5. Методи чисельного інтегрування звичайних діференціальних рівнянь

Діференціальне рівняння установлює звязок між незалежними змінними, невідоми (шуканими) функціями та їх похідними.

Рішення діференціального рівняння n-го порядку

(5.1)

полягаї в видшуканні функції Y=Y(X), котра задовольняє (1) та початковим умовам:

; (5.2)

де Y_o, Y'_o, Y"_o,...,Y_o^(n-1) - задані числа.

Така задача називається задачей Коши. Для звичайного діференцального рівняння першого порядку

Y' = f(X,Y) (5.3)

початкова умова маї вигляд:

Y(Xo)=Yo (5.4)

Геометричний зміст рішення цієї задачи полягає в знаходженні інтегральної кривої Y=Y(X), яка проходить через задану точку А(Xo,Yo). Рівнення (3) установлюї зв'язок між координатами та похідної від функції в наданій точці в системі координат Y-X. Отже, для будь-якої точки за (3) можливо обчислити похідну, тобто тангенс кута нахилу дотичної до кривої Y=Y(X). Інакше кажучи, рівнення (3) можливо розглядати як визначення кривої через її похідну.

Чисельне рішення задачи Коши полягаї в знаходженні значень Y₁,Y₂,...,Y_n в точках X₁=X_o+h, X₂=X_o+2.h,...,X_n=X_o+n.h відрізка [a,b], де h - крок інтегрування, Xo=a, Xn=d. Нанеся точки (X_o,Y_o), (X₁,Y1),..., (Xn,Yn) на координатну плошину та з'єднав їх відрізками прямої, одержим ломану лінію, яка зветься ломаной Ейлера - приблизне зображення шуканої кривої (мал. 5.1)

Мал. 5.1. Метод Ейлера

Цей метод рішення діференціального рівнення називається методом Ейлера. Цілком зрозуміло, що у цоьму найпростішому методі безліч недоліків. Ми намагаємось описати криву відрізками прямої, що може приводити до помітних хиб (як, наприклад, на мал.5.1). Очевидно, що яким-небудь спосібом необхідно облічувати кривизну шуканого рішення. Для цього розроблен ряд методів, котрі підрозділяються на два класи - одноступінчати та багатоступінчати методи.

1.Одноступінчати методи, у котрих використовується тільки інформація про шукану криву в одній точці та не робляться ітерації. Одним з таких методів виявляється рішення рівнянь за допомогою рядів Тейлора. Практично зручними методами виявляються методи Рунге-Кутта.

2. Багатоступінчати методи, у котрих використовується інформація про криву як мінимум у двох точках та вживається ітераціонна процедура. До цих методів належать методи прогноза та корекції.

5.1. Одноступінчати методи

5.1.1. Рішення за допомогою рядів Тейлора

Методика чисельного рішення будь-якого діференціального рівнення зв'язана з розкладом рішення у ряд Тейлора у h - місцевості точки X:

Y_i+1 = Y_i+h.Y_i' + (h²/2!)*Y_i" + (h³/3!)*Y_i’’’ + ... (5.5)

де Y_i^(k) - K-ая похідна функції Y=f(X) у точках X=X_k; h=X_i+1-X_i.

Нахoдження рішення за допомогою ряда Тейлора являється одноступінчатим методом, тому що для обчислення Y_i+1 потрібна інформація тільки про одну попередню точку. Принципово (5.5) може бути використована при інтегруванні будь-якого діференціального рівняння з будь-якою наперед заданою точністью, від якої будє залежить число членів ряда. На практиці через необхідність обчисленя функції та усіх її похідних, що дуже складно, цей метод використо-вується як спосіб оцінки точності інших формул, тобто наскільки тот або інший метод погоджується з розкладом у ряд Тейлора. Деякі методи будуть погоджу-ваться до членів порядку h, другі- аж до членів порядку h⁴ і т.п.