Інтерполяція для випадку рівновіддалених вузлів

Вузли називаються рівновіддаленими, якщо відрізок [x₀, x_n] поділений точками x_i на n рівних частин: . Для невузлових точокi було б нецілим, але натомість вводиться величина , яка є відстанню відx до x₀ в одиницях h. Тоді .

Кінцевими різницями функції y=y(х) називаються різниці виду:

– кінцеві різниці 1-го порядку;

– кінцеві різниці 2-го порядку;

– кінцеві різниці k-го порядку.

В залежності від розташування досліджуваної точки відносно відомих, заданих таблично, кращі наближення дають різні інтерполяційні багаточлени, побудовані з використанням кінцевих різниць.

Інтерполяційні формули Ньютона

Для інтерполяції та екстраполяції в точках x, близьких до початку таблиці, використовується перша інтерполяційна формула Ньютона, яка має вигляд:

або .

де m=2i-1, q=(x-x₀)/h.

В ній використовується рядок N_I таблиці різниць:

x	y	y	2y	3y	4y
x0	y0	y0	2y0	3y0	4y0	N1
x1	y1	y1	2y1	3y1	4y1	N2
x2	y2	y2	2y2	3y2
x3	y3	y3	2y3
x4	y4	y4
x5	y5

Таблиця 1. Горизонтальна таблиця кінцевих різниць при і=5

При n=1 і n=2 з цієї формули одержуємо часткові випадки:

лінійна інтерполяція ,

квадратична інтерполяція .

Якщо точка інтерполювання лежить поблизу кінцевої точки x_n таблиці або десь справа від неї, вузли треба брати в порядку x_n, x_n-h, x_n-2h, ... . Тоді формула набуде вигляду:

або .

Це – друга інтерполяційна формула Ньютона. В ній використовується нижній похилий рядок таблиці 1.

Інтерполяційні формули Гаусса

Перенумеруємо вузли інтерполяції наступним чином: x_-4, x_-3, x_–2, x_–1, x₀, x₁, x₂, x₃, x₄.

(Їх непарна кількість!) Тоді таблиця різниць матиме вигляд:

x	y	y	2y	3y	4y	5y	6y
x-4	y-4
		y-4
x-3	y-3		2y-4
		y-3		3y-4
x-2	y-2		2y-3		4y-4
		y-2		3y-3		5y-4
x-1	y-1		2y-2		4y-3		6y-4
		y-1		3y-2		5y-3
x0	y0		2y-1		4y-2		6y-3
		y0		3y-1		5y-2
x1	y1		2y0		4y-1		6y-26y-4
		y1		3y0		5y-1
x2	y2		2y1		4y0
		y2		3y1
x3	y3		2y2
		y3
x4	y4

Таблиця 2. Діагональна таблиця кінцевих різниць