Во внутренний сосуд до определенного уровня наливается испытуемая жидкость и с помощью нагревательного устройства температура ее доводится до требуемого значения t', фиксируемого термометром, после чего клапан открывается и с помощью секундомера измеряется время истечения 200 см3 этой жидкости. Аналогичный опыт производят с дистиллированной водой при t = 20° С. Отношение измеренных времен истечения испытуемой жидкости Ти,ж и дистиллированной воды Тд,п составляет число градусов условной вязкости (или градусов Энглера):

Для перевода градусов условной вязкости в единицы системы СИ (м2/с) пользуются эмпирической формулой Уббелоде

Вязкость зависит от рода жидкости, ее температуры и давления. Значения вязкости некоторых жидкостей в различных единицах приведены в приложениях 1 и 2.

С увеличением температуры вязкость капельных жидкостей уменьшается, а газообразных — увеличивается. Зависимость вязкости от температуры для разных жидкостей различна и выразить ее аналитически общим уравнением не представляется возможным.

При выполнении расчетов можно воспользоваться следующими зависимостя-

ми (м8/с): для воздуха

Для минеральных масел, применяемых в гидроприводах в интервале температур 30—150° С и при вязкости до 10°C

где - кинематическая вязкость соответственно при данной температуре и при 50° С;

t — температура, °С;

11

n - показатель степени, значение которого в зависимости от °ВУ составляет

Характер изменения вязкости жидкостей при изменении давления различен и зависит от начальной вязкости и температуры. Для большинства капельных жидкостей с повышением давления вязкость несколько увеличивается.

Вязкость минеральных масел в пределах давлений 0—50 МПа изменяется практически линейно и может быть вычислена по формуле

где vp и v0 - кинематическая вязкость соответственно при давлении р и атмосферном давлении;

kp - опытный коэффициент (при расчетах систем гидроприводов в пределах указанных давлений принимается равным 0,03);

p - давление, при котором определяется вязкость, МПа.

Вопросы для самопроверки.

1.В чем состоит отличие жидкостей от твердых тел и газов?

2.Какова взаимосвязь между плотностью и удельным весом?

и температуры?

4.Какова связь между коэффициентом объемного сжатия и объемным модулем упругости?

5.Что представляет собой коэффициент температурного расширения?

6. Что называется вязкостью? В чем состоит закон жидкостного трения Ньютона?

7.Какова связь между динамическим и кинематическим коэффициентами вязкости?

8.Чем отличается идеальная жидкость от реальной?

9.Что называется давлением насыщенных паров жидкости и от чего оно зависит?

10.Что такое поверхностное натяжение и от чего оно зависит?

ГЛАВА 2 ГИДРОСТАТИКА

Тема 2.1 Гидростатическое давление и его свойства

Силы, действующие на жидкость. Давление в жидкости. Свойства гидростатического давления в неподвижной жидкости. Абсолютное и избыточное давление. Пьезометрическая и вакуумметрическая высота. Приборы для измерения давления. Дифференциальные уравнения покоя жидкости /уравнения Эйлера/. Гидростатический напор. Геометрическое и энергетическое понимание уравнения гидростатики. Закон Паскаля. Примеры практического использования закона Паскаля в судовой технике. Относительный покой. Определение сил, действующих при прямолинейном равноускоренном движении сосуда. Определение давлений на дно, стенку и крышку вращающегося сосуда /сепаратора очистки масла/.

12

Тема 2.2 Взаимодействие покоящейся жидкости

с твердой поверхностью

Силы давления жидкости на плоские и криволинейные поверхности. Эпюры давления. Центр тяжести и центр давления. Определение равнодействующей сил давления на плоскую и криволинейную поверхности. Тело давления. Равновесие жидкости в движущихся сосудах.

Тема 2.3. Плавание тел в жидкости

Гидростатика — раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей, а также твердых тел, полностью или частично погруженных в жидкость.

Относительный покой жидкости — это равновесие ее в движущихся сосудах, когда помимо силы тяжести на жидкость действует вторая массовая сила — сила инерции переносного движения, причем эта сила постоянна по времени.

Возможны два случая относительного покоя жидкости: в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно, и в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. В обоих случаях поверхности уровня, т. е. поверхности равного давления и в том числе свободная поверхность жидкости, принимают такой вид, при котором равнодействующая массовая сила нормальна к этим поверхностям во всех их точках.

Всосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно, поверхности уровня будут плоскими.

Всосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси, поверхности уровня представляют собой параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью вращения сосуда.

Поскольку в покоящейся жидкости отсутствуют касательные и растягивающие напряжения, то гидростатическое давление обладает тремя свойствами: оно всегда направлено по нормали (является сжимающим, действует одинаково по всем направлениям и в данной точке зависит от ее координат в пространстве). Знание этих свойств позволяет правильно построить эпюры давления на плоские и криволинейные стенки. Эпюра давления выражает собой характер распределения давления на контур тела, погруженного в жидкость.

Жидкость сверху часто соприкасается с воздухом. Поверхность раздела между жидкостью и воздухом /газом/ называется свободной поверхностью.

Различают следующие виды давлений: атмосферное (при 0 0С принимают равным 101,3 кПа); избыточное (манометрическое), т.е. превышение давления над атмосферным; вакуумметрическое (вакуум), т.е. недостаток давления до атмосферного; абсолютное (полное), отсчитываемое от абсолютного нуля. Между этими давлениями существует следующая зависимость:

Ризб = Р – Ратм;

Избыточное давление отрицательно, если абсолютное давление меньше атмосферного. Недостаток давления до атмосферного называется вакуумом Рвак

Рвак = Ратм – Р; Рвак = - Ризб.

Для воды избыточное давление Pизб на глубине равной 10 м равно 98,1 кПа Важными понятиями в гидравлике является пьезометрическая высота, пьезо-

13

метрическая плоскость, плоскость сравнения. Пьезометрическая высота выражает в метрах столба жидкости избыточное давление. Пьезометрическая плоскость или плоскость атмосферного давления - это горизонтальная плоскость, проходящая через уровень жидкости в пьезометре.

Если сосуд закрыт и на поверхность жидкости действует избыточное давление (действующее на жидкость внешнее давление Р0 больше окружающего атмосферного давления Ратм), то пьезометрическая плоскость располагается над свободной

где Р0В – вакуум на поверхности жидкости.

Величину давления в любой точке определяют по дифференциальным уравнениям Эйлера, которые устанавливают связь между массовыми и поверхностными силами:

X1 P 0

x

Y 1 P 0 - система дифференциальных уравнений Эйлера

y

Z 1 P 0

z

Следует усвоить физический смысл всех входящих в уравнения величин. В случае действия на жидкость поверхностного давления и лишь одной силы тяжести интегрирование уравнений Эйлера дает основное уравнение гидростатики:

Р Р0 g h ,

где Р - суммарное гидростатическое давление в точке, находящейся на глубине h, Па;

Р0 - поверхностное давление, Па;

g h - весовое давление столба жидкости высотой h , Па.

В жидкости, находящейся в относительном покое, к поверхностной силе и силе тяжести добавляется сила инерции.

Давление в неподвижной жидкости называется гидростатическим и обладает

14

следующими двумя свойствами: на внешней поверхности жидкости оно всегда направлено по нормали внутрь объема жидкости; в любой точке внутри жидкости оно по всем направлениям одинаково, т. е. не зависит от угла наклона площадки, по которой действует. Сила давления равна произведению давления на площадь поверхности и измеряется В единицах силы. Сила избыточного давления на плоские

стенки равна

P Ризб S g hc S

где Ризб - избыточное давление в центре тяжести плоской поверхности, площадь которой S, Па;

hc - глубина погружения центра тяжести, м.

Давление в точке покоящейся жидкости и его свойства.

Выделим вокруг точки А, находящейся внутри покоящейся жидкости, элементарный объем жидкости и рассечем его на две части произвольной плоскостью, проведенной через точку А (рис. 2.1, а). Отбросим одну из частей этого объема и для того, чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии, заменим действие отброшенной части на площадку распределенными по ней элементарными поверхностными силами.

Предположим, что равнодействующая этих элементарных сил действует в направлении, показанном на рис. 2.1, б. Разложим на две составляющие: — лежащую в плоскости сечения и Р— нормальную к этой плоскости.

Очевидно, что в покоящихся ньютоновских жидкостях касательная составляющая , так как в противном случае она вызвала бы сдвиг частиц вдоль плоскости раздела. Составляющая направленная по внутренней нормали к плоскости раздела, является сжимающей и ее действие встречает со стороны жидкости равное и противоположно направленное противодействиеблагодаря чему равновесие жидкости не нарушается/

Значение среднего напряжения сжатия или среднего давления жидкости на элементарную площадку будет равно отношению

к , т. е.

Уменьшая площадку вокруг точки A так, чтобы ее величина стремилась к

нулю, получим давление в точке покоящейся жидкости, или гидростатическое давление,

Таким образом, элементарная сила давления, действующая на бесконечно малую площадку , может быть подсчитана как

Размерность

15

Единицей давления в системе СИ является паскаль (Па = Н/м2). Широко использовались также единицы давления из других систем и внесистемные единицы: кило- грамм-сила на квадратный сантиметр, миллиметр ртутного столба, миллиметр водяного столба и др. В настоящее время в соответствии с СТ СЭВ 1052—78 эти единицы не применяются. Учитывая, однако, что большинство измерительных приборов градуировано в старых единицах, а также, что в справочной литературе, каталогах, технических характеристиках и др. используются эти единицы, в приложении 3 приведено соотношение различных единиц давления.

Давление в точке покоящейся жидкости обладает двумя основными свойствами. Первое свойство. Давление в точке покоящейся жидкости всегда нормально к по-

верхности (площадке), воспринимающей это давление. Это свойство не требует доказательства, так как оно очевидно из сказанного выше о силе

Второе свойство. Давление в точке покоящейся жидкости во всех направлениях одинаково по значению, т. е. является скаляром.

Для доказательства этого свойства возьмем в жидкости, находящейся в равновесии, точку А и выделим вокруг нее бесконечно малый объем жидкости dV в виде треугольной призмы с ребрами dx,dz,dy (рис. 2.2), причем угол наклона ребра dn к ребру dz взят произвольным.

Отбросим мысленно всю окружающую призму жидкость, а для сохранения равновесия приложим к каждой грани соответствующие элементарные силы гидростатического давления

и т. д., которые, как было указано выше, действуют нормально к граням и будут направлены внутрь рассматриваемого объема. Кроме этих поверхностных силна жидкость, находящуюся внутри призмы, действуют еще массовые силы, результирующая которых приложена в центре тяжести объема и в общем случае равна

где j результирующее ускорение массовых сил, проекции которого на координатные оси:

jx=x, jy=y, jz=z

Пользуясь принципом затвердения, согласно которому равновесие жидкого тела не нарушится, если предположить его затвердевшим, применим к выделенному объему законы механики твердого тела — спроектируем действующие на него силы на координатные оси и приравняем суммы проекций на соответствующие оси нулю.

На ось Ох

или

или после

16

угол был выбран произвольно, то и во всех остальных направлениях значение гидростатического давления будет одинаково

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Выделим вокруг точки А, находящейся внутри покоящейся жидкости, элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, параллельными произвольно выбранным в пространстве осям координат (рис. 2.3). Отбросим мысленно ,окружающую параллелепипед жидкость, заменив ее действие на грани соответствующими силами гидростатического давления.

Пусть давление жидкости в точке А равно , тогда давление

Элементарные силы давления на грани будут соответственно равны: Ана-

логичным образом можно найти элементарные силы, действующие на остальные четыре грани (на рисунке показаны только давления, действующие вдоль оси Ох).

Кроме поверхностных сил на выделенный объем действуют также массовые силы, результирующая которых в общем случае будет

Спроектируем все действующие на элементарный объем силы на ось Ох и приравняем сумму этих проекций нулю;

17

После приведения подобных и сокращения оставшихся слагаемых напо-

лучим Спроектировав остальные силы на оси Оу и Oz и сделав аналогичные преобразования, получим систему уравнений:

из которых видно, что. приращение гидростатического давления в направлении какой-либо координатной оси возможно только при наличии ускорения в этом направлении и происходит за счет массовых сил. Эти уравнения представляют собой общие условия равновесия жидкости в дифференциальной форме, выведенные в 1755 г. Л. Эйлером.

Для приведения уравнений Эйлера к виду, удобному для интегрирования, умножим каждое из уравнений (2.3) соответственно на dx, dy, dz и сложим почленно:

В этом уравнении левая часть представляет собой полный дифференциал давления dp, поэтому

Полученное уравнение выражает функциональную зависимость давления от рода жидкости и координат точки в пространстве

и позволяет определить значение давления в любой точке жидкости, находящейся в равновесии. Это уравнение справедливо для капельных жидкостей и для газов, причем для газов дополнительным условием равновесия является уравнение состояния

(1.4).

Из выражения (2.4) можно легко получить уравнение поверхности равного давле-

ния — поверхности, давление во всех точках которой одинаково

При p= const dp=0, а так как ρ не может быть равно нулю, следовательно,

Уравнение (2.5) — уравнение поверхности равного давления, частным случаем которой является свободная поверхность жидкости.

Рассмотрим несколько конкретных примеров и установим, какой вид будет иметь поверхность равного давления (в том числе и свободная поверхность) в этих случаях.

П р и м е р . Жидкость находится в равновесии в резервуаре в поле действия только силы тяжести (рис. 2.4, а).

В этом случае проекции результирующей единичных массовых сил будут:

Подставляя эти значения в (2.5), получим

-a .dx – gdx = 0

или после интегрирования

Это — уравнение горизонтальной плоскости. Следовательно, в покоящейся однородной жидкости =i dem любая горизонтальная плоскость является плоскостью равного давления.

П р и м е р . Жидкость находится в равновесии в резервуаре, движущемся горизонтально с некоторым ускорением а (рис. 2.4, б).

Вэтом случае любая частица жидкости находится под действием ускорений а

иg, следовательно, проекции результирующей единичных массовых сил будут:

Подставляя эти значения в (2.5), получим или после интегрирования

Это — уравнение наклонной плоскости. Следовательно, в данном случае поверхности равного давления представляют собой плоскости, наклонные к осям Ох и Оz и параллельные оси Оу. Угол наклона плоскости к горизонту может быть

найден из выражения П р и м е р . Жидкость находится в равновесии в цилиндрическом резервуаре,

вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со (рис. 2.4, в).В этом случае любая частица жидкости находится под действием ускорений си-

19

лы тяжести g и центробежной силы инерции , следовательно, проекции ре-

зультирующей единичных массовых сил будут:

Подставляя эти значения в уравнение (2.5), полу-

чим или после интегрирования

Это — уравнение параболоида вращения. Следовательно, в данном случае поверхности равного давления представляют собой семейство параболоидов вращения вокруг вертикальной оси. При сечении их вертикальной плоскостью получится семейство парабол с вершинами на оси Оz, а при сечении горизонтальной плоскостью — семейство концентрических окружностей с центром на оси Оz.

В последних двух примерах рассмотрены случаи так называемого относительного покоя жидкости, когда она находится в резервуарах, движущихся тем или иным образом с постоянным ускорением, но частицы жидкости не перемещаются друг относительно друга и относительно стенок резервуара.

Основное уравнение гидростатики.

Рассмотрим жидкость, заключенную в неподвижном сосуде (рис. 2.5) и находящуюся в поле действия силы тяжести. Оси координат расположим таким образом, чтобы ось Оz была направлена вертикально вверх, т. е. параллельно линии действия силы тяжести.

Внутри рассматриваемого объема жидкости выделим точку A находящуюся на расстоянии z от горизонтальной плоскости хОу или на глубине h от свободной поверхности жидкости. Проекции единичных массовых сил на координатные оси в данном случае будут: Подставляя эти значения в уравнение равновесия жидкости (2.4),

получим

или после интегрирования

где С — постоянная интегрирования.

Для определения постоянной интегрирования зададимся начальными условиями: на свободной поверхности жидкости, т. е. при ( или h. = 0), давление

следовательно,

20