3. Построение приблизительного вида изогнутой оси балки

При построении приблизительного вида изогнутой оси балки по эпюре М_х необходимо знать, что знак изгибающего момента связан с характером деформаций балки от действия заданной внешней нагрузки. Если на участке балки изгибающий момент положителен, то балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, а если отрицателен – выпуклостью вверх. В тех же сечениях, где изгибающий момент равен нулю, кривизна балки меняет свой знак, т.е. ось балки в этих сечениях имеет точки перегиба, при этом всегда следует помнить, что прогибы балки на опорах равны нулю.

Анализируя эпюру М_х (см рисунок 6.5 г) видим, что на участке АО растянуты нижние волокна, значит на этом участке изогнутся ось балки будет иметь выпуклость вниз. На участке ОD растянуты верхние волокна, поэтому изогнутая ось балки на этом участке будет иметь выпуклость вверх. Таким образом, под точкой О, где М_х = 0, кривизна изогнутой оси балки меняет знак, т.е. упругая линия имеет в этом сечение точку перегиба. Учитывая это, строим приблизительный виз изогнутой оси балки (см. рисунок 6.5 д).

8.3.4 Подбор поперечного сечения балки

Опасным сечением является то, в котором возникает наибольший по абсолютной величине изгибающий момент. В нашем примере опасным является сечение Е, где М_тах = 42,5 кН · м.

Прямоугольное сечение балки из клееной древесины подбираем из условия прочности при расчетном сопротивлении [τ] = 16 М Па = 16000 к Па и соотношении стороны h : в = 1,5

Откуда требуемый момент сопротивления сечения балки при изгибе

Момент сопротивления прямоугольного сечения равен

Приравняв его получим:

Тогда

Округляя с точностью до 0,5 см, принимаем брус сечением h х в = 29 х 19 (W_х = 2663 см³).

8.4 Пример 2 решениея ргр-6 для 2-х шарнирной балки

8.4.1 Построение эпюр Q_у и М_х.

Используя методические указа-ния, сделанные при построении эпюр для схемы I, в этой схеме балки в первую очередь, необходимо определить опорные реакции.

Определение опорных реакций (рисунок 6.10б)

Опорные реакции вычисляем из уравнений равновесия статики, а именно: Σ z = 0; Σ М_А = 0; Σ М_В = 0. Рассматривая первое уравнение, получим Σ z = Н_А = 0. Из второго уравнения имеем Σ М_А = – Р  1 + q  5  4,5 – т – R_B  6 = 0;

откуда

.

Из третьего уравнения будем иметь

Опорные реакции R_A и R_B получились положительными это говорит о том, что направления их были выбраны правильно. В противном случае их направления следует изменить на обратные.

После определения опорных реакций всегда следует произвести проверку правильности вычисления их. Для этого составляем уравнения равновесия Σ у = 0:

Удовлетворение этого уравнения говорит о правильности вычисления и направление опорных реакций.

Определение количества участков

Учитывая, что границами участков являются точки приложения внешних нагрузок и опорных реакций, заданная балка имеет четыре участка: I участок – КА; II участок – АС; III участок – СВ и IV участок – ВD.

Рисунок 8.10

8.4.2 Составление аналитических выражений изменения Qу, Мх и определение значений их в характерных сечениях каждого участка

Приняв начало координат в центре тяжести сечения К и проведя сечения в пределах I участка, рассмотрим равновесия левой отсеченной части балки длиной z₁ (рисунок 8.11).

Рисунок 8.11 Рисунок 8.12

Составим уравнения равновесия Σ у = 0 и для этой части, найдем аналитические выражения измененияQ_у и М_х на участке I, где z₁ изменяется в пределах 0 ≤ z₁ ≤ 1 м.

(постоянная величина)

(уравнение прямой линии)

Знак «минус» у Q_у, говорит о том, что в проведенном сечении возникает поперечная сила, действующая в направлении, обратном показанному на рисунке 8.11, а у М_х – что в сечении будет возникать изгибающий момент, растягивающий верхние волокна, а не нижние как показано на рисунке 8.11.

Для определения величин Q_у и М_х в характерных сечениях этого участка поставим их значения z₁ в полученные аналитические выраже-ния:

z₁ = 0 – при

z₁ = 1 м – при

Проведя сечения в пределах II участка, рассмотрим равновесия левой отсеченной части балки (рисунок 8.12) и из уравнения равновесия ее Σ у = 0 и найдем аналитические выражения измененияина этом участке, гдеz₂ изменяется в пределах 1 м ≤ z₂ ≤ 3 м.

(постоянная величина)

(уравнение прямой линии)

Подставим в полученные выра-жения значения z₂, соответствующие граничным сечениям участка II, определим величины возникающие в этих сечениях:

z₂ = 1 м – при

z₂ = 3 м – при

Сделав сечение в пределах III участка, составив и решив уравнения равновесия Σ у = 0 и для левой отсеченной части (рисунок 6.13), получим аналитические выражения изменения и, на участкеIII, где z₃ изменяется в пределах 3 м ≤ z₃ ≤ 7 м.

Рисунок 8.13

( уравнение прямой линии).

( уравнение квадратной параболы).

Теперь найдем величины ив граничных сеченияхС и В участка III, подставим в выражения изменений исоответст-вующие им значения z_3:

z₃ = 3 м – при

z₃ = 7 м – при

Как видно, поперечная сила на этом участке имеет нулевое значение и меняет знак (см. рисунок 8.10 в). Поэтому в сечении, где будет возникать экстремальное значениеИзгибаю-щего момента. Для определения его вначале найдем величину z₀ при котором = 0. Приравняв выражение длянулю, получимОткуда

Теперь, подставив найденное значение z₀ = 4,5 м ввыражение для , найдем величину экстремаль-ного значения изгибающего момента на этом участке М_тах = 72,5 кН ∙ м.

Для получения аналитических выражений изменения ина участкеIV целесообразно начало координат перенести в сечение D и рассматривать равновесие правой отсеченной части, так как в этом случае, вследствие меньшего количества внешних сил, приложенных к правой части балки, аналитические выражения будут проще по своему виду, а вычисление ординат менее трудоемким.

Рисунок 8.14

Аналитические выражения ина участкеIV, где z₄ изменяется в пределах 0 ≤ z₄ ≤ 1 м, получим из решения уравнений равновесия Σ у = 0 и , составленных для правой части балки длинойz₄, отсеченной сечением в пределах этого участка (рисунок 8.14).

(уравнение прямой линии)

( уравнение квадратной параболы)

В граничных сечениях D и B участка IV ординаты эпюр ибудут равны:

z₄ = 0 м – при

z₄ = 1 м – при

Так как величина на участкеIV изменяется по закону квадратной параболы, то для уточнения ее очертания надо определить ординату эпюры в каком-то промежуточном сечении. Например, приz₄ = 0,5 м, тогда ордината будет равна:

8.4.3 Построение эпюр Q_y и М_х для всей балки

Построение эпюр идля всей балки откладывая перпен-дикулярно от оси абсцисс в удобном для пользования масштабе значения ивозникающие в характере и промежуточных сечениях каждого участка, и соединяя концы полученных ординат линиями, соответствующими законом измененияина каждом участке строим эпюрыидля всей балки и проверить правильности построения эпюр с помощью указанных в решении схемыI положений (рисунок 8.10 в, г).

Анализируя эпюру (рисунок 8.10 г), видим, что на участке КО растянуты верхние волокна и поэтому на этом участке изогнутая ось балки будет иметь выпуклость вверх. На участке ОD растянуты нижние волокна и изогнутая ось балки будет иметь выпуклость вниз. Вследствие этого под точкой О, где = 0, будет точка перегиба. Учитывая этого и то, что прогибы в опорных сечениях равны нулю, строим приблизительный вид изогнутой оси балки (рисунок 8.10 д).

4. Подбор сечения балки

Опасным является сечение Е, где возникает наибольшим по абсолютной величине М_тах = 72,5 кН ∙ м. Двутавровое сечение балки подбираем из условия прочности при изгибе при расчетном сопротивлении [τ] = 200 М Па = 20000 к Па (сталь).

Откуда требуемый момент сопротивления W_x равен

По сортаменту (ГОСТ 8239-72) принимаем двутавр № 27 с W_x = 371 см³. В этом случае проверка прочности получается недонапряжение, то оно будет меньше 5%, что допускается СН и П при практических расчетах.