Дифференциальные уравнения 1

имеющее частное решение y = x.

Решение. Замена y = xz приводит исходное дифференциальное уравнение к уравнению (У–19)

2z′′ − z′ = 0.

Его общее решение имеет вид (У–20)

(x) z = C1 + C2exp 2 .

Поэтому общее решение исходного дифференциального урав-

нения имеет вид

(x) y = xz = C1x + C2xexp 2 .

102

§ 26. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка n.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение порядка n

где aj(x), j = 0, n − 1, f(x), есть заданные непрерывные на < α, β > функции. Наряду с дифференциальным уравнением (26.1) рассмотрим соответствующее ему линейное однородное дифференциальное уравнение порядка n

Теорема 26.1. Пусть y0 есть какое–либо решение дифференциального уравнения (26.1) и y = z + y0. Тогда y является решением дифференциального уравнения (26.1)

тогда и только тогда, когда z есть решение дифференциального уравнения (26.2).

Доказательство. Обозначим через Ly левую часть дифференциального уравнения (26.1), а через Lz – левую часть дифференциального уравнения (26.2). Из соотношения y =

так как y0 есть решение дифференциального уравнения (26.1). Поэтому, если y есть решение дифференциального уравнения (26.1), то Ly = f, а поэтому Lz = 0. Это означает, что z есть решение дифференциального уравнения (26.2).

С другой стороны, если z есть решение дифференциального уравнения (26.2), то Lz = 0. Тогда в силу (26.3) имеем, что Ly = f. Поэтому y есть решение дифференциального уравнения (26.1). Теорема 26.1 доказана.

103

Из теоремы 26.1 вытекает, что если известна фундаментальная система решений φ1(x), . . . , φn(x), дифференциального уравнения (26.2), то функция

y = C1φ1(x) + . . . + Cnφn(x) + y0(x),

где C1, . . . , Cn, есть произвольные постоянные, y0 есть частное решение дифференциального уравнения (26.1), является общим решением дифференциального уравнения (26.1).

Таким образом, если известна фундаментальная система решений дифференциального уравнения (26.2), то решение дифференциального уравнения (26.1) сводится к нахождению какого–либо частного решения дифференциального уравнения (26.1). Покажем, как можно в этом случае при n > 2 найти решение дифференциального уравнения (26.1), удовлетворяющее начальным условиям

y(x0) = y′(x0) = . . . = y(n−1)(x0) = 0, x0 < α, β > . (26.4)

Пусть K есть решение линейного однородного дифференциального уравнения (26.2) порядка n > 2, удовлетворяющее начальным условиям

y(x0) = y′(x0) = . . . = y(n−2)(x0) = 0,

y(n−1)(x0) = 1, x0 < α, β > . (26.5)

Построим K. Если φ1(x), . . . , φn(x), есть фундаментальная система решений дифференциального уравнения (26.2), то

K = C1φ1(x) + . . . + Cnφn(x).

Подставив K в начальные условия (26.5), получаем, что

Cj = W −1(x0)Wnj (x0), j = 1, n,

где W (x0) есть определитель Вронского системы φ1(x0), . . . , φn(x0), а Wnj(x0) есть алгебраическое дополнение элемента

104

φj(x0) в W (x0), j = 1, n. Таким образом,

∑n

является частным решением линейного неоднородного дифференциального уравнения (26.1), удовлетворяющим нулевым начальным условиям (26.4).

Доказательство. Из (26.6) вытекает, что K(x + x0 − t)

и ∂jK(x + x0 − t), j = 1, n, являются непрерывными функ-

∂xj

циями от x, x0 < α, β >. Поэтому y0 можно по правилу Лейбница n раз непрерывно дифференцировать. Тогда, учитывая начальные условия (26.5) для K, имеем, что

Очевидно, что y0 удовлетворяет нулевым начальным условиям (26.4). Подставляя выражения для y0 и ее производных в дифференциальное уравнение (26.1), убеждаемся, что y0 есть решение этого дифференциального уравнения. Теорема 26.2 доказана.

Формула (26.7) для y0 называется формулой Коши частного решения дифференциального уравнения (26.1), а метод

105

ее получения называется методом Коши. Метод Коши позволяет найти общее решение дифференциального уравнения (26.1) в квадратурах.

Решения дифференциального уравнения (26.1) можно получить и другим методом – методом вариации постоянных (методом Лагранжа). Если φ1(x), . . . , φn(x), есть фундаментальная система решений дифференциального уравнения (26.2), то его общее решение имеет вид

y = C1φ1(x) + . . . + Cnφn(x),

где C1, . . . , Cn, есть произвольные постоянные. Будем искать общее решение дифференциального уравнения (26.1) в виде

где C1(x), . . . , Cn(x), есть неизвестные непрерывно дифференцируемые на < α, β > функции. Потребуем, чтобы

y(j) = C1(x)φ(1j)(x) + . . . + Cn(x)φ(nj)(x), j = 1, n − 1.

В результате получаем систему n − 1 уравнений для определения производных C1′ (x), . . . , Cn′ (x):

C1′ (x)φ(1j)(x) + . . . + Cn′ (x)φ(nj)(x) = 0, j = 1, n − 2. (26.9)

Еще одно уравнение получаем подстановкой y(j), j = 0, n, в дифференциальное уравнение (26.1). Обозначим левую часть дифференциального уравнения (26.1) через Ly. Тогда подставляя y и ее производные в дифференциальное уравнение (26.1), получаем уравнение

C1′ (x)φ(1j)(x) + . . . + Cn′ (x)φ(nj)(x) + C1(x)Lφ1(x)+ + . . . + Cn(x)Lφn(x) = f(x).

Так как φ1(x), . . . , φn(x), есть решения дифференциального уравнения (26.2), то Lφ1(x) = . . . = Lφn(x) = 0 и в результате

106

Линейная алгебраическая система (26.9), (26.10) для C1′ , . . .

, Cn′ , позволяет однозначно определить C1′ , . . . , Cn′ , так как определитель системы (26.9), (26.10) представляет собой определитель Вронского W (x) = W [φ1(x), . . . , φn(x)], а он отличен от нуля на < α, β > в силу того, что φ1(x), . . . , φn(x), есть фундаментальная система решений дифференциально-

го уравнения (26.2). Обозначим через Wnj(x) алгебраическое дополнение элемента φ(jn−1)(x) в вронскиане W (x), j = 1, n.

Поэтому по формулам Крамера

C1′ (x) = W −1(x)Wn1(x)f(x),

. . . . . . . . . . . . . . .

Cn′ −1(x) = W −1(x)Wn,n−1(x)f(x),

Cn′ (x) = W −1(x)Wnn(x)f(x).

В силу непрерывности W −1(x), f(x) и Wnj(x), j = 1, n, на < α, β > получаем, что

b

где C1, . . . , Cn, есть произвольные постоянные, а знак интеграла означает фиксированную первообразную.

Подставляя выражения Cj(x) из (26.11), j = 1, n, в формулу (26.8), получаем формулу общего решения дифференци-

где K определяется формулой (26.6) при x0 = x. При этом если в качестве первообразной взять интеграл с переменным

107

x0

удовлетворяющее начальным условиям (26.4).

108

§ 27. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами

волические произведения piy, i = 0, n, степеней оператора p и дифференцируемой функции y, считая, что при i = 0 такое произведение равно самой функции. Тогда левую часть дифференциального уравнения (27.1) можно записать в виде

(

dn dn−1

)

dxn + an−1 dxn−1 + . . . + a0 y = L(p)y,

где

L(p) = pn + an−1pn−1 + . . . + a0

есть многочлен степени n от оператора p. При таком условном обозначении вместо дифференциального уравнения (27.1) будем иметь операторное уравнение

Частное решение операторного уравнения (27.2) будем искать в виде

Подставляя (27.3) в операторное уравнение (27.2), получаем, что

L(p)eλx = (λn + an−1λn−1 + . . . + a0)eλx = L(λ)eλx = 0.

109

Если λ есть корень алгебраического уравнения

то (27.3) есть решение операторного уравнения (27.2). Алгебраическое уравнение (27.4) будем называть характе-

ристическим уравнением дифференциального уравнения (27.1).

Рассмотрим сначала случай, когда все корни характеристического уравнения (27.4) вещественны и различны. Им соответствуют n решений

yk = eλkx, k = 1, n.

Непосредственными вычислениями убеждаемся, что они образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения (27.1) (У–21) (указание: использовать определитель Вандермонда). Общее решение дифференциального уравнения (27.1) в этом случае имеет вид

∑n

k=1

Если характеристическое уравнение (27.4) имеет простые комплексные корни, то они входят парами комплексно сопряженных чисел λk = αk +i βk и λk = αk −i βk, так как коэффициенты характеристического уравнения (27.4) вещественны.

Для комплексного корня λk = αk +i βk характеристического уравнения (27.4) рассмотрим комплекснозначную функцию вещественного переменного

Эта функция дифференцируется по обычным правилам:

()(l)

110