Дифференциальные уравнения 1

Будем рассматривать A(x) как матрицу с периодом, равным 2ω. По этому периоду строим матрицу монодромии. Так

как

Φ(x + 2ω) = Φ(x + ω)B = Φ(x)B2, x R,

то матрица монодромии по периоду 2ω равна квадрату матрицы монодромии по периоду ω. Известно, что если B есть вещественная матрица, то матрица B2 имеет вещественный логарифм. Поэтому для вещественной дифференциальной системы (32.1) всегда существует вещественная замена (32.9), где G(x) есть вещественная неособая при всех x R 2ω– периодическая гладкая матричная функция, переводящая дифференциальную систему (32.1) в дифференциальную систему с постоянной вещественной матрицей коэффициентов.

141

§ 33. Голоморфные системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим нормальную систему обыкновенных диффе-

где f есть голоморфная на области G Rn+1 вектор–функция. Тогда для каждой точки (s, ξ1, . . . , ξn) G существует такая ее окрестность

|x − s| < ρ, max |yi − ξi| < R,

i=1,n

в которой вектор–функция f разлагается в сходящийся векторный степенной ряд

akj1...jn Rn, k N {0}, j1 N {0}, . . . , jn N {0}.

Введем вспомогательные обозначения

ξ = (ξ1, . . . , ξn)T , j = (j1, . . . , jn), yj = y1j1 · · · ynjn.

Тогда предыдущий векторный степенной ряд можно записать в виде

∑+∞

akj1...jn(x − s)k(y1 − ξ1)j1 · · · (yn − ξn)jn =

k+j1+...+jn=0

∑+∞

=ak,j(x − s)k(y − ξ)j.

k,j=0

142

Для упрощения рассуждений выполним в исходной дифференциальной системе (33.1) замену

x 7→x + s, y 7→y + ξ

(это равносильно случаю s = 0, ξ = 0). Тогда правая часть дифференциальной системы (33.1) принимает вид

∑+∞

где Π = {(x, y)| |x| < ρ, max |yi − ξi| < R}.

i=1,n

Так как голоморфная на Π вектор–функция является непрерывно дифференцируемой, то из теоремы 18.1 (Пикара–Лин- делефа) вытекает, что дифференциальная система (33.1) при представлении (33.2) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию

Определение 33.1. Векторный степенной ряд будем называть формальным, если о его сходимости ничего не предполагается.

Таким образом, векторный степенной ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение 33.2. Формальный векторный степенной ряд будем называть формальным решением дифференциальной системы (33.1), если после подстановки данного формального векторного степенного ряда в эту дифференциальную систему получаем в правой и левой частях формальные векторные степенные ряды с совпадающими соответствующими коэффициентами.

Далее будем рассматривать существование формального

143

решения

∑+∞

задачи Коши (33.1) – (33.3).

На множестве голоморфных в окрестности точки (0, 0) Π функций g определим линейный дифференциальный опера-

тор

L = ∂x∂ + ∂y∂ · f,

действующий по правилу

Lg = ∂x∂g + ∂y∂g · f.

Вчастности, Ly = f.

По индукции строим k–ую (k > 1) степень линейного диф-

ференциального оператора L:

Lk = L(Lk−1), L0g = g.

При этом отметим, что если y есть решение дифференциальной системы (33.1), то

dxd g(x, y(x)) = ∂x∂g + ∂y∂g · dydx(x) =

= ∂x∂g + ∂y∂g · f(x, y(x)) = Lg(x, y(x)).

Поэтому L называют оператором дифференцирования в силу дифференциальной системы (33.1).

Теорема 33.1. Задача Коши (33.1) – (33.3) имеет (и притом единственное) формальное решение (33.4), где

Ak = k1!Lk−1f|(x,y)=(0,0), k N.

144

Доказательство. Будем искать решение задачи Коши (33.1)

– (33.3) в виде формального векторного степенного ряда (33.4). Из начального условия (33.3) следует, что A0 = 0. После подстановки в дифференциальную систему (33.1), (33.2) формального векторного степенного ряда

∑+∞

y = y(x) = Akxk,

k=1

в левой части получаем формальный векторный степенной

ряд

∑+∞

которое после выполнения указанных в нем действий представимо в виде формального векторного степенного ряда

∑+∞

k=0

Полагая в соотношении (33.6), что x = 0, имеем

B0 = f|(x,y)=(0,0).

Продифференцируем соотношение (33.6) по x, считая y(x) решением дифференциальной системы (33.1), (33.2). Получаем,

что

dxd f(x, y(x)) = ∑+∞ kBkxk−1,

k=1

145

или

∑+∞

При x = 0 имеем

B1 = Lf|(x,y)=(0,0).

Если продифференцировать соотношение (33.7) по x, то получим

и

Bk = k1!Lkf|(x,y)=(0,0), k N {0}.

Приравнивая соответствующие коэффициенты формальных векторных степенных рядов (33.5) и (33.6), получаем

(k + 1)Ak+1 = k1!Lkf|(x,y)=(0,0), k N {0}.

Заменяя теперь в последних соотношениях k на k − 1, имеем, что

Ak = k1!Lk−1f|(x,y)=(0,0), k N {0}.

Теорема 33.1 доказана.

Определение 33.3. Формальный векторный степенной ряд вида

∑+∞ Lkk!y x=0 xk

k=0

будем называть рядом Ли функции y = y(x).

Из соотношения f = Ly следует, что формальное решение y задачи Коши (33.1) – (33.3) представимо рядом Ли.

146

Отметим, что при вычислении выражений

Lk−1f|(x,y)=(0,0)

приходится выполнять лишь действия дифференцирования формальных векторных степенных рядов, сложения и умножения. Поэтому компоненты векторных коэффициентов Ak являются полиномами компонент векторных коэффициентов ai,j с положительными коэффициентами.

Определение 33.4. Голоморфную дифференциальную систему

будем называть мажорантой голоморфной дифференциальной системы (33.1), (33.2), если

|(ak,j)i| 6 (bk,j)i, k N {0}, j N {0}, i = 1, n, (33.9)

где (•)i есть i–я компонента вектор-столбца (•), i = 1, n.

Теорема 33.2. Пусть

∑+∞

y = y(x) = Akxk

k=0

и

∑+∞

z = z(x) = Bkxk

k=0

есть формальные решения задач Коши (33.1) – (33.3) и (33.8), (33.3). Тогда если дифференциальная система (33.8) есть мажоранта для дифференциальной системы (33.1), (33.2), то формальный векторный степенной ряд для формального решения z есть мажоранта векторного степенного ряда для формального решения y, т.е.

|(Ak)i| 6 (Bk)i, k N {0}, i = 1, n.

147

Решение y также голоморфно в некоторой окрестности точки x = 0. В самом деле, из формулы (33.11) на основании теоремы о подстановке степенного ряда в степенной ряд следует, что yi разлагаются в сходящийся абсолютно степенной ряд на некотором интервале (−r, r). Поэтому

∑+∞

y(x) = Akxk, |x| < r.

k=1

Нетрудно показать (У–28), что

()

Таким образом, мы получили, что решение задачи Коши (33.10), (33.3) для модельной дифференциальной системы является голоморфной вектор–функцией в некоторой окрестности точки x = 0.

Теперь рассмотрим на

Π = {(x, y)| |x| < ρ, max |yi| < R}

i=1,n

дифференциальную систему (33.1), (33.2). Не умаляя общности, будем считать, что

ρ > 1, R > 1,

ибо в противном случае с помощью замен

x 7→ρx2 , y1 7→Ry21 , . . . , yn 7→Ry2n ,

получим дифференциальную систему того же типа, но с увеличенными промежутками изменения переменных x, y1, . . . , yn, соответственно.

150