3. 2.3 Основное уравнение гидростатики

Преобразуем систему уравнений (29). Для этого умножим первое уравнение на dx, второе – наdy, третье – наdz

=

= (30)

Сложив левые и правые части уравнения системы, получим дифференциальное уравнение равновесия жидкости

. (31)

Правая часть уравнения представляет собой полный дифференциал давления , тогда можно записать вместо (31)

. (32)

Полученное уравнение является основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме. Однако, гораздо чаще пользуются уравнением в более простой форме, когда из объёмных сил действует только сила тяжести. В этом случае A_x=0, A_y=0, A_z=- gи уравнение запишется в виде

. (33)

Проинтегрировав (33), получим основное уравнение гидростатики в виде

. (34)

Проиллюстрируем полученное уравнение. Для этого рассмотрим замкнутый сосуд с жидкостью, плотность которой и на поверхности которой давление р_о

Рис. 2. Замкнутый сосуд с жидкостью

Выбираем произвольную точку 1, расположенную на высоте z₁. На основании основного уравнения гидростатики (34) можно записать

(35)

здесь p₁ - гидростатическое давление в точке 1;

z₁ - высота положения выбранной точки над плоскостью сравнения.

Сумма гидростатического давления и произведения ρgzявляется величиной, постоянной для данного сосуда. Если для сравнения выберем точку 0 на поверхности жидкости, высота которойz₀ , то уравнение (35) приобретёт вид

откуда,

(36)

где (z₀- z₁)= h₁ глубина погружения точки 1.

Соответственно, давление в произвольной точке будет равно сумме давления на поверхности жидкости плюс давление столба жидкости над этой точкой

(37)

Полученное уравнение (37) – это ещё одна, часто употребляемая формула основного уравнения гидростатики.

4. 2.4 Основные понятия гидростатики

Рис.3.Замкнутый сосуд с пьезометрами

Рассмотрим замкнутый сосуд с жидкостью, на поверхности которой действует давление p₀. Допустим, что в произвольных точках 1 и 2 выполнены отверстия, к которым присоединены трубки открытые вверху (сообщающиеся с атмосферой). Если давление на поверхности жидкости в сосуде больше атмосферного, то жидкость в трубках поднимется выше уровня жидкости в сосуде. Высота подъёма жидкости в трубках называется пьезометрической высотой, а сама трубка пьезометром. Пьезометрическая высота– это высота, на которую поднимается жидкость в пьезометре под воздействием давления в точке установки пьезометра. На основании основного уравнения гидростатики можно записать

(38)

где Н- пьезометрический напор, значение которого для данного сосуда постоянно.

Пьезометрический напор– это сумма двух высот – высоты выбранной точки и пьезометрической высоты, которая зависит от давления жидкости в заданной точке. Кроме геометрической интерпретации (38), где все члены уравнения выступают в роли высот и измеряются в метрах, существует энергетическая интерпретация и соответственное написание основного уравнения гидростатики, где все члены уравнения трактуют как потенциальную энергию

(39)

здесь gz₁, gz₂– удельная потенциальная энергия положения;

- удельная потенциальная энергия давления;

- полная удельная потенциальная энергия жидкости в данной точке.

Уровни жидкости во всех пьезометрах будут расположены на одной высоте, в одной плоскости, которая называется плоскостью пьезометрического напора. Кроме этой плоскости в гидростатике используют также горизонтальныеплоскости сравненияисвободной поверхности. Плоскость сравнениянеобходима для определения взаимного высотного расположения отдельных точек. Обычно, для удобства пользования в качестве плоскости сравнения выбирают дно сосуда либо свободную поверхность жидкости. Поверхность, отделяющая жидкость от газов, называетсясвободной поверхностью.

На рис.3. жидкость в пьезометрах поднялась выше уровня жидкости в сосуде, потому что давление в сосуде на поверхности жидкости больше атмосферного p₀>p_ат. Разность уровней жидкости в пьезометрах и сосуде как раз и обусловлена разностью давлений (p₀ - p_ат), которая называется избыточным или манометрическим давлением. Жидкость в трубках пьезометров поднимается над уровнем жидкости в сосуде на высоту под действием избыточного давления

(40)

где ∆h - разница уровней жидкости в пьезометре и сосуде;

p_изб - избыточное (манометрическое) давление на поверхности жидкости в сосуде.

Если давление в сосуде снижать до p₀ = p_ат, то уровень жидкости в пьезометре также опустится до уровня жидкости в сосуде.∆h=0.

Дальнейшее понижение уровня жидкости в пьезометре возможно только при снижении давления в сосуде ниже атмосферного. И если давление сверх атмосферного называется избыточным, то недостаток давления до атмосферного называется вакуумом. Величину вакуума можно измерять специальным U– образным пьезометром (рис.4). Нижняя часть пьезометра, заполняемая обычно ртутью, имеет гидравлический затвор, не позволяющий жидкости вытечь из трубок в сосуд. Глубину вакуума определяемую разностью давленийp_вак= p_атм – p₀,

Рис.4. Замкнутый сосуд с U образным пьезометром

можно определить, замерив вакуумметрическую высоту, p_вак=,

где - плотность жидкости в пьезометре.