Лекція 6-7 Інтерполяція функцій Постановка задачі інтерполяції

Інтерполяція функції – наближена заміна функції f(x) більш простою функцією F(х), значення якої у вузлах інтерполяції x_і збігаються з відповідними значеннями f(x). На практиці частіше інтерполюють функції f(x) або навіть експериментальні дані, задані таблично в точках x_і (вузлах інтерполяції, i=0, 1, ..., n; всього n+1 штук), якщо необхідно визначити f(x) при xx_i. Розрізняють інтерполяцію у вузькому значенні, коли x знаходиться між x₀ та x_n, і екстраполяцію, коли x знаходиться поза межами відрізку. Для кривих з різною поведінкою різними будуть і класи функцій, які їх найкраще наближують. Наприклад, періодичні дані краще наближуються тригонометричними поліномами Фур'є, а деякі криві з розривами типу нескінченності – гіперболами та ін. Якщо крім значень f(x_і) інтерполююча функція у вузлах буде мати такі самі похідні (f'(x_і), f''(x_і), ...), як і оригінальна, то таке наближення буде більш точним.

Нам вже знайомий досить загальний випадок такої інтерполяції – розклад Тейлора для функції y(x) є

.

Кінцева сума є поліномом ступеняn, який і сам, і його перші n похідних відповідають оригінальним. Така інтерполяція є чудовою апроксимацією (наближенням) функції y(x) поблизу 0, але відхиляється від оригіналу все дужче та дужче, коли x віддаляється від 0.

Поліноміальна інтерполяція

Задача ставиться переважно в наступній формі: знайти багаточлен (поліном) Р(x)=Р_n(x) ступеня n, значення якого збігаються зі значеннями даної функції в точках x_i, тобто Р(x_i)=y_i. Геометрично це означає, що потрібно знайти алгебраїчну криву виду , яка проходить через задану систему точокM(x_i, y_i). В такій постановці задачі інтерполяція називається параболічною і має єдиний розв’язок. Р(x) називається інтерполяційним поліномом. Наприклад, параболу однозначно можна провести через три точки, а кубічну параболу – через чотири (мал. 1). Існує ряд спеціальних виглядів поліному Р(x) (Ньютона, Еверетта та ін.), але слід пам’ятати, що сам поліном Р(x) єдиний, тому, якщо нехтувати похибкою обчислень ЕОМ, всі види поліноміальної інтерполяції мають давати однаковий результат. Це характерно для сучасних ЕОМ, які оперують числами з плаваючою комою і мають нерідко приховані розряди для підвищення точності розрахунків.

Багатоінтервальна інтерполяція

Якщо загальний відрізок [x₀, x_n] широкий, і кількість вузлів велика, інтерполяція поліномом високого ступеня дає велику похибку і вимагає громіздких обчислень. В такому випадку застосовують інтерполяцію в ряді часткових інтервалів окремими поліномами невисокого ступеня n. Коли n=1, інтерполяція буде кусочно-лінійною, коли n>1 – кусочно-поліноміальною. На стиках інтервалів, правда, при цьому утворюються злами.

Сплайн-інтерполяція є спеціальним видом багатоінтервальної інтерполяції, при якому інтерполюючий поліном забезпечує рівність не тільки значень функцій у вузлах, а й неперервність заданої кількості їх перших похідних на межах часткових інтервалів. Зазвичай достатньо кубічних сплайнів, вони зберігають першу похідну. Похідні на стиках можуть вираховуватись за допомогою формул чисельного диференціювання по трьох точках, або ж задаватися масивом, отриманим окремо іншими обчисленнями або з графіків.