(3.16)

Приравняем выражения (3.15) и (3.16)

После элементарного преобразования и сокращения получим уравнение неразрывности в форме Эйлера

Для установившегося движения уравнение неразрывности примет

вид

Если жидкость несжимаемая, то и уравнение неразрывности будет

Выделим в потоке объем жидкости abdc (рис. 3.10, а) весьма малой длины, при которой можно считать живые сечения входа ас и выхода bd одинаковыми и равными ω.

Так как средняя скорость v параллельна оси х, то vx=v vy =0; vz =0. Используя уравнение (3.18), получим

Следовательно, а поскольку живое сечение ω=const то про-

изведение этих величин и основное условие

41

неразрывности (постоянства массового расхода) примет вид

а следовательно, условие неразрывности выразится формулой

Если живое сечение потока изменяется (pис. 3.10. б), то при

Из соотношения (3.22) ясно, что скорости изменяются обратно пропорционально живым сечениям. Если плотность изменяется по длине, то

Последнее справедливо для газов, если скорость меньше скорости звука, и для капельной жидкости при отсутствии кавитации.

42

ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ

Гидродинамика — наука о движении жидкости под действием внешних сил и о механическом взаимодействии между жидкостью и соприкасающимися с ней телами при их относительном движении.

3.4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И

БАЛАНСА ЭНЕРГИИ ДЛЯ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

В невязкой жидкости отсутствуют силы внутреннего трения и, следовательно, рассеивание энергии при движении, поэтому запас

энергии в единице массы движущейся жидкости постоянен. При движении кроме объемных и поверхностных сил в жидкости действуют и силы инерции. В соответствии с принципом Даламбера для единицы массы жидкости уравнение движения может быть получено, если к проекциям массовых и поверхностных сил (2.3) прибавить с обратным знаком проекции сил инерции, отнесенные к единице массы

j = PJm:

Рис 14.1. Схема к выводу уравнения Эйлера к проекциям массовых и

При установившемся движении

Подставив значения проекций jx, jy и jz из систмемы (3.2), получим уравнения движения Эйлера:

(3.24)

43

Мерой движения жидкости является энергия, измеряющаяся работой, которую может совершить жидкость при торможении (кинетическая энергия), и работой, которую могут совершить массовые и поверхностные силы (потенциальная энергия) при переходе от рассматриваемого положения в пространстве к нулевому (для последнего потенциальная энергия условно считается равной нулю). Следовательно, для получения уравнения энергии необходимо найти работу, которую могут совершить силы при перемещении массы на отрезок dl по линии тока.

Умножив члены уравнения (3.24) на массу m и проекцию dl на ось х (рис. 4.1), получим дифференциальное уравнение энергии в проекциях на ось х

(3.25)

Выразим в последнем слагаемом уравнения (3.24) проекцию перемещения dx через скорость и время dx = ux dt и сделаем элементарные преобразования

В уравнении (3.25) последнее слагаемое представляем в виде dux2 и по ана-

2

Сложив почленно эти уравнения, получим выражение для полной энергии

Так как выражение в скобках являются полными дифференциалами

44

то окончательно уравнение энергии будет

единица в системе СИ — джоуль (Дж); 1 Дж = 1 Н -м.

В уравнение (3.25) входит величина перемещающейся массы т, которая может быть различной. Для получения общего выражения, не зависящего от значения массы, полный запас энергии относят к единице массы, объема или силы тяжести.

Энергия, отнесенная к единице массы, называется удельной энергией е и широко используется при исследовании движения газов с переменной плотностью. Для получения удельной энергии разделим уравнение (3.26) на т:

(3.27)

Размерность всех членов этого уравнения: L2T2, единица в системе СИ - Дж/кг = м2/с2 (квадрат скорости).

Исследуя движение газов, при котором можно считать р = const, удобно пользоваться энергией, отнесенной к единице объема, для чего уравнение (3.26) необходимо разделить на объем V. Масса, деленная на объем, дает плотность m/V = р и уравнение примет вид ,

(3.28)

Размерность членов этого уравнения ML-2Т 2.

Все члены уравнения выражают давление, единица которого в системе СИ – Дж/м3 = Н/м2 = Па.

Наиболее широко в гидравлике, особенно при исследовании движения капельных жидкостей, пользуются энергией, отнесенной к единице силы тяжести, для чего уравнение (3.26) необходимо разделить на mg. Тогда

(3.29)

45

Все члены уравнения имеют размерность длины L, называемой в гидравлике напором, единица которого в системе СИ -Дж / Н = м .

Напор выражается высотой в метрах столба движущейся жидкости.

3.5 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Рассматривая элементарную струйку жидкости при установившемся движении, происходящем в поле потенциальных сил (тяжести и давления), можно проин-

тегрировать уравнения (3.27) - (3.29).

В прямоугольной системе координат ориентируем плоскость хОу горизонтально, нормально к ускорению силы тяжести g (рис. 4.2). В этих условиях проекции единичных массовых сил будут: X = 0; У = 0; Z = -g. Подставляя их значения в уравнения (3.27)-(3.29) и учитывая, что во всех точках живого сечения элементарной струйки частицы двигаются одинаковой скоростью и, получим:

Рис. 4.2. Схема к выводу Уравнения Бернулли

(3.30)

Проинтегрируем эти выражения:

(3.31)-(3.33)

Уравнения (3.31)—(3.33) являются основными при решении многих задач в гидравлике. Они представляют математическое выражение закона сохранения энергии вдоль элементарной струйки.

46

3.6 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ И ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ

СМЫСЛ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Члены уравнения Бернулли выражают запас энергии, которой обладает единица массы (3.31), объема (3.32) или силы тяжести (3.33) относительно произвольно принятой горизонтальной плоскости хОу (см. рис. 4.2). Плоскость, относительно которой составляется уравнение Бернулли, называют плоскостью сравнения.

Сумма членов уравнения Бернулли дает полный запас энергии, которым обладает единица массы еп, объема рп или силы тяжести Н относительно принятой плоскости сравнения.

единицы массы, единицы объема, единицы силы тяжести.

Все члены уравнения (3.27) выражают удельную энергию жидкости в данном сечении относительно принятой плоскости сравнения. Размерность всех членов: L2T-2, единица в системе СИ - Дж/кг = м2/с2. Наиболее удобно этим видом уравнения пользоваться при исследовании движения газов с переменной плотностью, например в рудничных пневмосетях, компрессорах, пневмоприводах. Если при движении газа изменения давления незначительны p2/p1 1,1 и температура постоянна, то с достаточной степенью точности можно считать = const. В этих условиях удобно пользоваться уравнением (3.31), которое примет вид

(3.34)

Все члены уравнения (3.34) имеют размерность давления ML-1 T-2 и выражают энергию, отнесенную к единице объема. Единица р в системе СИ — Дж/м3 = Па. Этим выражением удобно пользоваться при исследовании движения воздуха в шахтных вентиляционных сетях и вентиляторах. При движении капельной жидкости (например, воды, нефти), плотность которой постоянна, удобнее всего пользоваться уравнением (3.33), которое для р = const примет вид

(3.35)

В этом уравнении все члены имеют размерность длины L, единица Я в системе СИ — Дж/Н = м. Уравнением (3.35) широко пользуются при расчетах

47

водопроводов, водоотливных труб, насосов. Если взять три сечения вдоль элементарной струйки невязкой жидкости, то (3.35) можно записать в виде

(3.36)

Здесь Hск u2 - скоростной напор, определяющий кинетическую энергию;

2g

p

Нст z - статический напор, определяющий потенциальную энергию.

g

Вводя понятие о скоростном и статическом напорах, уравнение (3.36) можно записать так

(3.37)

Статический напор является суммой геометрического и пьезометрического напоров

(3.38)

Геометрический напор Hг = z — вертикальное расстояние от центра тяжести живого сечения до плоскости отсчета (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Напоры в сечениях струйки невязкой жидкости

Пьезометрический напор измеряется пьезометром — трубкой, начальное сечение которой расположено нормально к вектору скорости.

Высота подъема жидкости в трубке Пито соответствует сумме пьезометрического и скоростного напоров в точке измерения (рис. 4.3):

Скоростной напор измеряют как разность уровней в трубке Пито, начальный участок которой направлен против вектора скорости, и в пьезометре (рис.4.3):

Рассмотренные трубки широко применяются для определения скорости капельных жидкостей и газов. В первом случае их называют гидрометрическими, во втором пневмометрическими.

Поскольку отметка уровня жидкости в трубке Пито относительно плоскости сравнения равна полному напору Н, то во всех трубках Пито, установленных в разных сечениях вдоль струйки, уровень жидкости будет находиться на одной и той же отметке.

Линия, соединяющая уровни жидкости в скоростных трубках, называется линией полного напора, а уровни в пьезометрических трубках — линией статического или пьезометрического напора.

В этом заключается гидравлический (геометрический) смысл уравнений Бернулли. Из уравнений (3.36) и (3.37) и графиков напоров (рис.4.3) следует, что вдоль элементарной струйки невязкой жидкости статические и скоростные напоры могут быть различными, но сумма их — полный напор Н — постоянна. Следовательно, линия полного напора при невязкой жидкости имеет вид прямой, параллельной плоскости сравнения.

49

3.7. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ГАЗОВ ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТИ

Если при движении газов давление и температура по длине струйки изменяются значительно, то плотность = f (р,Т), меняется существенно. Следова-

процесса, по которому происходит изменение состояния газа. Рассмотрим два процесса адиабатный и изотермический.

При адиабатном процессе, характеризующемся постоянством количества тепла в 1 кг газа, справедливо выражение

(3.40)

где k = cplcv — показатель адиабаты, равный отношению теплоемкости газа при постоянном давлении ср к теплоемкости при постоянном объеме cv (для воздуха k = 1,4).

Подставляя в выражение интеграла значение (3.40), получим

Следовательно, при значительных перепадах по длине струйки

50