6.3 Пример определения геометрических характеристик плоских сечений

Для сечения изображённого на (рисунок 5.5), определить положение главные и центральные моменты инерции

6.5 – рисунок

Решение:

3.2.1. Находим по таблице сортамента из приложений I, II, III, IV площадь, моменты инерции и координаты центра тяжести каждой фигуры (рисунок 6.6).

№20 швеллер үшін №20 қоставр үшін

Для швеллера №20. Для двутавра №20.

Рисунок 6.6

2) Определяем статические моменты швеллера и двутавра относительно этих осей. Статические моменты швеллера относительно своих центральных осей равны нулю, а статические моменты двутавра относительно осей

;

;

;

.

Площадь всего составного сечения:

.

Тогда координаты центра тяжести составного сечения (рисунок 6.6):

,

.

Определяем осевые и центробежные моменты инерции составного сечения относительно центральных осей :

Для швеллера:

;

.

Для двутавра:

;

.

Найдём осевые моменты инерции относительно осей для швеллера и двутавра:

Найдём осевые моменты инерции относительно осей для всего сечения.

;

.

Найдём центробежный момент инерции швеллера и двутавра относительно осей .

Центробежный момент инерции всего сечения:

.

Найдём положение главных центральных осей инерции сечения

;

, .

Главные центральные оси u и v будут повернуты относительно осей х_с и у_с на угол  против часовой стрелки (рисунок 5.7).

Значение главных центральных моментов инерции сечения определим по формуле (5.12).

,

,

.

Главные центральные моменты инерции можно найти и по следующим формулам:

;

.

.

Вычислим главные радиусы инерции:

,

.

Проверим точность вычислений.

;

Рисунок 6.7

7. Кручение

7.1. Общие сведения

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент Мк.

Если прямой брус находится в состоянии покоя или равномерного вращения, то алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, равна нулю.

Внутренние крутящие моменты определяются по внешним скручивающим моментам с помощью метода сечений (рисунок 7.1а).

Крутящий момент в поперечном сечении бруса равен сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения (рисунок 7.1б).

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса внутренний момент представляется направленным по движению часовой стрелки (рисунок 7.1б).

Рисунок 7.1- Метод сечений

График изменения крутящих моментов по длине бруса называют эпюрой крутящих моментов.

В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента.

При кручении брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, принимаются следующие гипотезы:

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации остаются плоскими и нормальными к ней и после деформации.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою длину.

3. Расстояние между поперечными сечениями не изменяются.

Кроме того, предполагается, что при кручении остается справедливым закон Гука при сдвиге:

τ = G·γ ,(7.1)

где τ - касательное напряжение;

G - модуль сдвига;

γ - угол сдвига.

Если крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса имеет одно и то же значение, а размеры сечения постоянны по всей его длине, то угол закручивания определяется по формуле:

, (7.2)

где l - длина участка (м),

Jp - полярный момент инерций (м⁴).

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения круглого бруса определяется по формуле:

,(7.3)

где r- расстояние от оси бруса до точки;

Jp- полярный момент инерций.

Рисунок 7.2. Эпюра касательных напряжений

В центре (при r =0 ) касательные напряжения равны нулю (рисунок 7.2.). Наибольшее значение касательного напряжения приr_max = D/2:

, (7.4)

где Wp -полярный момент сопротивления :

. (7.5)

Для круглого сечения диаметром Dполярные момент инерции и момент сопротивления определяются по формулам:

; (7.6)

. (7.7)

Для кольцевого сечения:

; (7.8)

, (7.9)

где - β = d /D;d- внутренний диаметр кольца.

Относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины) определяется по формуле:

, (7.10)

где GJ_p– жесткость стержня при кручении.

Условие жесткости при кручении имеет вид:

, (7.11)

где [θ]– допускаемый относительный угол закручивания.

Условие прочности при кручении:

, (7.12)

где [τ ] - допускаемое касательное напряжение.

Задача подбора сечения производится по условию жесткости и условию прочности.

Для сплошного сечения:

; (7.13)

. (7.14)

Для кольцевого сечения:

; (7.15)

. (7.16)

За окончательный результат принимается большее значение диаметра.

7.2. Задание РГР-М 7 Расчет на прочность и жесткость при кручении

Пусть к валу (рис. 7) передается через ведущий шкив вращение со скоростью n₀ об/мин и снимается мощности P₁ и P₂ с рабочих шкивов. Необходимо построить эпюру крутящих моментов. Из условия прочности и жесткости определить диаметр вала. Построить эпюру касательных напряжений  в опасном сечении и эпюру угла закручивания по длине. Как изменится внешний диаметр вала, если взять вал кольцевого сечения ( = d₀/d = 0,5), G = 8  10⁴ МПа. Данные взять из рисунка 7.3. и таблицы 7.

1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Рисунок 7.3

Таблица М 7

№ задания	P1 кВт	P2 кВт	а м	в м	с м	n0 об/мин	Q рад/м	 МПа
0	100	120	1,2	1	1,1	1000	5	140
1	110	110	1,1	1,2	1	1000	5	145
2	120	120	1	1,1	1,2	1000	5	145
3	130	100	0,9	1	1,1	1500	4	140
4	125	110	1,3	0,9	1	1500	4	150
5	115	115	1,1	1,3	0,9	1500	4	150
6	95	100	1	1,1	1,3	1200	6	150
7	100	150	1,2	1	1,1	1200	6	160
8	105	120	0,9	1,2	1	1200	6	160
9	120	130	1	0,9	1,2	1400	5	160

Пример: Пусть N₁ = N₂ = 100 к Вт, а = 1,2 м, в = 1,4 м, с = 1,6 м. ₀ = 1000 об/мин, Q = 5 рад/м,  = 150 МПа, G = 8  10⁴ МПа.

Решение. По мощности находим крутящие моменты

Предварительно составим уравнения равновесия вала (рис. 7.4).

Рисунок 7.4

 М_z = 0: М₂ + М₁ – М_В = 0.

Отсюда М_В = М₁ + М₂ = 1,911 (кН м). По найденным моментам строим эпюру моментов. Максимальный крутящий момент равен М_{к тах} = М_В = 1,911 кНм. Из условия прочности находим.

Из условия жесткости получим

Окончательно примем d = 4,5 см.

Угол закручивания определим по формуле , закрепив одного из сечений, например прикрепление ведущего шкива. Тогда₁ в зоне прикрепления первого ведомого шкива будет

Угол закручивания в месте прикрепления второго шкива будет равен

Эпюра углов закручивания приведена на рисунке 7.4.

Определим диаметр кольцевого сечения ( = 0,5).

Из формул

Оказывается d = 4,09см, что в 1,02 раза больше, чем для сплошного сечения.