2.7 Приклад роботи програми
Для демонстрації програми візьмемо, диференційне рівняння f =x+y і початкові значення: х0=1, х=2, у0=0 і n=10.
Вирішимо дане рівняння трьома методами: Рунге-Кутта, Адамса, Крилова. Розв’язання можна побачити при вході в четвертий пункт меню.
При розв’язанні цього рівняння на екрані виведуться результати трьома методами.
|
|
|
Метод | ||
|
№ |
х |
Адамса |
Крилова |
Рунге-Кута |
|
1 |
1,0 |
0.110530417 |
0.110780417 |
0.110341666 |
|
2 |
1,1 |
0.134999983 |
0.243803443 |
0.242805142 |
|
3 |
1,2 |
0.310937496 |
0.401416230 |
0.399716997 |
|
4 |
1,3 |
0.504006507 |
0.586213602 |
0.583648486 |
|
5 |
1,4 |
0.728881703 |
0.801064221 |
0.797441291 |
|
6 |
1.5 |
0.989889204 |
1.049139457 |
1.044235940 |
|
7 |
1.6 |
1.288596224 |
1.333945346 |
1.327503276 |
|
8 |
1.7 |
1.629020812 |
1.649357884 |
1.651079157 |
|
9 |
1.8 |
2.015833021 |
2.029662071 |
2.019202866 |
|
10 |
1.9 |
2.453864896 |
2.449595121 |
2.436559545 |
|
11 |
2.0 |
2.948468326 |
2.924394106 |
2.908327041 |
Результати переконують, що похибка між методами не велика.
Список літератури:
1. Авторський колектив: В.М Глушков, И.Н. Молчанов, А.А. Стогний, Б.Н. Брусникин, Г.И. Визнюк, Е.Г.Геец, В.Ф. Гук, А.А. Дородницына й ін. Програмне забезпечення ЕОМ «СВІТ-1» і «МИР-2» т.2, 1976.
В.Е. Краскевич, К.Х. Зеленський, В.Н. Грегко Чисельні методи в інженерних дослідженнях. –київ: Вища школа, 1986.
Б.П. Димидович, И.А.Марон, Шувалова Э.З. Чисельні методи аналізу.
Лекція 14-15.Чисельне інтегрування функцій
1. Вступ. Загальні відомості про чисельні інтегрування.
Визначений інтеграл з межами інтегрування a і b можна трактувати як площу фігури обмеженої ординатами в точках a і b, віссю абсциси x і графіком підінтегральної функції f(x) (мал.1).
a
S = f(x)dx
b
Y
f(x)
S
x
a b
Мал. 1.
Визначений інтеграл, у якому відома його первісна F(x), обчислюється по формулі Ньютона – Лейбніца:
S = F(b) – F(a).
Тому досить обчислити значення функціїF(x) в точкахa і b.
До чисельного інтегрування звертаються, коли не можна виразити первісну від заданої функції f(x) аналітично, чи коли подібний запис має дуже складний вид.
Сутність більшості методів чисельного інтегрування функцій зводиться до заміни підінтегральної функції f(x) функцією g(х), для якої можна легко записати первісну в елементарних функціях.
Використані на практиці методи чисельного інтегрування можна згрупувати у залежності від методу апроксимації підінтегральної функції.
Такі методи, як метод Ньютона-Котеса засновані на поліноміальній апроксимації. Методи цього класу відрізняються один від одного ступенем полінома, від якого, у свою чергу, залежить кількість вузлів, де необхідно обчислити функції f(x). Алгоритми методів прості і легко піддаються програмній реалізації.
Сплайнові методи базуються на апроксимації підінтегральної функції сплайнами, що представляють собою кусковий поліном.
У методах найвищої математичної точності (методи Гаусса-Кристоффеля) використовують не рівновіддалені вузли, розташовані згідно певного алгоритму, що забезпечує мінімальну похибку інтегрування для найбільш складних функцій при заданій кількості вузлів.
У методах Монте-Карло вузли вибираються за допомогою датчика випадкових чисел, відповідь носить ймовірносний характер.
Незалежно від обраного методу в процесі чисельного інтегрування необхідно обчислити наближене значення інтегралу і оцінити похибку R. Похибка буде меншою при збільшенні кількості відрізків, на які розбивається інтервал інтегрування [a, b], за рахунок більш точної апроксимації функції, однак при цьому буде зростати похибка за рахунок підсумовування часткових інтегралів, і остання похибка починаючи з визначеного значення m стає переважною. Ця обставина повинна застерегти від вибору досить великого числа m і привести до необхідності розробки способу оцінки похибки R вибору способу оцінки похибки R обраного методу.