Дифференциальные уравнения 1

§ 24. Линейные дифференциальные уравнения порядка n с переменными коэффициентами.

Линейным дифференциальным уравнением порядка n с переменными коэффициентами будем называть уравнение

где x < α, β >, aj(x), j = 0, n − 1, есть заданные непрерывные на < α, β >, функции, называемые коэффициентами дифференциального уравнения (24.1), f(x) есть заданная непрерывная на < α, β > функция, называемая правой частью дифференциального уравнения (24.1). Если f(x) = 0,x < α, β >, то дифференциальное уравнение (24.1) будем называть линейным однородным. В противном случае дифференциальное уравнение (24.1) будем называть линейным неоднородным.

Далее будем считать, что коэффициенты aj(x), j = 0, n − 1, и правая часть дифференциального уравнения (24.1) могут принимать комплексные значения. При этом комплекснозначную функцию y = φ(x) будем называть решением дифференциального уравнения (24.1) на < α, β >, если функция φ n раз непрерывно дифференцируема на < α, β > и обращает дифференциальное уравнение (24.1) в тождество на

< α, β >.

Непосредственным образом проверяем следующее утверждение (У–18), называемое принципом суперпозиции для дифференциального уравнения (24.1).

Лемма 24.1. Если f(x) = f1(x) + f2(x) и yi(x) есть решение дифференциального уравнения (24.1) при f(x) ≡ fi(x) на < α, β >, i = 1, 2, то функция y(x) = y1(x) + y2(x) есть решение дифференциального уравнения (24.1).

91

Следствие 24.1. Если y1(x) и y2(x) есть решения линейного однородного дифференциального уравнения (24.1), то линейная комбинация y = C1y1(x) + C2y2(x) также является решением данного линейного однородного дифференциального уравнения.

Решение дифференциального уравнения (24.1) всегда можно свести к решению линейной системы дифференциальных

g(x) = (0, . . . , 0, f(x))T .

Лемма 24.2. Дифференциальное уравнение (24.1) эквивалентно дифференциальной системе (24.2).

Доказательство. Пусть y = φ(x) есть решение дифференциального уравнения (24.1). Положим y1 = φ(x), y2 = φ′(x), . . . , yn = φ(n−1)(x). Тогда вектор–функция с компонентами φ(x), φ′(x), . . . , φ(n−1)(x) удовлетворяет дифференциальной системе (24.2).

С другой стороны, если вектор–функция с компонентами φ(x), φ′(x), . . . , φ(n−1)(x) есть решение дифференциальной системы (24.2), то исключив из (24.2) переменные y2, . . . , yn, получаем, что y1 = φ(x) есть решение дифференциального уравнения (24.1).

Лемма 24.2 позволяет перенести все результаты для линейных дифференциальных систем на случай линейных диффе-

92

ренциальных уравнений (24.1).

Рассмотрим для дифференциального уравнения (24.1) начальные условия

где x0 < α, β >, y10, . . . , yn0, есть заданные числа.

Теорема 24.1. Пусть все функции aj(x), j = 0, n − 1, и f(x) непрерывны на < α, β > и пусть x0 < α, β >. Тогда при произвольных начальных значениях y10, . . . , yn0 решение задачи Коши (24.1), (24.3) существует и единственно на всем < α, β >.

Доказательство. Сделав замену

y1(x) = y(x), y2(x) = y′(x), . . . , yn(x) = y(n−1)(x),

сводим дифференциальное уравнение (24.1) к дифференциальной системе (24.2). При этом начальные условия примут вид

где вектор y0 = (y10, . . . , yn0)T . В силу леммы 24.2 задача Коши (24.1), (24.3) эквивалентна задаче Коши (24.2), (24.4). В силу условий теоремы 24.1 матрицы A(x) и f(x) непрерывны на < α, β >. Согласно соответствующей теоремы для линейной дифференциальной системы решение задачи Коши (24.2), (24.4) существует и единственно на < α, β >. Поэтому и решение задачи Коши (24.1), (24.3) существует и единственно на < α, β >. Теорема 24.1 доказана.

Следствие 24.2. Задача Коши

где aj(x), j = 0, n − 1, непрерывны на < α, β >, имеет единственное решение y(x) ≡ 0 на < α, β >.

93

Доказательство. В самом деле, y(x) ≡ 0 есть решение задачи Коши (24.5) и оно единственно в силу теоремы 24.1.

Отметим, что в отличие от нелинейного дифференциального уравнения теорема 24.1 гарантирует существование и единственность решения задачи Коши (24.1), (24.3) глобально.

94

§ 25. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение порядка n

где x < α, β >, aj(x), j = 0, n − 1, есть заданные непрерывные на < α, β >, функции.

Определение 25.1. Решения y1(x), . . . , yk(x) дифференциального уравнения (25.1) будем называть линейно зависимыми на < α, β >, если существуют такие числа c1, . . . , ck, одновременно не равные нулю и такие, что

c1y1(x) + . . . + ckyk(x) = 0, x < α, β > .

В противном случае решения y1(x), . . . , yk(x) дифференциального уравнения (25.1) будем называть линейно независимыми на < α, β >.

где матрица A(x) задана в § 24, эквивалентную дифференциальному уравнению (25.1).

Лемма 25.1. Решения y1(x), . . . , yk(x) дифференциального уравнения (25.1) линейно зависимы на < α, β > тогда и только тогда, когда соответствующие им решения y1(x),

. . . , yk(x) дифференциальной системы (25.2) линейно зависимы на < α, β > (где вектор–функции yj(x) = (yj(x), yj′ (x), . . . ,

yj(n−1)(x))T , j = 1, k).

Доказательство. Пусть решения y1(x), . . . , yk(x) дифференциального уравнения (25.1) линейно зависимы на < α, β >.

95

Тогда найдутся такие числа c1, . . . , ck, |c1|+ . . .+ |ck| > 0, что

c1y1(x) + . . . + ckyk(x) = 0, x < α, β > .

Дифференцируя последовательно это тождество n − 1 раз, получаем тождество на < α, β > для решений дифференциальной системы (25.2):

c1y1(x) + . . . + ckyk(x) = 0, x < α, β > .

Это означает, что решения y1(x), . . . , yk(x) дифференциальной системы (25.2) линейно зависимы на < α, β >.

Обратно, если выполнено последнее тождество на < α, β > с некоторыми, одновременно не равными нулю, числами c1,

. . . , ck, то первая компонента этого векторного тождества означает линейную зависимость решений y1(x), . . . , yk(x) дифференциального уравнения (25.1).

Следствие 25.1. Решения y1(x), . . . , yk(x) дифференциального уравнения (25.1) линейно независимы на < α, β > тогда и только тогда, когда решения y1(x), . . . , yk(x) дифференциальной системы (25.2) линейно независимы на < α, β >.

Определение 25.2. Совокупность произвольных n линейно независимых решений φ1(x), . . . , φn(x) дифференциального уравнения (25.1) будем называть фундаментальной системой решений дифференциального уравнения (25.1).

Из леммы 25.1 в качестве следствия имеем такое утверждение.

Лемма 25.2. Решения φ1(x), . . . , φn(x) дифференциального уравнения (25.1) образуют фундаментальную систему решений этого дифференциального уравнения в том и толь-

ко том случае, когда вектор–функции Φj(x) с компонентами φj(x), φ′j(x), . . . , φ(jn−1)(x), j = 1, n, образуют фундаментальную систему решений линейной однородной дифферен-

циальной системы (25.2).

96

С помощью леммы 25.2 все утверждения о фундаментальных системах решений линейной однородной дифференциальной системы непосредственным образом переносятся на фундаментальные системы решений линейных однородных дифференциальных уравнений порядка n.

Теорема 25.1. Для дифференциального уравнения (25.1) существует бесконечное множество фундаментальных систем решений.

Теорема 25.2. Если φ1(x), . . . , φn(x), есть фундаментальная система решений дифференциального уравнения (25.1), то каждое решение y этого дифференциального уравнения представимо единственным образом в виде

y = C1φ1(x) + . . . + Cnφn(x).

Из принципа суперпозиции для дифференциального уравнения (25.1) и теоремы 25.2 следует, что множество всех решений этого дифференциального уравнения образует n–мерное линейное пространство, а фундаментальная система решений дифференциального уравнения (25.1) служит базисом этого пространства.

Определение 25.3. Функцию вида

y = C1φ1(x) + . . . + Cnφn(x),

где φ1(x), . . . , φn(x), есть фундаментальная система решений дифференциального уравнения (25.1), а C1, . . . , Cn, есть произвольные параметры, будем называть общим решением дифференциального уравнения (25.1).

Из теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения (25.1) при начальных условиях

97

и из теоремы 25.2 получаем, что каждое решение задачи Коши (25.1), (25.3) однозначно определяется из формулы общего решения дифференциального уравнения (25.1).

В итоге мы получили, что нахождение общего решения дифференциального уравнения (25.1) сводится к нахождению фундаментальной системы решений.

Определение 25.4. Определителем Вронского (вронскианом) решений y1(x), . . . , yn(x) дифференциального уравнения (25.1) будем называть определитель

Данный определитель будем обозначать символами W (x) и

W[y1(x), . . . , yn(x)].

Теорема 25.3. Решения y1(x), . . . , yn(x) дифференциально-

го уравнения (25.1) линейно зависимы тогда и только тогда, когда W (x) ≡ 0 на < α, β >. Решения y1(x), . . . , yn(x) дифференциального уравнения (25.1) линейно независимы тогда

итолько тогда, когда W (x) ≠ 0, x < α, β >.

Доказательство. Сведем дифференциальное уравнение

(25.1) к дифференциальной системе (25.2). Тогда столбцы определителя W (x) являются решениями дифференциальной системы (25.2). Остальное вытекает из свойств линейных дифференциальных систем с переменными коэффициентами, которые мы докажем позднее.

Поставим обратную задачу: по заданной фундаментальной системе решений φ1(x), . . . , φn(x), дифференциального уравнения (25.1) построить само уравнение (25.1). Искомым диф-

98

ференциальным уравнением будет уравнение вида

W −1[φ1(x), . . . , φn(x)]W [y(x), φ1(x), . . . , φn(x)] = 0. (25.4)

Дифференциальное уравнение (25.4) имеет вид (25.1), так как W [φ1(x), . . . , φn(x)] ≠ 0 на < α, β >. Его решениями служат φ1(x), . . . , φn(x), поскольку при их подстановке в дифференциальное уравнение (25.4) получается определитель с двумя одинаковыми столбцами. Дифференциальное уравнение (25.4) однозначно определяется фундаментальной системой решений φ1(x), . . . , φn(x), в силу того, что эквивалентная ему линейная дифференциальная система (25.2) однозначно определяется своей фундаментальной матрицей (что будет доказано позднее).

Теорема 25.4. Пусть W (x) есть определитель Вронского решений y1(x), . . . , yn(x) дифференциального уравнения (25.1) и x0 < α, β >. Тогда для всех x < α, β > справедлива

формула Лиувилля–Остроградского

( ∫x )

W (x) = W (x0)exp − an−1(t)dt .

x0

Доказательство данного утверждения вытекает из формулы Лиувилля–Остроградского для дифференциальной системы (25.2).

Замечание 25.1. В случае, когда n = 2 и известно частное решение y1(x) ≠ 0 на x0 < α, β > дифференциального уравнения (25.1), то формула Лиувилля–Остроградского позволяет найти общее решение данного дифференциального уравнения в квадратурах. В самом деле, из формулы Лиувилля– Остроградского для решений y1(x) и y(x) дифференциально-

99