3.2. Інтерполіровання

3.2.1. Інтерполіровання функцій

Нехай деяка функція Y=F(X) задана таблицею (табл.1), тобто при значеннях аргументу X=x₀,x₁,..,x_N функція F(X) приймає відповідно значення y₀, y₁,.., y_N. Та нехай необхідно визначити значення Y=F () (x_i-1<< x_i). Значення x=попадають між двома значеннями, тому для обчислювання значення функції необхідно припустити деякий характер її зміни між відомими значеннями. Інтерполіровання можна розглядати як процес визначення для даного аргументу X значення функції Y=F(X) по її кількома відомим значенням.

Мал. 3.1. Графік інтерполірующій функції

Задача інтерполіровання міститься у наступному. На відрізкі [a,b] задаються n+1 точки x₀,x₁,..,x_N, які називаються вузлами інтерполяції, та значення деякої функції F(X) в цих точках

F(x₀)=y₀ ; F(x₁)=y₁ ; .... ; F(x_N)=y_N ;

Потрібно побудувати функцію Pn(X) (інтерполірующую функцію), яка б задовольнила наступним умовам:

Pn(x₀)=y₀ ; Pn(x₁)=y₁ ; ... ; Pn(x_N)= y_N;

тобто інтерполірующа функція Pn(x) повинна приймати теж саме значення, що і іскома функція F(x) для вузлових значень аргументу x₀,x₁,..,x_N .

Геометрично це означає, що потрібно знайти криву y=Pn(X) деякого визначеного типу, проходячу через дану систему точек М_i(x_i,y_i) (i=0,1,2,...,n). Очевидно,можна побуду-вати безліч безперервних функцій, які будуть проходити через дані вузлові точки (мал. 3.1).

У загальному випадку залежність, якої підпорядковується функція, може бути апроксимована многочленом n-ої степені

Pn(x) = y = a₀+a₁x+a₂x²+...+a_Nx^N= (3.1)

Тоді,для визначення коефіцієнтів многочлену (3.1) необхідно мати n+1 вузлову точку. Аналітичне визначеня коефіцієнтів інтерполяційного многочлену для n+1 точки зводиться до рішення системи лінійних рівнянь n+1 порядку, кожне з яких зображує собою вираження (3.1), записане для визначенної вузлової точки

y_i = a₀ + a₁x_i + a₂x_i² +...+ a_Nx_i ^N (i=1,2,...,n+1) (3.2)

наявності ЕОМ та відповідних програм.У бібліотеці прикладних програм ХТФ ОПУ є в наявності програми для рішення систем лінійних рівнянь методами Гаусса (SOLVE) та Зейделя (SOLVZE), якими можна користуватися при рішенні цієї задачі.

Висловлений метод не являється єдиним спосібом побудування інтерполяційного п Цим методом побудування інтерполяційного поліному зручно користуватися при оліному.Другий підхід,який часто використовують на практиці,називається методом Лагранжа.

Хай при X = x₀,x₁,..,x_N функція F(x) приймає відповідно значення y₀,y1,..,y_N. Многочлен степені не вишче n, приймаючий в вузлових точках задані значення,має вигляд:

P(x) = y =*Y_i (3.3)

Цей многочлен (3.3) називається інтерполяційною формулою Лагранжа та має такі властивості:

1.При заданої сукупністі вузлових точек побудування многочлену можливо тільки єдиним спосібом.

2.Многочлен Лагранжа може бути побудован при будь-яком розміщенні вузлов інтерполяції (включаючи і нерівномірний).

У розгорнутому виді форма Лагранжа має вигляд:

(X-x₁)(X-x₂)(X-x₃)...(X-x_N) (X-x₀)(X-x₂)(X-x₃)...(X-x_N)

Рn(x)= --------------------------------- y₀ + ---------------------------------- y₁+

(x₀-x₁)(x₀-x₂)(x₀-x₃)...(x₀-x_N) (x₁-x₀)(x₁-x₂)(x₁-x₃)..(x₁- x_N)

(X-x₀)(X-x₁)...(X-x_i-1)(X-x_i+1)...(X- x_N) (X-x₀)(X-x₁)(X-x₂) ... (X-x_N-1)

+ ... + -------------------------------------------- y_i + ... + ---------------------------------------- y_N (3.4)

(x_i-x₀)(x_i-x₁)...(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)...(x_i- x_N) (x_N-x₀)(x_N -x₁)(x_N -x₂) ...(x_N -x_n-1)

При n=1 формула Лагранжа набуває вигляд :

X-x₁ X-x₀

P1(X) = ------- y₀ + ------- y₁ (3.5)

x₀-x₁ x₁-x₀

та називається формулою лінійної інтерполяції.

При n=2 одержуємо формулу квадратичної інтерполяції

(X-x₁)(X-x₂) (X-x₀)(X-x₂) (X-x₀)(X-x₁)

Р2(X) = ---------------- y₀ + ----------------- y₁ + -----------------y₂ (3.6)

(x₀-x₁)(x₀-x₂) (x₁-x₀)(x₁-x₂) (x₂-x₀)(x₂-x₁)