3.2.2 Зворотне інтерполіровання

Нехай функція y=F(x) задана таблично.Задача зворотного інтерполіровання міститься у тому , щоб по заданому значенню функції Y визначити відповідне значення аргументу Х. Дана задача може бути вирішена за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа (3). Тоді одержуємо:

X = * X_i (3.7)

3.3. Апроксимація

При обробці експериментальних даних інтерполяційні формули не завжди зручні. По-перше, при великом числі точек інтерполірующі поліноми мають високу степень, що з одного боку робить їх незручними, а з другого - із-за великої величини окремих доданків поліному можуть виникнути помилки округлювання. По-друге, експериментальні дані, як правило, мають помітний разброс по точністі вимірювання, особливо на кінцях відрізку визначення функції. Тому навряд чи розумно завжди будувати інтерполяційний поліном користуючись умовою збігу значень функції в усіх вузлових точках. Доцільно скористуватися деякою функціональною залежністю, параметри якої визначаються з умови мінімуму відхилення розрахункових та експериментальних значень.

Якщо вид залежності заздалегідь відомо, то задача зводиться до знайдення найкращих значень параметров цієї залежності. У протилежному випадку необхідно спочатку визначити вид цієї залежності, а потім - її параметри.

Якщо вид залежності Y=F(X) заздалегідь не відом, то користуючись визначеними міркуваннями (фізичний зміст залежності, простість емпирічної формули та т.п.) визначають вузький клас функцій, якому повинна належати іскома залежність.

Після того, як вибран клас наближающих функцій, необхідно з нього вибрати одну визначену функцію, скористаючись відповідними методами та деякими критеріями оцінки степені наближення.

3.3.1. Вибір емпирічної формули. Метод вирівнювання

В деяких випадках вибір типу емпирічної формули може бути зроблен на основі теоретичних уявлень о характері вивчаємої залежності. В інших випадках доводиться підбирати формулу, порівнюя криву, побудовану по даним спостережень, з типовими графіками формул. Такі графіки приведени в довідниках. Інколи виявляється, що емпирічна крива схожа на декілька кривих, рівняння яких різні. Зміна чисельних коефіцієнтів, які входять у формулу, часто різко змінюють вид її графіку. Вибір масштабу координатних осєй відображується на формі побудованної кривої, що також може привести до відзнаки експериментальної кривої від графіку цілком відповідной їй формулі.

Тому, раніше ніж визначати числені значення коефіцієнтів у вибраній емпирічній формулі, необхідно перевірити можливість її використання методом вирівнювання. Тільки після цього можна перейти до відшукування тих значень постійних коефіцієнтів, які дають найкращі наближення експеримен-тальних та обчислювальних величин.

Метод вирівнювання заключається у перетворюванні функції y=U(x) таким чином, щоб перетворити її у лінійну функцію. Досягається це спосібом заміни перемінних Х та Y новими перемінними X = G(x,y) та Y = Q(x,y), які вибираються так, щоб отримати рівняння прямої лінії:

Y = А + ВХ (8)

Обчислив значення X_i та Y_i за даними X_i та Y_i, наносять їх на графік з прямокутними координатами (X_i, Y_i). Якщо побудовані таким чином точки розташeвуються близько прямої лінії, то вибрана емпирічна формула y=U(x) підходить для характеристики залежності Y=F(X).

Приклад: При вивченні швидкісті химическої реакції одержани наступні дані залежності

y = f () (табл. 3.1)

Таблиця 3.1.

	3	6	9	12	15	18	21	24
y	57.6	41.9	31.0	22.7	16.6	12.2	8.9	6.5
Y.102	1.74	2.39	3.23	4.41	6.02	8.2	11.2	15.4
X.103	33.3	16.7	11.1	8.3	6.7	5.6	4.8	4.2
Y=lgy	1.76	1.62	1.49	1.36	1.22	1.09	0.95	0.81
Y=lny	4.054	3.735	3.434	3.122	2.809	2.501	2.186	1.872

де - час,

y – кількість речовини в реакційний суміши к моменту .

Т

Мал. 3.2. Графік залежності y=f()

іж самі дані зображені на малюнку 3.2.

Перевірим можливість використання 2-х формул для описання цій залежністі

а) y = / (a+b) ;

b) y = a epx (b).

a) 1) Використовуя метод вирівнювання,

перетворим її у лінійну функцію:

= a /+b;

Введемо нови перемінни Y та X:

Мал.3.3. . Графік залежності Y=f(X)

Y= ; X=

Тоді: Y = aX+b.