Направления
Для определения направления кристаллических плоскостей мы ограничимся примитивными решетками. В таких решетках координаты всех узлов целочисленны. Каждую кристаллическую плоскость можно представить уравнением
Ax By Cz 1,
где A, B и C – длины отрезков (в единицах длин базисных векторов), отсекаемые этой плоскостью на координатных осях. Эти длины всегда выражаются рациональными числами (положительными и отрицательными).
Направления
Таким образом, уравнение плоскости всегда можно записать в виде
hx ky lz D,
где h, k и l – целые числа. Можно считать, что они
не имеют общего множителя, т.к. на него всегда можно сократить. Полученные целые числа определяют направление кристаллической плоскости. Эти числа называют индексами Миллера. Для обозначения направления плоскости индексы Миллера заключают в круглые скобки (hkl). Если какой-либо из индексов отрицателен, то знак « – » пишут над этим индексом.
Направления
Для указания направления какой-либо
узловой линии кристаллической решетки
достаточно указать разности координат двух соседних идентичных узлов (в единицах
длин базисных векторов), лежащих на этой
линии. Полученные таким образом целые числа называют индексами направлений и
заключают в квадратные скобки.
Например, индексами направлений пространственной диагонали куба будут
[111].
Реальные решетки
Кубическая гранецентрированная решетка
NaCl .
Реальные решетки
Гексагональная решетка графита.
Реальные решетки
Сложная решетка алмаза состоит из двух кубических гранецентрированных решеток.
Теплоемкость кристаллов
Как уже отмечалось, при вычислении теплоемкости кристаллов (см. Тему 10) Эйнштейн не правильно предположил, что в кристалле могут быть возбуждены все частоты колебаний атомов, расположенных в узлах кристаллической решетки. На самом деле атомы влияют друг на друга и, поэтому, не все частоты являются разрешенными. В частности,
существует некоторая предельная частота ωmax, выше которой колебаний с такой частотой нет. Правильное выражение для теплоемкости было получено П. Дебаем в 1912 г.
Теплоемкость кристаллов
В соответствии с теорией Дебая внутренняя энергия молярного кристалла может быть вычислена по формуле
|
|
|
U 3NA |
, |
|
|
|
где (см. Тему 10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g d , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
exp |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
а функция распределения частот g(ω) имеет вид |
|
|
|
9N |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
A |
|
|
, |
|
max , |
3 |
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
max . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
398 |
Теплоемкость кристаллов
После преобразований можно получить
|
T |
|
|
|
U U0 |
3RT D |
D |
|
, |
TD |
max |
, |
|
|
|
|
T |
|
|
k |
где U0 – нулевая энергия кристалла
TD – температура Дебая; и функция Дебая
имеет вид
D y |
3 |
y |
x3dx |
. |
|
0 |
|
|
y3 |
exp x 1 |
Теплоемкость кристаллов
В случае высоких температур (T→∞)
можно получить
и, следовательно, молярная теплоемкость
кристалла имеет вид
что согласуется с законом Дюлонга-Пти.
