1.2.3. Комбинированное управление

Чаще всего системы регулирования выполняют комбинированными. Для этого в систему регулирования по отклонению прибавляют контур регулирования по возмущению (рис. 1.12).

Рисунок 1.12 - Функциональная схема комбинированной системы автоматического управления

2. Понятие передаточной функции

В теории автоматического управления вместо дифференциальных уравнений часто используются передаточные функции. Передаточные функции получают из дифференциальных уравнений путем их преобразования по Лапласу [2].

Преобразование Лапласа заключается в следующем.

Пусть дана некоторая функция действительной переменной, причем такая, что интеграл в правой части равенства является сходящейся функцией.

Тогда преобразование Лапласа будет иметь вид:

,

(2.1)

где .

Используя преобразование, можно каждой преобразованной по Лапласу функции, называемой оригиналом, поставить в соответствие функциюкомплексной сменной, при этом функцияназывается изображением функции.

Преобразование Лапласа имеет ряд свойств. Например, дифференцированию функции по переменной, соответствует операция умноженияна комплексную переменную:

,

(2.2)

А интегрированию функции соответствует операция деленияна:

.

(2.3)

Таким образом, операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются в пространстве изображений более простыми алгебраическими операциями - соответственно умножением и делением на.

Это позволяет дифференциальное уравнение, записанное относительно искомой функции , заменить в пространстве изображений на алгебраическое уравнение относительно изображения. Решив это алгебраическое уравнение, получим изображение решения исходного дифференциального уравнения.

Для определения оригинала нужно воспользоваться обратным преобразованием Лапласа , которое устанавливает связь между изображениеми соответствующим ему оригиналом:

.

(2.4)

Применим преобразование Лапласа к анализу непрерывных линейных систем автоматического регулирования.

Будем считать, что процессы, которые происходят в САУ, описываются линейными дифференциальными уравнениями с нулевыми начальными условиями и постоянными коэффициентами. В этом случае можно записать:

(2.5)

где -параметры системы (звена).

Применяя преобразование Лапласа, получим:

(2.6)

где - изображение входного сигнала;- изображение выходного сигнала.

Разделив переменные, запишем:

(2.7)

Передаточной функцией (рис. 2.1) системы (звена) называют отношение изображения по Лапласу выходного сигнала системы (звена) к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях:

,

(2.8)

где ,-полиномы числителя и знаменателя.

Рисунок 2.1 - Передаточная функция системы (звена)

В качестве примера рассмотрим математическое описание объекта управления - гидравлического резервуара при заполнении его водой (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 - Заполнение гидравлического резервуара водой

Пусть в единицу времени в резервуар подается воды. Необходимо определить изменяемый уровень водыв резервуаре с основанием.

Объем воды в резервуаре определяется как площадь основания, умноженная на высоту:

,

(2.9)

Откуда

.

(2.10)

Количество воды, поступившей в резервуар за время , равно:

,

(2.11)

где - интервал времени.

Таким образом, изменение уровня воды за интервал времени :

,

(2.12)

или обозначив , окончательно запишем:

,

(2.13)

Перейдя от приращений к дифференциалам и взяв интеграл, получим:

.

(2.14)

Выполним преобразование по Лапласу:

.

(2.15)

Передаточная функция системы, соответствующая уравнению (2.15), изображена на рис. 2.3.

Рисунок 2.3 - Передаточная функциязаполнения гидравлического резервуара водой