2.2. Скорость точки

Скорость – это векторная величина, которая характеризует быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.

Векторный способ задания движения. Положения движущейся точки в каждый момент времени определяется радиус-вектором , который является функцией времени. Допустим, в момент времениt точка занимает положение М, определяемое радиус-вектором , а в момент времени=t + Δ t – положение М₁, определяемое радиус-вектором ₁, причем ₁, причем 0 – центр отсчета. Из треугольника 0 М М₁ следует:

Вектор точки в момент времени t:

Таким образом,

(2.2)

а это значит, что вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиус-вектора точки во времени.

Естественный способ задания движения. Пусть известны траектория АВ, начало и направления отсчета дуговой координаты, а также уравнение движения точки S = f (t). Дуговые координаты точек М и М₁ имеют следующие значения:

S = 0 M, S₁ = 0 M₁ = 0 M + M M₁ = S + Δ S.

Приращение дуговые координаты

Δ S =  M M₁.

Из произвольного центра 0, проведем в точку М радиус-вектор и определение скорость в момент времениt:

Дуговая координата – S, от нее зависит радиус-вектор движущейся точки. Каждому ее значению соответствует определенное значение.

Пусть

тогда

В конкретном случае

тогда вектор направлен так же, как вектор. При ΔS  0 его направление стремится к направлению касательной, проведенной из точки М в сторону увеличения дуговой координаты S. Модуль этого вектора стремится к единице:

Следовательно, вектор направлен по касательной к кривой в сторону увеличения дуговой координаты. Вектор– от этого направления:

(2.3)

Вектор скорости:

(2.4)

Значит,

(5.4)

модуль скорости равен абсолютному значению производной от дуговой координаты точки по времени.

Координатный способ определения модуля и направления скорости точки по уравнениям ее движения. Пусть заданы уравнения движения точки: х = f₁ (t); y = f₂ (t); z = f₃ (t).

Так как

и

то можно найти производную скорости, учитывая, что орты имеют неизвестные модули и направления, т.е. постоянны и могут быть вынесены за знак производной:

Разложение скорости на компоненты по осям координат будет иметь вид:

Отсюда найдем:

(2.4)

Подставим проекции скорости на оси декартовых координат, может определить модуль и направления скорости точки по следующим формулам:

(2.5)

Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

2.3 Ускорение точки

Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости точки. Пусть в момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость , а в момент времениt₁ = t +  t она занимает положение М и имеет скорость Разделив приращение векторана промежуток времени t, можем получить вектор среднего ускорения точки за этот промежуток:

(2.4)

Поскольку скорость является векторной функцией от времени

и

то

(2.5)

Вектор ускорения точки равен первой производной от скорости или второй производной от радиус-вектора точки по времени.

Определение модуля и направления ускорения точки по уравнениям движения в декартовых координатах: х = f₁ (t), y = f₂ (t); z = f₃ (t). Радиус-вектор движущейся точкиМ имеет вид:

тогда

Отсюда получаем

(2.8)

Проекции ускорения точки на неподвижные оси декартовых координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени или первым производным по времени от проекции скорости на соответствующие оси.

Естественные координатные оси. Проведем в точке М кривой АВ соприкасающуюся плоскость, нормальную плоскость, перпендикулярную касательной, и спрямляющую плоскость перпендикулярную соприкасающейся и нормальной плоскостям, образующую с этими плоскостями естественный треугольник. Естественные координатные оси – это три взаимно перпендикулярные оси: касательная, направленная в сторону возрастания дуговой координаты; главная нормаль, направленная в сторону вогнутости кривой; бинормаль, направленная по отношению к касательной и главной нормали. Вектор средней кривизны кривой на определенном участке равен:

Определим проекции ускорения точки на естественные координатные оси:

После преобразований получим:

Ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали проекция ускорения точки на главную нормаль равна квадрату скорости точки, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке:

(2.9)

Проекция ускорения точки на касательную равна второй производной от дуговой координаты точки по времени или первой производной от алгебраической скорости точки по времени:

(2.10)

Проекция ускорения точки на естественные оси:

Нормальное ускорение существует лишь при криволинейном движении точки и характеризует изменение направления скорости:

Касательное ускорение точки существует лишь при неравномерном движении точки характеризует модуля скорости:

Модуль ускорения определения следующей формулой.

(2.11)