2. Функції обчислення інтегралів у вигляді підпрограм.

Для опису методів інтегрування був обраний метод відображення алгоритму за допомогою блок-схем. Нижче представлені алгоритми відповідних підпрограм обчислення інтеграла.

Обчислення інтеграла за допомогою методу прямокутників

Обчислення інтеграла за допомогою методу трапецій та парабол

Лекція 17. Системи диференціальних рівнянь.

Задача Кошіполягаєв розв’язку системи звичайних диференційних рівнянь першого порядку, яка має вигляд:

(1)

Розв’язок одного диференційного рівняння методом Рунге-Кута виконується по вказаним формулам, якщо в них опустити індекс , а з алгоритму видалити цикли. Це різко спрощаує програму і дозволяє отримати мінімально можливий час розрахунку.

яка має похибку ~,обчислюються наступними формулами

де j[1,N]-номер кожноїзмінної-незалежназмінна.Розв’язоксистеми(1) при заданихпочаткових умовахзводитьсядознаходженнязалежностей (інтегральних кривих)які проходятьчерез точки, заданіпочатковими умовамиЗадача Кошізводитьсядоінтегруваннядиференційних рівнянь.

Загальна форма запису кожногорівняннясистеми(1) може бутитакою:

dY_j /dx = F_j(x, Y_j) (2)

де в правій частинірівняння- векторизмінних, а- права частинакожного зрівнянь(1).Зокрема, однедиференційне рівняння (и) запишетьсяувигляді:

Дифференціальні рівняння вищого порядку

(3)

де порядокрівняння, можназвестидосистемитипу(1)чи(2)здопомогоютаких перетворень:

(4)

Таким чином, розв’язок(3)зводитьсядорозв’язкусистемидиференційних рівнянь першого порядку.(4).

Метод Ейлера – простий метод першого порядку. Він реалізуєтьсянаступноюрекурентноюформулою:

Y_j(i+1) = Y_ji + hF_j(x_i, Y_ji)

де - шагінтегрування.Методмає похибкупропорційну.

Метод Ейлера- Коші с ітераціями полягаєврозрахункуна кожномукроці проміжного значення:

Розв’язокуточнюється ітераційноюформулою

Методмає похибкуRпропорційну~.Числоітерацій неповиннобути більше4,інакшеслідзменьшитишаг.

Модифікований метод Ейлера другого порядкуреалізуєтьсянаступними рекурентними формулами:

Y_j(i+1) = Y_ji + hF_j(x_i +h/2,Y_j(i+1/2))

де Y_j(i+1/2) = Y_ji + hF_j(x_i, Y_ji)/2. Методмає похибкуRпропорційну~(h³), та менший час обчислень.

Метод трапецій -одинз модифікацій методу Эйлерадругого порядку.Вінреалізується формулою:

Y_j(i+1) = Y_ji + (K_j1 + K_j2)/2

де K_j1 = hF_j(x_i, Y_ji), K_j2 = hF_j(x_i,+h, Y_ji + K_j1),даєпохибку R ~.

Не рекомендуєтьсявикористовувати цейметод,колипошукова функція має різну крутизну.

Метод Рунге-Кута четвертого порядку є найбільш розповсюдженим при постійному . У нього висока точність - похибкаR ~- і менший нахил до розбіжності розв’язку. Алгоритм реалізації методу Рунге-Кута полягає в циклічних обчисленняхна кожномукроці по таким формулам:

K_1j = hF_j(x_i, Y_ji)

K_2j = hF_j(x_i,+h/2, Y_ji + K_1j /2)

K_3j = hF_j(x_i,+h/2, Y_ji + K_2j /2)

K_4j = hF_j(x_i,+h, Y_ji + K_3j )

Y_j(i+1) = Y_ji + (K_1j + 2K_2j + 2K_3j + K_4j)/6

При переході від однієї формули до іншої задаються або обчислюються відповідні значення x_i и y_i та підпрограмою значення функції .

Перед початком циклу потрібнозадатишагі початкові значення:

Метод Рунге-Кута для диференційного рівняння другого порядку виду

Спочатку потрібнозадатишагі початкові значення: та

Розв’язок одного диференційного рівняння методом Рунге-Кута виконується по вказаним формулам, якщо в них опустити індекс , а з алгоритму видалити цикли. Це різко спрощаує програму і дозволяє отримати мінімально можливий час розрахунку.

яка має похибку ~,обчислюються наступними формулами:

Лекція 18. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗКУ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

Методи розв’язку крайових задач розглядаються на прикладі звичайного диференціального рівняння другого порядку

y + p(x)y + q(x)y = f(x) (1)

при граничних умовах

0y(a) + ₁y (a) = A, (2)

₀y(b) + ₁y (b) = B;

при |₀| + |₁|  0, |₀| + |₁|  0, a  x  b. (де ₀, ₁, ₀, ₁, a, b, A, B – деякі числа).

Методи розв’язку крайових задач можна розділити на три групи: різницеві, проекційні і методи, засновані на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші (методи «стрільби»).