Дифференциальные уравнения 1

§ 4. Задача Коши. Теорема существования и единственности.

Как мы видели из примеров § 2, дифференциальное уравнение (1.1) имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений.

Замечание 4.1. Существуют дифференциальные уравнения (1.1), имеющие единственное решение.

Пример 4.1. Дифференциальное уравнение

√

y′ = −y2

имеет единственное решение y = 0, что вытекает из множества определения правой части.

Поэтому в общем случае для получения какого–нибудь конкретного решения дифференциального уравнения (1.1) необходимы еще дополнительные условия, выделяющие это конкретное решение из множества всех решений дифференциального уравнения. Это приводит к следующему понятию.

Определение 4.1. Задачей Коши для дифференциального уравнения (1.1) будем называть следующую задачу: найти решение y(x) дифференциального уравнения (1.1), такое, что

При этом условие (4.1) будем называть начальным условием (условием Коши), числа x0 и y0 – начальными данными.

Решить задачу Коши (1.1), (4.1) для дифференциального уравнения (1.1) геометрически означает найти интегральную кривую этого дифференциального уравнения, проходящую через заданную точку (x0, y0) G (см. рис. 4.1).

11

Y

(XO,YO)

X

Рис. 4.1.

Поставим задачу: найти достаточные условия, налагаемые на функцию f(x, y), обеспечивающие существование и единственность решения задачи Коши (1.1), (4.1).

Определение 4.2. Будем говорить, что функция f(x, y), определенная на множестве G, удовлетворяет условию Липшица на G по y, если существует такое число L > 0,

называемое постоянной Липшица, что

|f(x, y1) − f(x, y2)| 6 L|y1 − y2|, (x, y1) G, (x, y2) G.

Отметим, что функция f(x, y), имеющая на замкнутом ограниченном множестве G непрерывную частную про-

∂f

изводную ∂y, удовлетворяет условию Липшица на G отно-

сительно переменной y. В самом деле, рассмотрим теорему Лагранжа о конечном приращении функции:

f(x, y1) − f(x, y2) = (y1 − y2)fy′(x, y1 + θ(y2 − y1)), θ (0, 1).

Так как частная производная fy′(x, y) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве G, то по теореме Вейерштрасса

12

она ограничена на этом множестве. Поэтому существует такая постоянная L > 0, что

|fy′(x, y)| 6 L, (x, y) G.

И тогда мы имеем следующую цепочку соотношений

|f(x, y1)−f(x, y2)| = |fy′(x, y1 +θ(y2 −y1))||y1 −y2| 6 L|y1 −y2|,

(x, y1) G, (x, y2) G.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.1 (теорема существования и единственности). Пусть функция f(x, y) удовлетворяет условию Липшица по y на области G и точка (x0, y0) G. Тогда существует единственное решение задачи Коши (1.1), (4.1), определенное в некоторой окрестности (x0 − h, x0 + h) точки x0.

Доказательство теоремы 4.1 мы проведем позднее для более общего случая – систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть на области G выполняются условия теоремы 4.1. Зафиксируем некоторое число

x0 (inf G; sup G),

x x

такое, что множество

G0 = {(x, y) G|x = x0}

не пусто. Далее в качестве начального значения возьмем любое y0, такое, что (x0, y0) G. Тогда задача Коши (1.1), (4.1) имеет единственное решение y = φ(x, y0), причем для каждого значения y0 решение свое. Далее беря различные значения для y0, получаем бесконечное множество решений дифференциального уравнения (1.1). В связи с этим фактом введем следующее понятие.

13

Определение 4.3. Общим решением дифференциального уравнения (1.1) будем называть однопараметрическое семейство функций y = φ(x, C), где C есть параметр, принимающий любое значение из некоторого множества P R, удовлетворяющее следующим условиям:

1)любая функция из этого семейства является решением дифференциального уравнения (1.1);

2)решение задачи Коши (1.1), (4.1) при любом фиксированном наборе начальных данных (x0, y0) G, где G есть область определения функции f(x, y), принадлежит этому семейству.

Определение 4.4. Если на параметр C из определения

4.3ограничений нет, т.е. P = R, то C будем называть свободным параметром (или произвольной постоянной).

Определение 4.5. Решение y = ψ(x) дифференциального уравнения (1.1), полученное из общего решения y = φ(x, C) этого уравнения при фиксированном значении C0 параметра C P , будем называть частным решением данного дифференциального уравнения.

Определение 4.6. Если общее решение дифференциального уравнения (1.1) задано в неявном виде Φ(x, y) = C, то его будем называть общим интегралом данного дифференциального уравнения.

Определение 4.7. Решение в неявном виде Ψ(x, y) = 0 дифференциального уравнения (1.1), полученное из общего интеграла Φ(x, y) = C этого дифференциального уравнения при фиксированном значении C0 параметра C P , будем называть частным интегралом данного дифференциального уравнения.

Замечание 4.2. Если известно общее решение y = φ(x, C), C P , дифференциального уравнения (1.1), то для нахожде-

14

ния решения задачи Коши (1.1), (4.1) достаточно найти значение параметра C, при котором выполняется заданное начальное условие (т.е. разрешить относительно C уравнение φ(x0, C) = y0), а затем подставить найденное значение в общее решение.

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение (1.2). В силу того, что переменные x и y в дифференциальном уравнении (1.2) равноправны, для данного дифференциального уравнения определять задачу Коши удобно в геометрических терминах.

Определение 4.8. Задачей Коши для дифференциального уравнения (1.2) будем называть следующую задачу: найти интегральную кривую дифференциального уравнения (1.2), проходящую через заданную точку (x0, y0) G.

Если Q(x0, y0) ≠ 0, (x0, y0) G, то можно установить равносильность дифференциальных уравнений (1.1) и (1.2)

внекоторой окрестности точки (x0, y0). И тогда изучение задачи Коши для дифференциального уравнения (1.2) сводится

вданной окрестности к изучению задачи Коши для дифференциального уравнения (1.1).

Определение 4.9. Если при любом значении параметра C P соотношение Φ(x, y) = C дает решение дифференциального уравнения (1.2) в неявном виде, то его будем называть общим интегралом данного дифференциального уравнения.

Определение 4.10. Решение в неявном виде Ψ(x, y) = 0, дифференциального уравнения (1.2), полученное из общего интеграла Φ(x, y) = C этого дифференциального уравнения при фиксированном значении C0 параметра C P , будем называть частным интегралом данного дифференциального уравнения.

15

§ 5. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

Дифференциальным уравнением с разделенными переменными будем называть дифференциальное уравнение вида

где функция p(x) непрерывна на (a, b), функция q(y) непрерывна на (c, d), область a < x < b, c < y < d, не содержит особых точек дифференциального уравнения (5.1).

Если существует параметрическое решение x = φ(t), y = ψ(t), t I, дифференциального уравнения (5.1), то подставив его в это дифференциальное уравнение, получим тождество

Замечание 5∫.1. В теории дифференциальных уравнений символом вида f(x)dx, где f(x) есть заданная непрерывная функция на некотором промежутке, принято обозначать

фиксированную первообразную, в отличие от математическо-

∫

го анализа, где символ f(x)dx обозначает множество всех

первообразных функции f(x).

∫

Пусть P (x) = p(x)dx есть какая–либо первообразная

∫

функции p(x), а Q(y) = q(y)dy есть некоторая первообразная функции q(y). Тогда интегрирование тождества (5.2) приводит к соотношению

P (φ(t)) + Q(ψ(t)) = C, t I,

где C есть произвольная постоянная. Поэтому всякое параметрическое решение дифференциального уравнения (5.1) удовлетворяет соотношению

16

при некотором значении параметра C.

Нетрудно видеть, что если x = φ(t), y = ψ(t), t I, есть параметрическое задание гладкой кривой, удовлетворяющей на промежутке I уравнению (5.2) при некотором значении постоянной C, то оно определяет параметрическое решение при некотором значении дифференциального уравнения (5.1). Таким образом, если формула (5.3), где C есть произвольная постоянная, задает гладкую кривую при некотором значении C, то эта формула определяет некоторое параметрическое решение дифференциального уравнения (5.1) и содержит все параметрические решения этого дифференциального уравнения. В итоге приходим к выводу, что формула (5.3) определяет общий интеграл дифференциального уравнения (5.1).

Если необходимо найти интегральную кривую дифференциального уравнения (5.1), проходящую через точку (x0, y0), где x0 (a, b), y0 (c, d), то в силу формулы (5.3) такая кривая однозначно задается формулой

∫x ∫y

p(τ)dτ + q(η)dη = 0.

x0 y0

Пример 5.1. Решите уравнение

xdx + ydy = 0.

Решение. Применяя формулу (5.3), получаем общее решение исходного дифференциального уравнения

17

кривых (6.2) и частей прямых x = x0 и y = y0 в точках касания, получаем множество новых, так называемых составных, решений дифференциального уравнения (6.1).

Пример 6.1. Решите дифференциальное уравнение y′ =

√

3 3 y2.

Решение. Используя соотношение dy = y′dx, из исходного дифференциальное уравнения получаем дифференциальное

уравнение в симметричной форме

√

dy = 3 3 y2dx.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что y = 0 есть решение данного дифференциального уравнения. Предполагая, что y√≠ 0, разделим обе части дифференциального уравнения на 3 3 y2. В результате получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными

dy

√ = dx.

3 3 y2

Отсюда находим, что √3 y = x + C или y = (x + C)3. Нетрудно проверить, что в точках (−C, 0) кривые y = (x + C)3 касаются прямой y = 0. В силу этого исходное дифференциальное уравнение, кроме решений

y = 0, y = (x + C)3,

имеет бесконечное множество составных решений, составленных из частей ранее полученных решений. Например, (см. рис. 6.1), это есть решения ABH, DBE, F GBE.

19

Рис. 6.1. Дифференциальное уравнение вида

y′ = f(ax + by + c),

где f(z) есть заданная непрерывная функция по своему аргументу на некотором промежутке, a, b, c есть заданные вещественные числа, a2 + b2 > 0, заменой z = ax + by + c приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными (У–4)

z′ = a + bf(z).

Пример 6.2. Решите задачу Коши

√

y′ = 4x + 2y − 1, y(0) = 1.

Решение. После замены

z = 4x + 2y − 1

исходное дифференциальное уравнение примет вид

√

z′ = 4 + 2 z.

20