Метод прогону.

Розділимо область інтегрування [a,b] на досить велике число рівних частин точками x_i = x₀ + ih, i = 1 … N... Перетворимо систему (1), (2) до виду

y_i+1 + m_iy_i + n_iy_i-1 = h²f(x_i); i = 1 … N-1, (3)

де r_i = 1/(1 + h/2p_i); p_i = p(x_i); q_i = q(x_i);

m_i = r_i(h²q_i – 2); n_i = r_i(1 – h/2p_i); ˆ_i = h²r_if(x_i). (4)

Розв’язавши рівняння (3) відносно у_i, одержуємо

y_i = c_i(d_i - y_i+1), i = N, N-1, … , 1; (5)

де c_i = 1/(m_i - n_ic_i-1), d_i = ˆ_i - n_ic_i-1d_i-1, i = 1 … N... (6)

c₀ = ₁/(₀h - ₁), d₀ = h/_1.

По формулах (6) обчислюються коефіцієнти c_i, d_i – прямий хід прогону. По формулі (5) обчислюємо y_i, i = N, N-1, … , 1 – зворотний хід прогону. При цьому з (3) і (4) знаходимо

y₊₁ = (Bh + ₁c_N-1d)/(₀h + ₁(c+1)).

Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).

Сутність проекційних методів обчислювальної математики полягає в представленні розв’язку задачі множиною проекцій (відліків) у визначеній системі координатних функцій.

У традиційному методі, запропонованому Б. П. Гальоркіним і розвинутому у роботах М. В. Келдиша, наближений розв’язок у(х) відшукується у вигляді

y_n = a₁u_1(x) + a₂u₂ + _... + a_nu_n(x), (7)

де _1(x), _{2, ,,, ,} _n(x), – система базисних функцій, що задовольняють вихідним граничним умовам; a_1, a_{2, ... ,} a_n – невідомі постійні коефіцієнти.

При підстановці (7) у (1) одержуємо функцію

R(x; a₁; a₂; ... ; a_n) = L[y_n(x)] – f(x),

яку називають нев'язкою розв’язку. Очевидно, для точного розв’язку задачі

R(x; a₁; a₂; ... ; a_n) = 0.

Коефіцієнти а_i визначимо з умови ортогональності нев'язки першим n функціям деякої системи функцій {_i, i = 0 ... n}:

(8)

Такий метод розв’язку задачі називається методом моментів.

Якщо при цьому _i=u_i, то виходить метод Гальоркіна. Система рівнянь (8) являє собою систему лінійних рівнянь щодо вектора з матрицею

.

Розв’язок цієї системи є каркасом наближеного розв’язку крайової задачі.

Система (8) може бути представлена у вигляді

. (9)

Коефіцієнти c_ki, d_i, обчислюються по формулах

Для рівняння (1) L(y) = y - p(x)y - q(x)y.

Тому

c_ik = c_ki

Функцію u₀(x) можна вибирати довільно, але так щоб u₀(a)=A, u₀(b)=B. Нехай u₀(x) =  + x. Тоді з (2) одержуємо:

Інші функції u_i(x) можна обчислити по кожному з правил:

u_i(x) = (x – a)ⁱ(x – b);

u_i(x) = (x – a)(x – b)ⁱ.

ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ СХЕМИ

Метод прогону.

1. Вибираємо крок h; x_i = x₀ + ih, i = 1...N.

2. Обчислюємо

r_i =1/(1 + h/2p_i); m_i =r_i(h²q_i – 2); n_i =r_i(1 – h/2p_i); ˆ_i =h²r_if(x_i). i= 1...N.

3. Обчислюємо

c₀ = ₁/(₀h - ₁), d₀ = hA/₁; h  ₁/_0.

c_i = 1/(m_i - n_ic_i-1), d_i = ˆ_i - n_ic_i-1d_i-1, i = 1 … N.

4. Обчислюємо

y₊₁ = (Bh + ₁c_N-1d)/(₀h + ₁(c+1));

y_i = c_i(d_i - y_i+1), i = N, N-1, … , 1...

Проекційні методи (на прикладі методу Гальоркіна).

1. Задаємо степінь полінома m y_n = a₁u_1(x) + a₂u₂ + _... + a_nu_n(x) .

2. Обчислюємо коефіцієнти  і  функції u₀(x):

.

3. Вибираємо функції u_k(x) = (x – a1)^k(x – a2);

;

4. Обчислюємо

u_k(x) u_i(x) = (x-a1)^k+i(x-a2)²; u₀(x) u_i(x) = i(x-a1)^i-1(x-a2);

u₀(x) u_i(x) = (x-a1)^I(x² + ( - a1)x - a1); k,i = 1...m;

u_k(x) u_i(x) = (x-a1)^k+i-2(e₃x² + e₂x + e₃).

e₁ = (ka2 + a1)(ia2 + a1); e₂ = -a1(2 + k + i); e₃ =(k+1)(i+1).

5. Обчислюємо c_ki , d_i:

;l ;;;.

; ;;.

6. Розв’язуємо систему лінійних рівнянь

7. Знайдені значення a_i підставляємо в ряд