Дифференциальные уравнения 1

§ 31. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим нормальную линейную однородную дифференциальную систему

где A есть постоянная квадратная матрица порядка n. Очевидно, что дифференциальная система (31.1) всегда имеет тривиальное решение y = 0. Будем искать нетривиальные решения дифференциальной системы (31.1) в виде

где ≠ 0 есть числовой n– мерный вектор. Подставляя (31.2) в дифференциальную систему (31.1), получим, что

λeλxh = Aeλxh,

или

На основании (31.1) имеем такое утверждение.

Лемма 31.1. Для того, чтобы вектор–функция (31.2) была нетривиальным решением дифференциальной системы (31.1), необходимо и достаточно, чтобы λ было собственным значением, а h – соответствующим ему собственным вектором отображения Ay, y Rn.

Систему (31.3) запишем в виде

(A − λI)h = 0.

Она имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда

131

Уравнение (31.4) называется характеристическим уравнением дифференциальной системы (31.1).

Пусть все корни λ1, . . . , λn характеристического уравнения (31.4) вещественны и различны. Выбрав из них корень λj и подставив его в систему (31.3), получаем однородную систему линейных уравнений с определителем, равным нулю. Среди решений этой системы есть ненулевое, являющееся собственным вектором hj матрицы A дифференциальной системы (31.1). Поэтому выбранному корню λj соответствует следующее решение дифференциальной системы (31.1):

Так как система собственных векторов матрицы A, отвечающих различным собственным значениям матрицы A, линейно независима, то определитель матрицы, составленной из собственных векторов, отличен от нуля. Поэтому на основании представления (31.5) приходим к выводу, что вектор– функции

образуют фундаментальную систему решений дифференциальной системы (31.1). Значит, ее общее решение имеет вид

∑n

j=1

где Cj, j = 1, n, есть произвольные постоянные.

Пусть среди простых корней характеристического уравнения (31.4) есть комплексные. Они разделяются на пары комплексно сопряженных корней λk = αk+iβk и λk = αk−iβk (так как характеристическое уравнение (31.4) имеет вещественные коэффициенты). Каждому комплексному корню λk = αk +iβk

132

соответствует комплексное решение дифференциальной системы (31.1) в виде

hk = pk + iqk, pk Rn, qk Rn.

Для полученных λk и hk рассмотрим комплекснозначную век- тор–функцию

yk(x) = eλkxhk = e(αk+iβk)x(pk + iqk).

Отсюда на основании формулы Эйлера имеем, что (У–24)

yk(x) = eαkx(pk cos βkx−qk sin βkx)+ieαkx(qk cos βkx+pk sin βkx).

Аналогичным образом, как и для линейных дифференциальных уравнений, приходим к выводу, что функции

являются решениями дифференциальной системы (31.1). Пусть характеристическое уравнение (31.4) имеет m пар

комплексно сопряженных корней λ1, λ1, . . . , λm, λm и вещественные корни λ2m+1, . . . , λn, причем все корни являются простыми. Тогда на основании представлений (31.5) и (31.8) получаем фундаментальную систему решений дифференциальной системы (31.1), на основании которой строим ее общее решение.

Пусть теперь характеристическое уравнение (31.4) имеет кратные корни. Из курса линейной алгебры известно утверждение.

Лемма 31.2. Существует система из n линейно независимых векторов lk(jk), jk = 1, qk, k = 1, s, удовлетворяющих

133

соотношениям

Векторы lk(2), . . . , lk(qk) называют присоединенными векторами, порожденными собственным вектором lk(1). Отметим, что корни λk при разных k могут быть одинаковыми.

Рассмотрим корень λk. Ему соответствует решение

yk(1) = eλkxlk(1).

Кроме того, данному корню соответствуют еще (qk −1) решений, что утверждает следующая теорема.

Теорема 31.1. Каждому корню λk соответствует qk решений вида

Вслучае же комплексного кратного корня λk = αk + iβk

урешений (31.10) дифференциальной системы (31.1), как и ранее, нужно выделить действительную и мнимую части.

Врезультате на основании (31.5), (31.8), (31.10) (и их комплексного аналога) получаем фундаментальную систему решений дифференциальной системы (31.1).

Отметим, что нахождение присоединенных векторов является весьма трудоемкой задачей. Поэтому в ряде случаев на-

ходить частные решения дифференциальной системы (31.1)

134

целесообразно методом неопределенных коэффициентов на основании представлений вида (31.10).

В заключение рассмотрим неоднородную линейную дифференциальную систему со специальной правой частью

dxdy = Ay + f(x), (31.1)

где вектор–функция f(x) имеет вид

α и β есть заданные вещественные числа, Pl(x) и Qm(x) есть вектор–функции, компонентами которых являются многочлены по переменной x со степенями, равными или меньшими, соответственно, l и m. В этом случае частное решение неоднородной системы (31.11) нужно искать в виде

y = eαt(Rq+s(x) cos βx + Tq+s(x) sin βx),

где Rq+s(x) и Tq+s(x) есть вектор–функции, компонентами которых являются многочлены степени q+s с неопределенными пока коэффициентами,

q = max{l, m};

0, если число α + i β не совпадает ни с одним корнем

характеристического уравнения (31.4); s =

k, если число α + i β совпадает с корнем кратности k этого характеристического уравнения.

В заключение отметим, что если правая часть системы (31.11) представляет собой сумму k вектор–функций вида (31.12), то частное решение этой системы находится с помощью принципа суперпозиции из § 30.

135

§ 32. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим нормальную линейную однородную дифференциальную систему

где непрерывная на R квадратная матрица A(x) порядка n является ω–периодической, т.е. A(x+ω) = A(x), x R, ω > 0. Результаты, изложенные в данном параграфе, называют

теорией Флоке–Ляпунова.

Теорема 32.1. Каждую фундаментальную матрицу Φ(x) дифференциальной системы (32.1) можно представить в ви-

где G(x) есть ω–периодическая на R матрица, R – постоянная матрица.

Доказательство. Пусть Φ(x) есть фундаментальная матрица дифференциальной системы (32.1). Тогда и матрица Ψ(x) = Φ(x + ω) также является фундаментальной матрицей этой дифференциальной системы. В самом деле,

Φ′(x + ω) = A(x + ω)Φ(x + ω),

а далее в силу ω–периодичности матрицы A(x) и определения матрицы Ψ(x) получаем, что

Ψ′(x) = A(x)Ψ(x).

Кроме того, матрица Ψ(x) является неособой при всех x R, так как Φ(x) есть неособая матрица. Поэтому существует такая неособая постоянная матрица B, что

136

В силу невырожденности матрица B имеет логарифм. Введем вспомогательные обозначения

R = ω1 Ln B, G(x) = Φ(x)e−xR.

Непосредственными вычислениями проверяем, что условия (32.2) выполнены (У–25). Осталось проверить, что матрица G(x) является ω–периодической. В самом деле

G(x + ω) = Φ(x + ω)e−(x+ω)R = Φ(x)Be−ωRe−xR =

= Φ(x)BB−1e−xR = Φ(x)e−xR = G(x), x R.

Теорема 32.1 доказана.

Постоянная матрица B, определяемая формулой (32.3), называется матрицей монодромии. Она определяется с помощью фундаментальной матрицы Φ(x), которая не единственна. Поэтому и матрица монодромии определяется не однозначно.

Пусть Φ1(x) есть другая фундаментальная матрица дифференциальной системы (32.1). На ее основе определим матрицу монодромии B1:

Φ1(x + ω) = Φ1(x)B1, x R.

Далее учитываем связь между двумя фундаментальными матрицами в виде

Φ1(x) = Φ(x)S, x R, det S ≠ 0.

Сравнивая последнее соотношение с (32.3), получаем, что

B = SB1S−1.

Таким образом, мы получили, что все матрицы монодромии подобны. Отметим, что часто матрицей монодромии называют матрицу, которая определяется нормированной при

137

x = 0 фундаментальной матрицей Φ(x). Тогда из (32.3) имеем, что

Собственные числа µ1, . . . , µn матрицы монодромии называют мультипликаторами дифференциальной системы (32.1), а собственные числа λ1, . . . , λn матрицы R из теоремы 32.1

– характеристическими показателями. Из определения матрицы R имеем, что

1

λj = ωLn µj, j = 1, n.

При этом простым мультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным мультипликаторам – характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности. Отметим также, что характеристические показатели определены с точностью до 2πki, k Z.

0

Отметим, что название "мультипликатор"(множитель) объясняется следующим утверждением.

Теорема 32.2. Число µ является мультипликатором дифференциальной системы (32.1) тогда и только тогда, когда существует такое ненулевое решение φ(x) этой дифференциальной системы, что

138

Доказательство. Согласно (32.4) утверждение, что число µ есть мультипликатор, равносильно существованию ненулевого вектора y0 Cn, такого, что

Решение φ(x), удовлетворяющее начальному условию

φ(0) = y0,

имеет вид

φ(x) = Φ(x)y0, x R.

Отсюда

φ(x + ω) = Φ(x)Φ(ω)y0, x R.

Поэтому соотношение (32.7) равносильно соотношениям

φ(x + ω) = µΦ(x)y0 = µφ(x), x R.

Теорема 32.2 доказана.

Следствие 32.1. Для того, чтобы дифференциальная система (32.1) имела хотя бы одно ω–периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы один из его мультипликаторов был равен 1.

Из формулы (32.2) вытекает, что фундаментальная матрица дифференциальной системы (32.1) представляет собой произведение неособой матрицы G(x) на фундаментальную

с постоянными коэффициентами. Поэтому можно ожидать,

преобразует дифференциальную систему (32.1) в дифференциальную систему (32.8).

139

Так как

G(x) = Φ(x)e−xR,

то

dxd G(x) = A(x)Φ(x)e−xR − Φ(x)e−xRR = A(x)G(x) − G(x)R.

Отсюда и из (32.10) имеем, что

dxdz = Rz.

Таким образом, мы получили следующее утверждение.

Теорема 32.3. Существует линейная замена переменных (32.9), где G(x), x R, есть неособая гладкая ω– периодическая матрица, переводящая дифференциальную систему (32.1) к линейной однородной дифференциальной системе с постоянной матрицей коэффициентов, собственные числа которой есть характеристические показатели дифференциальной системы (32.1).

Данное свойство дифференциальной системы (32.1) называют приводимостью.

Замечание 32.1. Матрицы G(x) в (32.9) и R в (32.8), вообще говоря, комплексные. Это объясняется тем, что логарифм вещественной матрицы не обязательно является вещественным (простейший пример такой матрицы – отрицательное число). Поэтому, если мы желаем привести дифференциальную систему (32.1) к вещественной дифференциальной системе (32.8), а матрица монодромии не допускает вещественного логарифма, то поступают следующим образом.

140