- •Модуль 1 (Лекції №1-3) Розв’язання нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь Лекція 1
- •1. Методи розв’язання нелінійних рівнянь.
- •Одне рівняння
- •2. Теоретичні положення.
- •3. Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь
- •3.1 Метод половинного ділення.
- •Лекція 2
- •3.2 Метод пропорційних частин (хорд)
- •3.3 Метод Рибакова
- •Лекція 3
- •3.4 Метод Ньютона (дотичних)
- •3.5 Метод січних
- •Лекція 4-5. Початкова обробка даних
- •Лекція 6-7 Інтерполяція функцій Постановка задачі інтерполяції
- •Поліноміальна інтерполяція
- •Багатоінтервальна інтерполяція
- •Інтерполяція для випадку рівновіддалених вузлів
- •Інтерполяційні формули Ньютона
- •Інтерполяційні формули Гаусса
- •Перша інтерполяційна формула Гауса:
- •Друга інтерполяційна формула Гауса:
- •Інтерполяційна формула Стірлінга
- •Інтерполяційна формула Бесселя
- •Інтерполяція для випадку довільних вузлів. Інтерполяційна формула Лагранжа
- •Лінійних алгебраїчних рівнянь.
- •Метод гауса.
- •Метод Рунге-Кута
- •Метод а.Н. Крилова послідовних наближень
- •Метод Адамса
- •2. Розробка програми
- •2.1 Обчислювальна схема методу Рунге-Кута:
- •2.2 Обчислювальна схема методу Адамса:
- •2.3 Обчислювальна схема методу Крилова:
- •2.4 Структура програми
- •2.5 Опис роботи програми
- •2.6 Опис інтерфейсу користувача
- •2.7 Приклад роботи програми
- •Список літератури:
- •Лекція 14-15.Чисельне інтегрування функцій
- •1. Вступ. Загальні відомості про чисельні інтегрування.
- •2. Огляд методів чисельного інтегрування.
- •2.1 Метод прямокутників.
- •2.2 Метод трапецій
- •1.1.2 Метод Сімпсона (парабол)
- •1.1.3Метод Ньютона-Котеса.
- •2. Функції обчислення інтегралів у вигляді підпрограм.
- •Обчислення інтеграла за допомогою методу трапецій та парабол
- •Лекція 17. Системи диференціальних рівнянь.
- •Дифференціальні рівняння вищого порядку
- •Метод прогону.
- •Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).
- •Метод прогону.
- •Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).
Метод Рунге-Кута
Розглянемо випадки загального підходу за назвою метод Рунге-Кутта, у якому значення функції yn+1 у точці xn+1 обчислюють тільки за допомогою значення функції yn у попередній функції xn . Сутність методу полягає в тому, що для замкнутого відрізка [xn , xn + h] знаходяться точки /0,1,…m,0,…n-1,n/ і підбирають сталі R0, R1,…,Rmтак, щоб для інтегральної кривої в=f(x), що проходить через точку / x0, y0 / , ордината aпроксимувалася виразом
K= y0 + h[ R0f(0, 0) + R1 f(1 ,1 ) + … + Rm f(m, m)].
При цьому 0 = x0; 0 = y0; 1 = x0 + 0h; 1 = y0 + 0k1;
K1= h f(0, 0); 2 = x0 + 1h; 2 = y0 + 1k1 + 2 k2;
K2= h f(1, 1).
Кількість членів апроксимаціїу квадратнихдужкахвизначаєпорядокметодуРунге-Кута.
В окремому випадку, алгоритм четвертого порядку має вид:
K1 = h * f(xn,yn); K2 = h*f(xn + h/2, yn + K1/2);
K3 = h*f(xn + h/2, yn + K2/2); K4 = h*f(xn + h, yn + K3);
yn+1 = yn + ( K1+ 2 K2+ 2 K3+ K4)/6,
Коефіцієнти й обирані точкивизначвютьприрозкладенніфункціїіfу рядТейлорапо ступенях крокуhі прирівнюванням однакових ступенівhу лівій і правій частинах рівності
’(x0 + h) = f (x0 + h, ( x0 + h)).
Оцінка похибкиметоду дуже скрутна. Порядок точності методу –h4.
Метод а.Н. Крилова послідовних наближень
Розглянемодиференціальне рівняння типу
y’ =f(x,y) (1)
Зпочатковою умовою
y(x0)=y0.
Виведемо спочатку ряд допоміжних формул, поклавши
yi = y(x0+ih) і yi =f(xi, yi) (i=0, 1, 2, …)
Академік Крилов запропонував формулу для обчислень початку таблиці розв’язання задачі, отриману з формули Ньютона для інтерполяції вперед аналогічно тому, як були отримані формули Адамса:
yi+1=yi+qi+½qi -1/122qi-1(2)
Далі дивитися в книзі 2, зісписку літератури.
Метод Адамса
Метод Адамса відноситьсядо так званих методів, що використовують «прогноз ікорекцію». Він дозволяєодержатидосить високий ступіньточностіінтегрування без значного зменшення кроку інтегрування, не обчислюючи багаторазовокривоїчастинирівняння.
Основна ідея цього методу полягаєв застосуванні при інтегруванні другої інтерполяційної формули Ньютона. Якщо длякеруванняу'=f(х, у) уравностоячихточкахосі /xn+1-xn=h/ знайти наближене значеннярозв’язанняв=(x), що проходить черезточку/x0,y0/, то як підготовчий крок для деякого числаточокпо будь-якомуметодузнаходять наближене значенняy1=(x1);y2=(x2);y3=(x3) іскладаютьінтерполяційний багаточлен Ньютона, що в обранихкрапкахx1,x2,x3приймає обчислені значенняy1,y2,y3. Інтегруючи цей багаточлен у межах одного кроку,одержуємонаближене значенняyn+1. Це перший етап екстраполяції, потім можна використовувати інтерполяцію длянаступногокроку і т.д. Інтерполяційна формула Адамса маєвид
yn =yn+1-yn=qn+ ½qn-1+ 5/122qn-2+ 3/83qn-3, (1.1)
де
qn=hf(xn,yn);qn-1=hf(xn-1,yn-1);
qn-2=hf(xn-2,yn-2);qn-3=hf(xn-3,yn-3).
Схема розв’язання методом Адамса:
x0(n-3)y0(n-3)q0(n-3)q0(n-3)2q0(n-3)3q0(n-3);
x1(n-2) y1(n-2) q1(n-2) q1 (n-2) 2q1 (n-2);
x2(n-1) y2(n-1) q2(n-1) q2 (n-1);
x3(n) y3(n) q3(n).
Формула у' = f(x,y) застосовується для продовження цієї таблиці й екстраполяції значення:
yn+1=yn+yn.
Для уточненняотриманогозначення по формулі у' =f(x,y) можна застосувати формулу «корекції»:
yn=qn+ ½qn-1/2qn-1 – 1/243qn-3. (1.2)
Формула (1.1) називається інтерполяційною формулою Адамса. По формулі (1.1) знаходять спочатку перше наближене значенняy(0) n+1, а після перерахування, по формулі (1.2),одержуютьнове значенняy(1) n+1і поційжітераційнійформулі знаходятьподальшінаближеннядоти, поки не буде отриманенеобхідненаближення.
Це відбудеться в тому випадку, коли два наступні значення будуть мало відрізнятися одинвідодного.
Для роботи зЕОМ застосовуємо формулу відповідності:
экстраполяційнуформулу Адамса
y n+1=y n+h/24 (55y n- 59y n-1+37y n-2- 9y n-3).
Застосування формул Адамса дозволяє одержатидоситьвеликуточність інтегрування, але оцінка похибкидосить складна.