3. Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь

3.1 Метод половинного ділення.

Цей метод використовується, якщо відомо, що f(x) неперервна на відрізку [а, b] та f(а)f(b)<0.

Основна ідея методу. Ділимо відрізок [а, b], на якому шукаємо корінь рівняння, навпіл і, якщо f((а+b)/2) > вибираємо той із відрізків [a,(a+b)/2] чи [(a+b)/2, b], на кінцях якого f(x) має різні знаки. Цей відрізок знову ділимо навпіл та повторюємо ті ж дії поки не отримаємо корінь із заданою точністю.

Метод половинного ділення зручно застосовувати для приблизного знаходження кореня даного рівняння, бо із збільшенням точності зростає об’єм виконаної роботи через повільну збіжність ітераційного процесу.

Опишемо обчислювальну схему методу. До початку обчислення задаємо число - точність, з якою потрібно отримати корінь рівняння. Потім:

а) приймаємо xl = a; та xr = b;

б) на кожному кроці процесу обчислюємо x = (xl+xr)/2, y = f(x); і

в) перевіряємо нерівність f (х) <  і, при виконанні умови вважаємо x коренем рівняння; а в протилежному випадку перевіряємо умову f (х)(f(xl)>0, і при виконанні цієї умови приймаємо xl = x, а інакше xr = x, та повторюємо обчислення пункту б).

Дамо геометричну інтерпретацію цього методу. Нехай функція f(x) має графік, зображений на мал.2. При обчисленні значення (a+b)/2 знаходимо середину відрізка [а, b]. Обчислення величини f((a+b)/2) означає проведення перпендикуляра із точки (a+b)/2 до перетину з графіком функції f(x).

Якщо f (х_k)> , то для продовження обчислювального процесу залишаємо той відрізок, на кінцях якого f(x) має різні знаки. У даному випадку цей відрізок [(a+b)/2, b]. На цьому крок ітераційного процесу закінчується. Повторюємо ітерації поки не буде виконана умова закінчення обчислень.

Наведемо структурну схему алгоритму методу половинного ділення:

Структурна схема алгоритму методу половинного ділення:

Мал.2

так

ні

так

ні

Лекція 2

3.2 Метод пропорційних частин (хорд)

Потрібно знайти корінь рівняння f(x) на відрізку [а, b]. Відомо, що f(x) неперервна на [а, b]. і f(a)*f(b)<0; крім того, f((x ) і f(((x ) на відрізку [а, b]. зберігають свій знак. Для розв’язання рівняння використаємо метод пропорційних частин (метод хорд), який дає розв’язання задачі для досить малих швидше, ніж попередній метод.

Для наближеного кореня рівняння (1) замінюємо функцію f(x) на відрізку [а, b].лінійною функцією, яка на кінцях відрізку [а, b].приймає ті ж самі значення, що і функція f(x).

P(x)= f(a) + (x-a)(f(b)-f(a))/(b-a)

В якості наближеного значення кореня f(x) беремо корінь функції P(x), тобто знаходимо таке значення x₁, при якому P(x₁)=0. Це значення (перше наближення) визначається по формулі

x₁ = a - f(x)(b-a)/ )(f(b)-f(a)) (2)

Далі розглянемо відрізки [a, x], [x, b] і виберемо з них той, на кінцях якого функція f(x) має протилежні знаки. Ті ж обчислення виконуємо на вибраному відрізку і отримуємо друге наближення кореня x₂ і т.д., поки не отримаємо корінь рівняння (1) із заданою похибкою.

Обчислювальна схема методу пропорційних частин реалізовується так.

До початку ітераційного процесу задаємо точність , з якою треба отримати розв’язання, потім:

а) приймаємо xl = a; та xr = b;

б) на кожному кроці ітераційного процесу обчислюємо наближення до кореня по формулі:

x=( xlf(x)- xr f(xr))/( f xr)- f(xl)) (3)

в) перевіряємо виконання нерівності

f (х)< . (4)

і якщо нерівність (4) виконується, то x вважаємо розв’язанням рівняння (1), а інакше продовжуємо обчислення;

г) перевіряємо умову f (х) (f(xl) > 0, і при виконанні цієї умови приймаємо xl = x, а інакше xr = x, та повторюємо обчислення з пункту б).

Дамо геометричну інтерпретацію методу. Нехай функція f(x) має графік. На кінцях відрізка функція f(x) приймає значення різних знаків. З'єднаємо точки (a, f(a)) та (b, f(b)) прямою, і точку перетину цієї прямої з віссю X приймемо за перше наближення до кореня. Цей процес продовжуємо доти, поки не виконається умова закінчення обчислень.

Структурна схема алгоритму відрізняється від структурної схеми попереднього методу лише способом обчислення поточної змінної x..

Мал. 3