждой точке (x, y) G угол α = α(x, y) наклона касательной к интегральной кривой дифференциального уравнения (1.1) определяется уравнением tgα = f(x, y).

Таким образом, мы показали, что задача интегрирования дифференциального уравнения (1.1) геометрически эквивалентна нахождению всех гладких кривых в области G, направление касательных к которым в каждой точке из G совпадает с вектором поля направлений в данной точке. Это свойство используется для приближенного построения интегральных кривых.

При практическом нахождении поля направлений для дифференциального уравнения (1.1) удобно использовать так называемые изоклины. Изоклиной поля направлений дифференциального уравнения (1.1) будем называть такую кривую в области G, во всех точках которой направления поля имеют одинаковый угловой коэффициент k. Очевидно, что изоклина задается уравнением f(x, y) = k. В простых случаях построение с помощью изоклин поля направлений позволя-

9

ет сделать определенные выводы о поведении интегральных кривых дифференциального уравнения (1.1).

В каждой точке (x, y) G дифференциальное уравнение (1.2) определяет вектор с компонентами {−Q(x, y), P (x, y)}. Эти вектора задают поле направлений на области G, порождаемого дифференциальным уравнением (1.2). Как и в случае дифференциального уравнения (1.1), гладкая кривая в области G, будет интегральной кривой дифференциального уравнения (1.2) тогда и только тогда, когда направление касательной в каждой ее точке совпадает с вектором поля в данной точке. Поле направлений дифференциального уравнения (1.2), вообще говоря, обширнее поля направлений дифференциального уравнения (1.1), так как, например, оно может содержать вертикальные направления, чего не может быть для поля направлений дифференциального уравнения (1.1). Как мы выяснили ранее, структура интегральных кривых дифференциального уравнения (1.2) может быть более сложной, чем для дифференциального уравнения (1.1). Например, интегральные кривые дифференциального уравнения (1.2) могут иметь вертикальные касательные, а также могут быть замкнутыми кривыми.

Отметим, что в особых точках (определение 1.8) дифференциального уравнения (1.2) поле направлений не определено. В дальнейшем мы изучим поведение интегральных кривых дифференциального уравнения (1.2) в окрестностях изолированных особых точек.

10